北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題含答案解析

北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試卷一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，共30分）1．兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高之比為，那么它們的對(duì)應(yīng)中線之比為（）A． B． C． D．2．過反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，則它們與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積為（）A．－6 B．－3 C．3 D．63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，則的值為（）A．1 B． C． D．4．如圖，△A′B′C′是△ABC以點(diǎn)O為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若△A′B′C′的面積與△ABC的面積比是4：9，則OB′：OB為（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：95．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則sin∠BDE的值是（）A． B． C． D．6．下列各點(diǎn)在反比例函數(shù)y=-圖象上的是()A．(3,2) B．(2,3) C．(-3,-2) D．(-,2)7．在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=,則∠B的度數(shù)是()A．90° B．60° C．45° D．30°8．如圖，為平行四邊形中邊上一點(diǎn)．且，和于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．9．從3，0，，4.1，這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，抽到有理數(shù)的概率是（）A． B． C． D．10．若關(guān)于x的方程（a﹣2）x2＋x＋1＝0是一元二次方程，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)≠﹣2 C．a(chǎn)≠±2 D．a(chǎn)≠2二、填空題11．如果關(guān)于x的方程x2﹣4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是____．12．計(jì)算:cos45°=________________13．如圖，在正方形網(wǎng)格中有，則的值等于______．14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別為AB，AC的中點(diǎn)．若△ADE的面積是1，則四邊形DBCE的面積值是______．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD=BD，CD=1，AC=，則∠B的度數(shù)為_________________．16．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長(zhǎng)為_____．三、解答題17．計(jì)算：．18．已知反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（－1，3），求m的值和該反比例函數(shù)的表達(dá)式．19．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：FA＝AB．21．某校為檢測(cè)師生體溫，在校門安裝了某型號(hào)測(cè)溫門．如圖為該測(cè)溫門截面示意圖，已知測(cè)溫門AD的頂部A處距地面高為2.2m，為了解自己的有效測(cè)溫區(qū)間．身高1.6m的小聰做了如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)他在地面N處時(shí)測(cè)溫門開始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭B處測(cè)得A的仰角為30°；在地面M處時(shí)，測(cè)溫門停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭C處測(cè)得A的仰角為60°．求小聰在地面的有效測(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度．（額頭到地面的距離以身高計(jì)，計(jì)算精確到0.1m，≈1.73，≈1.41）22．如圖，在菱形中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)與的交點(diǎn)為H，若，求的值．23．如圖，一次函數(shù)y＝x+5的圖象與反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)且k≠0）的圖象交于A(﹣2，a)，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在x軸上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上的點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝6，延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求BG的長(zhǎng)．25．如圖，已知是矩形的對(duì)角線，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)和，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是菱形：（2）若，，求四邊形的周長(zhǎng)．參考答案1．A【解析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比解答．【詳解】∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高之比為1:2，∴它們的相似比是1:2，∴它們對(duì)應(yīng)中線之比為1:2.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).2．D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可知，矩形的面積為即為比例系數(shù)k的絕對(duì)值，即可得出答案．【詳解】設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由函數(shù)解析式可知，xy＝k＝－6，則可知S矩形ABCO＝|xy|＝|k|＝6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，關(guān)鍵是理解圖中矩形的面積為即為比例系數(shù)k的絕對(duì)值．3．B【分析】根據(jù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可．【詳解】解：解：∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴sinA=cosB=，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式，掌握當(dāng)∠A+∠B=90°時(shí)，sinA=cosB是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)得△ABC∽△A′B′C′，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得.【詳解】由位似變換的性質(zhì)可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A'B'C'與△ABC的面積的比4：9，∴△A'B'C'與△ABC的相似比為2：3，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．5．C【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性質(zhì)可得AE＝DE，由相似三角形的性質(zhì)可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的長(zhǎng)，即可求sin∠BDE的值．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝BC＝AD，∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴＝2∴AF＝2EF，∴AE＝3EF＝DE，∴sin∠BDE＝，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的運(yùn)用，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．D【分析】將各選項(xiàng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，求出函數(shù)值，判斷是否等于縱坐標(biāo)即可.【詳解】解：A.將x=3代入y=-中，解得y=-2，故(3,2)不在反比例函數(shù)y=-圖象上，故A不符合題意；B.將x=2代入y=-中，解得y=-3，故(2,3)不在反比例函數(shù)y=-圖象上，故B不符合題意；C.將x=-3代入y=-中，解得y=2，故(-3,-2)不在反比例函數(shù)y=-圖象上，故C不符合題意；D.將x=-代入y=-中，解得y=2，故(-,2)在反比例函數(shù)y=-圖象上，故D符合題意；故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查的是判斷一個(gè)點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上，解決此題的關(guān)鍵是將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，求出函數(shù)值，判斷是否等于縱坐標(biāo)即可.7．B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值，即可求出∠B.【詳解】解：∵在Rt△ABC中,cosB=,∴∠B=60°故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)銳角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值是解決此題的關(guān)鍵.8．C【分析】根據(jù)“AD=DH”求出AH：AD即AE：BC的值是1：3，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AK：KC的值．【詳解】解：∵AD=DH，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△AHK∽△CBK，∴AK：KC=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，比例式的變形是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義可找出在從，0，π，4.1，3這5個(gè)數(shù)中只有0、4.1、3為有理數(shù)，再根據(jù)概率公式即可求出抽到有理數(shù)的概率．【詳解】解：∵在，0，π，4.1，3這5個(gè)數(shù)中有理數(shù)只有0、4.1、3這3個(gè)數(shù)，∴抽到有理數(shù)的概率是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式以及有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義找出五個(gè)數(shù)中的有理數(shù)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得a-2≠0，再解即可．【詳解】解：由題意得：a-2≠0，

