2025屆湖北省高中名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第二次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省高中名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C.0,2 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由?shù)軸可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.2.已知，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.3.已知為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，即.所以且，解得，所以.故選：D4.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知，，解得，又雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.5.若關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，且對(duì)任意，，①且，②對(duì)于①，，結(jié)合，得.若，由②知對(duì)任意，矛盾；若，由②知對(duì)任意，即，則，得，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，①②同時(shí)成立.故選：C.6.如圖，某圓柱的一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)在下底面圓周上，且，點(diǎn)在母線上，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.4 C.6 D.【答案】A【解析】由題意知：，且，則.將三角形展開(kāi)到與三角形共面，記為三角形，可知共線，則.可得，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào).又因?yàn)椋谥校捎嘞叶ɡ淼?，即，所以的最小值?故選：A.7.在正三棱柱每條棱的中點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)所在直線平行于正三棱柱的某個(gè)側(cè)面或底面所在平面的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將直線分成3種情況：，均平行于上底面或下底面，有條；，均不平行于正三棱柱的某個(gè)平面；，均平行于某個(gè)側(cè)面，有條.又直線總數(shù)為條，故所求概率為.故選：D8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若所在平面不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圖得，所以，得，所以，將代入，得，所以，于是，即.又，所以，所以.因?yàn)?，所以，則.所以，令，則.不等式在上恒成立，即在上恒成立.若且，所以即可，又，易知在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有，故.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某老師想了解班上學(xué)生的身高情況，他隨機(jī)選取了班上6名男同學(xué)，得到他們的身高的一組數(shù)據(jù)（單位：厘米）分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的平均值會(huì)變大B.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的方差會(huì)變小C.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的極差會(huì)變小D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為181【答案】BC【解析】去掉前的平均值，去掉后的平均值，A錯(cuò)誤；去掉前的方差，去掉后的方差，B正確；去掉前的極差為，去掉后的極差為，C正確；由，知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為184，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線分別與的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.直線的斜率分別記為，則為定值C.的取值范圍為D.面積的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖，設(shè)直線的方程為依題意，設(shè)Ax由消去，得.所以，而，所以，所以A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)已得：，由，故B正確；對(duì)于C，因Ax1,y1,Bx2,即點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得.則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱上一點(diǎn)，且，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足是該長(zhǎng)方體外接球（長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在該球面上）上一點(diǎn)，設(shè)該外接球球心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.長(zhǎng)方體外接球的半徑為B.點(diǎn)到平面距離為C.球心到平面的距離為D.點(diǎn)的軌跡在內(nèi)的長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，長(zhǎng)方體外接球的半徑，故A正確.對(duì)于B，以為A一頂點(diǎn)，為以A為頂點(diǎn)的棱，構(gòu)造棱長(zhǎng)為3的正方體，連接，則點(diǎn)A到平面的距離為正方體體對(duì)角線長(zhǎng)的，得，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又面，所以面.面平面平面.過(guò)作于，則平面.在中，計(jì)算得，所以，于是，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A向平面作垂線，垂足為，連結(jié)，則，又，得，即點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，在中，，所以點(diǎn)的軌跡在內(nèi)的長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】10【解析】由，得.又，所以，則，故.13.已知為銳角，且，則__________.【答案】【解析】由，得，即.所以.由于為銳角，所以，則，結(jié)合，所以，因此.14.對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】記且，則.由f'x<0，得，由f'所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以最小值為（*），只需保證即可，記，則，且.在上，顯然恒成立，在0,1上，、都遞減，值域分別為，，此時(shí)也有，所以，在上，恒成立，在1,+∞上，、都遞減，值域分別為，，所以，在1,+∞上，恒成立.所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減.所以.由（*）知，即取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若邊的中點(diǎn)為，且，外接圓的半徑為，求外接圓的半徑.解：（1）因?yàn)椋瑒t，所以，，又，所以.（2）設(shè)外接圓的半徑為，外接圓的半徑為.由正弦定理，得，則.因?yàn)?，則，所以為銳角，則，所以.于是，所以.16.如圖，球的半徑為，為球面上三點(diǎn)，若三角形為直角三角形，其中.延長(zhǎng)與球的表面交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角分別為，試求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槭乔虻闹睆剑?因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，平面，所以平?（2）因?yàn)橹本€與平面所成的角分別為，所以.不妨令，則，由題設(shè)，易知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以，設(shè)平面的法向量為，平面法向量為，由，取，得，由，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，易知.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，若，則，此時(shí)在單調(diào)遞減；若，令，解得，其中，由，得，由，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由，得，則，即，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與的左?右端點(diǎn)重合）.①當(dāng)時(shí)，求的面積；②點(diǎn)在線段上，且和的內(nèi)切圓半徑相等，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）將代入的方程可得.①由離心率可得.②聯(lián)立①②得到.所以的方程為.（2）①設(shè)，則.在中，由余弦定理，得，所以.所以.②設(shè)，記和的面積分別為，內(nèi)切圓半徑均為，記，則.所以，由，得.同理.在和中，，由余弦定理得，所以，整理可得.即.（*）將代入（*），解得，即.所以為定值.19.對(duì)任意，都存在.若數(shù)列滿足，且，則稱為“階好數(shù)列”.記為“階好數(shù)列”的個(gè)數(shù).例如，對(duì)，有3個(gè)“6階好數(shù)列”，分別為①；②；③.因此.（1）直接寫(xiě)出的值；（2）求，其中；（3）給定，求證：存在，使得對(duì)任意，都有.解：（1）對(duì)于，由，知，此時(shí)有2個(gè)“2階好數(shù)列”.分別為①；②，因此.對(duì)于，由，知，此時(shí)有4個(gè)“14階好數(shù)列”.分別為①；②；③；④，因此（2）對(duì)于，因?yàn)?，所以，則且.若，則，與矛盾，所以或0.若，則，即.所以為“階好數(shù)列”，有個(gè).若，則，又，此時(shí)只有一個(gè)“階好數(shù)列”為“”，所以，又，所以.（3）首先證明：對(duì)任意，若，則證明：對(duì)為“階好數(shù)列”，，其中，則.有三種情況：①，則由于，則為“階好數(shù)列”，有個(gè).②，則，因?yàn)?，則.由于，則是“階好數(shù)列”，有個(gè).③，則，矛盾.綜上，三種情況得成立，則得證.于是對(duì)任意，即.由于，對(duì)于，利用（*）得，即.令，則.由于為常數(shù)且為整數(shù)，則存在，使得，命題得證.若約定，可以證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.則可以利用遞推求出所有的.湖北省高中名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C.0,2 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由?shù)軸可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.2.已知，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.3.已知為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，即.所以且，解得，所以.故選：D4.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知，，解得，又雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.5.若關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，且對(duì)任意，，①且，②對(duì)于①，，結(jié)合，得.若，由②知對(duì)任意，矛盾；若，由②知對(duì)任意，即，則，得，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，①②同時(shí)成立.故選：C.6.如圖，某圓柱的一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)在下底面圓周上，且，點(diǎn)在母線上，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.4 C.6 D.【答案】A【解析】由題意知：，且，則.將三角形展開(kāi)到與三角形共面，記為三角形，可知共線，則.可得，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào).又因?yàn)椋谥?，由余弦定理得，即，所以的最小值?故選：A.7.在正三棱柱每條棱的中點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)所在直線平行于正三棱柱的某個(gè)側(cè)面或底面所在平面的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將直線分成3種情況：，均平行于上底面或下底面，有條；，均不平行于正三棱柱的某個(gè)平面；，均平行于某個(gè)側(cè)面，有條.又直線總數(shù)為條，故所求概率為.故選：D8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若所在平面不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圖得，所以，得，所以，將代入，得，所以，于是，即.又，所以，所以.因?yàn)椋?，則.所以，令，則.不等式在上恒成立，即在上恒成立.若且，所以即可，又，易知在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有，故.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某老師想了解班上學(xué)生的身高情況，他隨機(jī)選取了班上6名男同學(xué)，得到他們的身高的一組數(shù)據(jù)（單位：厘米）分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的平均值會(huì)變大B.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的方差會(huì)變小C.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的極差會(huì)變小D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為181【答案】BC【解析】去掉前的平均值，去掉后的平均值，A錯(cuò)誤；去掉前的方差，去掉后的方差，B正確；去掉前的極差為，去掉后的極差為，C正確；由，知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為184，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線分別與的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.直線的斜率分別記為，則為定值C.的取值范圍為D.面積的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖，設(shè)直線的方程為依題意，設(shè)Ax由消去，得.所以，而，所以，所以A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)已得：，由，故B正確；對(duì)于C，因Ax1,y1,Bx2,即點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得.則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋蔇正確.故選：ABD.11.如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱上一點(diǎn)，且，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足是該長(zhǎng)方體外接球（長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在該球面上）上一點(diǎn)，設(shè)該外接球球心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.長(zhǎng)方體外接球的半徑為B.點(diǎn)到平面距離為C.球心到平面的距離為D.點(diǎn)的軌跡在內(nèi)的長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，長(zhǎng)方體外接球的半徑，故A正確.對(duì)于B，以為A一頂點(diǎn)，為以A為頂點(diǎn)的棱，構(gòu)造棱長(zhǎng)為3的正方體，連接，則點(diǎn)A到平面的距離為正方體體對(duì)角線長(zhǎng)的，得，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又面，所以面.面平面平面.過(guò)作于，則平面.在中，計(jì)算得，所以，于是，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A向平面作垂線，垂足為，連結(jié)，則，又，得，即點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，在中，，所以點(diǎn)的軌跡在內(nèi)的長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.【答案】10【解析】由，得.又，所以，則，故.13.已知為銳角，且，則__________.【答案】【解析】由，得，即.所以.由于為銳角，所以，則，結(jié)合，所以，因此.14.對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】記且，則.由f'x<0，得，由f'所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以最小值為（*），只需保證即可，記，則，且.在上，顯然恒成立，在0,1上，、都遞減，值域分別為，，此時(shí)也有，所以，在上，恒成立，在1,+∞上，、都遞減，值域分別為，，所以，在1,+∞上，恒成立.所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減.所以.由（*）知，即取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若邊的中點(diǎn)為，且，外接圓的半徑為，求外接圓的半徑.解：（1）因?yàn)?，則，所以，，又，所以.（2）設(shè)外接圓的半徑為，外接圓的半徑為.由正弦定理，得，則.因?yàn)椋瑒t，所以為銳角，則，所以.于是，所以.16.如圖，球的半徑為，為球面上三點(diǎn)，若三角形為直角三角形，其中.延長(zhǎng)與球的表面交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角分別為，試求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槭乔虻闹睆剑?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋矫?，所以平?（2）因?yàn)橹本€與平面所成的角分別為，所以.不妨令，則，由題設(shè)，易知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以，設(shè)平面的法向量為，平面法向量為，由，取，得，由，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，易知.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，若，則，此時(shí)在單調(diào)遞減；若，令，解得，其中，由，得，由，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由，得，則，即，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，