2008年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（全國(guó)卷Ⅰ）（解析卷）

第頁|共頁2008年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】偶次開方的被開方數(shù)一定非負(fù)．x（x﹣1）≥0，x≥0，解關(guān)于x的不等式組，即為函數(shù)的定義域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因?yàn)閤≥0，所以x≥1，或x=0；所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{0}故選：C．【點(diǎn)評(píng)】定義域是高考必考題通常以選擇填空的形式出現(xiàn)，通常注意偶次開方一定非負(fù)，分式中分母不能為0，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)一定要大于0，指數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1．另外還要注意正切函數(shù)的定義域．2．（5分）汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合．【分析】由已知中汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，我們可以根據(jù)實(shí)際分析函數(shù)值S（路程）與自變量t（時(shí)間）之間變化趨勢(shì)，分析四個(gè)答案即可得到結(jié)論．【解答】解：由汽車經(jīng)過啟動(dòng)后的加速行駛階段，路程隨時(shí)間上升的速度越來越快，故圖象的前邊部分為凹升的形狀；在汽車的勻速行駛階段，路程隨時(shí)間上升的速度保持不變故圖象的中間部分為平升的形狀；在汽車減速行駛之后停車階段，路程隨時(shí)間上升的速度越來越慢，故圖象的前邊部分為凸升的形狀；分析四個(gè)答案中的圖象，只有A答案滿足要求，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來越慢；如果圖象是凹陷上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來越快；如果圖象是直線上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度保持不變；如果圖象是水平直線，表明相應(yīng)的量保持不變，即不增長(zhǎng)也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來越慢；如果圖象是直線下降的，表明相應(yīng)的量降低速度保持不變．3．（5分）在△ABC中，=，=．若點(diǎn)D滿足=2，則=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】9B：向量加減混合運(yùn)算．【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點(diǎn)，把整個(gè)過程寫下來，即為所求．本題也可以根據(jù)D點(diǎn)把BC分成一比二的兩部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】用一組向量來表示一個(gè)向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的4．（5分）設(shè)a∈R，且（a+i）2i為正實(shí)數(shù)，則a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】注意到a+bi（a，b∈R）為正實(shí)數(shù)的充要條件是a＞0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題的計(jì)算中，要注意到相應(yīng)變量的范圍．5．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】11：計(jì)算題．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和，根據(jù)a2+a4=4，a3+a5=10我們構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項(xiàng)及公差），進(jìn)而代入前n項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】在求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和時(shí)，如果可以證明這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差或公比）進(jìn)而根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果未知這個(gè)數(shù)列的類型，則可以判斷它是否與某個(gè)等差或等比數(shù)列有關(guān)，間接求其通項(xiàng)公式．6．（5分）若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 【考點(diǎn)】4R：反函數(shù)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】由函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱知這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，故只要求出函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)即可，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)y=ln中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改寫為：y=e2x﹣2∴答案為A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系及反函數(shù)的求法．7．（5分）已知曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a的值為（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線的斜率k=﹣，∵曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，∴直線ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與直線垂直的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．8．（5分）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為正弦的形式，再根據(jù)左加右減的原則進(jìn)行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的平移．屬基礎(chǔ)題．9．（5分）設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式＜0的解集為（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1） 【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】16：壓軸題．【分析】首先利用奇函數(shù)定義與得出x與f（x）異號(hào)，然后由奇函數(shù)定義求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后結(jié)合f（x）的單調(diào)性解出答案．【解答】解：由奇函數(shù)f（x）可知，即x與f（x）異號(hào)，而f（1）=0，則f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則奇函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上也為增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜f（1）=0，得＜0，滿足；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不滿足，舍去；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，滿足；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不滿足，舍去；所以x的取值范圍是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查奇函數(shù)定義與它的單調(diào)性．10．（5分）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則（）A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1 C． D． 【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結(jié)果．【解答】解：直線與圓有公共點(diǎn)，即直線與圓相切或相交得：d≤r，∴，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5G：空間角．【分析】法一：由題意可知三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為2，求出AB1及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點(diǎn)A1到底面的距離A1D的長(zhǎng)度，即知點(diǎn)B1到底面的距離B1E的長(zhǎng)度，再求出AE的長(zhǎng)度，在直角三角形AEB1中求AB1與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦．【解答】解：（法一）因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，設(shè)為D，所以三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則△AA1B1是頂角為120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值為==；（法二）由題意不妨令棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)B1到底面的距離是B1E，如圖，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，設(shè)為D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如圖作A1S⊥AB于中點(diǎn)S，過B1作AB的垂線段，垂足為F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面角的定義，還有點(diǎn)面距與線面距的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力．12．（5分）如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．48 【考點(diǎn)】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【專題】16：壓軸題．【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡(jiǎn)單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結(jié)果．【解答】解：分三類：種兩種花有A42種種法；種三種花有2A43種種法；種四種花有A44種種法．共有A42+2A43+A44=84．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題也可以這樣解：按A﹣B﹣C﹣D順序種花，可分A、C同色與不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為9．【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】11：計(jì)算題；13：作圖題．【分析】首先作出可行域，再作出直線l0：y=2x，將l0平移與可行域有公共點(diǎn)，直線y=2x﹣z在y軸上的截距最小時(shí)，z有最大值，求出此時(shí)直線y=2x﹣z經(jīng)過的可行域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如圖，作出可行域，作出直線l0：y=2x，將l0平移至過點(diǎn)A處時(shí)，函數(shù)z=2x﹣y有最大值9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想．14．（5分）已知拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為2．【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先根據(jù)拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求得a，得到拋物線方程，進(jìn)而可知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)得，，則與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），則以這三點(diǎn)圍成的三角形的面積為故答案為2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題的能力．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e=．【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】設(shè)AB=BC=1，，則，由此可知，從而求出該橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)AB=BC=1，，則，∴，．答案：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，解題時(shí)要注意的正確計(jì)算．16．（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM，AN所成角的余弦值等于．【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關(guān)系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：設(shè)AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C﹣AB﹣D的平面角，結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，則，=故EM，AN所成角的余弦值故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HP：正弦定理．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦定理及兩角和與差的正切函數(shù)，（Ⅰ）由正弦定理的邊角互化，我們可將已知中，進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，結(jié)合角A，B，C為△ABC的內(nèi)角，我們易得tanA=4tanB＞0，則tan（A﹣B）可化為，再結(jié)合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，則；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，tan（A﹣B）的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】在解三角形時(shí)，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于邊角互化，使用時(shí)要注意一般是等式兩邊是關(guān)于三邊的齊次式．18．（12分）四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）證明：AD⊥CE；（Ⅱ）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C﹣AD﹣E的大?。究键c(diǎn)】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）取BC中點(diǎn)F，證明CE⊥面ADF，通過證明線面垂直來達(dá)到證明線線垂直的目的．（2）在面AED內(nèi)過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為G，由（1）知，CE⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大?。窘獯稹拷猓海?）取BC中點(diǎn)F，連接DF交CE于點(diǎn)O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根據(jù)，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD內(nèi)過C點(diǎn)作AD的垂線，垂足為G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H為垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH?平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°為CE與平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD為直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，則，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大?。军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查通過證明線面垂直來證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題．19．（12分）已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】3D：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷．【專題】16：壓軸題．【分析】（1）求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．（2）已知f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在區(qū)間（0，）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上為減函數(shù)，∴x∈時(shí)﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．設(shè)，則∵x∈時(shí)，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上遞減，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導(dǎo)數(shù)解決，綜合性較強(qiáng)．20．（12分）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望．【考點(diǎn)】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）由題意得到這兩種方案的化驗(yàn)次數(shù)，算出在各個(gè)次數(shù)下的概率，寫出化驗(yàn)次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．（2）根據(jù)上一問乙的化驗(yàn)次數(shù)的分布列，利用期望計(jì)算公式得到結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能：①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再?gòu)闹兄饌€(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再?gòu)钠渌鼉芍恢序?yàn)出陽性（無論第二次試驗(yàn)中有沒有，均可以在第二次結(jié)束），∴乙只用兩次的概率為．若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能：先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再?gòu)闹兄饌€(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好二次驗(yàn)中概率為在三次驗(yàn)出時(shí)概率為∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【點(diǎn)評(píng)】期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做鋪墊．同時(shí)，它在市場(chǎng)預(yù)測(cè)，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．21．（12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)．已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程．【考點(diǎn)】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】（1）由2個(gè)向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長(zhǎng)度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．（2）利用第（1）的結(jié)論，設(shè)出雙曲線的方程，將AB方程代入，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式，求出待定系數(shù)，即可求出雙曲線方程．【解答】解：（1）設(shè)雙曲線方程為，由，同向，∴漸近線的傾斜角范圍為（0，），∴漸近線斜率為：，∴．∵||、||、||成等差數(shù)列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）?2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=，而由對(duì)稱性可知：OA的斜率為k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可設(shè)雙曲線方程為﹣=1，∴c=b．由于AB的傾斜角為+∠AOB，故AB的斜率為tan（+∠AOB）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直線方程為y=﹣2（x﹣b），代入雙曲線方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1?x2=，∴4=?=?，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求雙曲線方程為：﹣=1．【點(diǎn)評(píng)】做到邊做邊看，從而發(fā)現(xiàn)題中的巧妙，如據(jù)，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是2漸近線的夾角的正切值，屬于中檔題．22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=x﹣xlnx．?dāng)?shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an+1=f（an）．（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)；（Ⅱ）證明：an＜an+1＜1；（Ⅲ）設(shè)b∈（a1，1），整數(shù)．證