解得：a≠2，

故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須同時(shí)滿足4個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

④二次項(xiàng)系數(shù)不為0．11．4．【分析】一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即根的判別式△=b2-4ac=0，即可求m值．【詳解】依題意．∵方程x2﹣4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)△=b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)△=b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．12．1【分析】將cos45°=代入進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：cos45°=故答案為：1.【點(diǎn)睛】此題考查的是特殊角的銳角三角函數(shù)值，掌握cos45°=是解決此題的關(guān)鍵.13．【分析】首先利用勾股定理分別算出AB、BC、AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sin∠ABC的值．【詳解】解：∵AB=，BC=，AC=，∴AB2=BC2+AC2，∴∠ACB=90°．∴sin∠ABC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和它的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義．在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊．14．3【分析】根據(jù)題意判斷出DE為中位線，從而得出相似三角形，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，則DE∥BC，∴△ABC與△ADE相似，相似比為2，則面積比為4，即：，∴,故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的判定與性質(zhì)，及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．15．30°．【分析】根據(jù)勾股定理求得AD，再根據(jù)三角函數(shù)值分析計(jì)算．【詳解】∵∠C=90°，CD=1，AC=，∴，而AD=BD，∴BD=2，在Rt△ABC中，AC=，BC=BD+CD=3，∴tan∠B=，∴∠B=30°，故填：30°．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．16．1或2【分析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】設(shè)BP=x，則PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的長(zhǎng)為1或2，故答案為：1或2【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．17．1．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊三角函數(shù)值、0指數(shù)冪以及運(yùn)算順序計(jì)算求解．【詳解】解：原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊三角函數(shù)值、0指數(shù)冪的運(yùn)算，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵．18．2；．【分析】把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得m的值即可【詳解】解：把點(diǎn)P（-1，3）代入，得．解得．把m=2代入，得，即．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．難度不大，熟悉函數(shù)圖象的性質(zhì)即可解題．19．證明見解析．【分析】根據(jù)AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．20．見解析【分析】用AAS來(lái)證明△AFE≌△DCE，根據(jù)全等的性質(zhì)再證明AF＝DC，從而證明AF＝AB．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC．∴∠FAE＝∠D，∠F＝∠ECD．又∵EA＝ED，∴△AFE≌△DCE（AAS）．∴AF＝DC．∴AF＝AB．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，AAS，ASA，SAS，HL(直角三角形)．21．0.7m【分析】根據(jù)題意畫出圖形，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，可得則AE＝AD﹣DE＝0.6m，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，則AE＝AD﹣DE＝0.6（m），∴,,MN＝BC＝≈0.7（m），答：小聰在地面的有效測(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度約為0.7m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．22．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，故可求解；（2）利用，得到=90°，再根據(jù)解直角三角形的定義即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)在和中，，∴（2）解：∴=90°sin,sin，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知熟知菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義．23．（1）y＝﹣；（2）P(﹣，0)或(，0)【分析】（1）利用點(diǎn)A在y＝﹣x+5上求a，進(jìn)而代入反比例函數(shù)求k．（2）聯(lián)立方程求出交點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)表示三角形面積，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，a）代入y＝x+5，得a＝3，∴A（﹣2，3）把A（﹣2，3）代入反比例函數(shù)，∴k＝﹣6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式得解得或∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（﹣3，2），當(dāng)y＝x+5＝0時(shí)，得x＝﹣5，∴點(diǎn)C（﹣5，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），∵∴解得x，∴點(diǎn)P(﹣，0)或(，0)．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題，考查利用方程思想求函數(shù)解析式，通過聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo)