清單07 二次函數(shù)（13個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）25學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

清單07二次函數(shù)（13個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【清單02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．【清單03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小【清單04】拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．【清單05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【清單06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問(wèn)題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值【清單07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問(wèn)題二次函數(shù)與幾何知識(shí)聯(lián)系密切，互相滲透，以點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、最大(小)面積、周長(zhǎng)等結(jié)合起來(lái)，解決這類問(wèn)題時(shí)，先要對(duì)已知和未知條件進(jìn)行綜合分析，用點(diǎn)的等、坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問(wèn)題得到解決.解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題目的【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的概念

【典例1-1】下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=3x?1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義．根據(jù)形如y=ax【詳解】解：A、y=3x?1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、y=ax2+bx+cC、y=2xD、y=x故選：C．【典例1-2】關(guān)于x的函數(shù)y=(m?1)xm2+1+5【答案】?1【分析】本題考查了二次函數(shù)的概念：關(guān)于自變量的二次三項(xiàng)式，一般形式為y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c是常數(shù)；根據(jù)概念得m?1≠0【詳解】解：由題意得：m?1≠0，m2解得：m=?1；故答案為：?1．【變式1-1】下列屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=?2x2+3 B．y=2x C．y=【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，一般地，把形如y=ax2+bx+ca≠0其中a，【詳解】解：A、y=?2xB、y=2x，是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、y=1D、y=?x+1，是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【變式1-2】若y=(m?4)x2?5x+3表示y是x的二次函數(shù)，則m【答案】m≠4【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，利用二次函數(shù)的定義得出關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)形如y=ax【詳解】解：由題意得，m?4≠0，解得m≠4，故答案為：m≠4．【變式1-3】若y=m?2xm2?2+3x是關(guān)于【答案】?2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)定義，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c利用二次函數(shù)定義可得m2?2=2，且m?2≠0，計(jì)算出【詳解】解：∵y=m?2xm∴m2?2=2，且m?2≠0，解得：故答案為：?2．

【考點(diǎn)題型二】特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【典例2】對(duì)于拋物線y=?2x?12+3A．函數(shù)最小值是3 B．當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是?1,3 D．對(duì)稱軸為直線x=1【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)y=ax??2+k的圖像和性質(zhì)，由拋物線y=?2x?12+3可得出拋物線開口向下，對(duì)稱軸直線為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：1,3，進(jìn)而可得出函數(shù)的最大值為3，且當(dāng)【詳解】解：∵拋物線y=?2x?12+3∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸直線為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：1,3，∴函數(shù)的最大值為3，且當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小，故選：D．【變式2-1】若二次函數(shù)y=x2+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【答案】C【分析】本題主要考查了比較函數(shù)值的大小，根據(jù)二次函數(shù)y=x2+3【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為：y=x∴對(duì)稱軸為y軸，∴點(diǎn)?1,y1到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)∵a=1>0，∴y1故選：C．【變式2-2】拋物線y=x?12?2A．?1,?2 B．1,?2 C．?1,2 D．1,2【答案】B【分析】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax??2+k【詳解】解：拋物線y=x?12?2故選：B．【變式2-3】設(shè)A(?5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是拋物線y=?A．y2>y3>y1 B．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=?(x+1)2+3【詳解】解：∵拋物線y=?(x+1)2+3∵?5??1=6,∴A(?5,y1)離直線x=?1的距離最遠(yuǎn)，B(1,∴y故選：A．【變式2-4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x?52+1，當(dāng)2<x<6時(shí)，【答案】?8<y≤1【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)．求得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)x=5，函數(shù)有最大值1；當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有最小值?8，進(jìn)而求得它們的范圍．【詳解】解：∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=5，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為5,1，∴在2<x<6范圍內(nèi)，當(dāng)x=5，函數(shù)有最大值為1；當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有最小值：y=?9+1=?8，故答案為：?8<y≤1．

【考點(diǎn)題型三】與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識(shí)

【典例3】如圖，拋物線C1:y=x2?4x的對(duì)稱軸為直線x=a，將拋物線C1向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2【答案】10【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，平移的性質(zhì)，理解圖中陰影部分為平行四邊形OEFG是解題的關(guān)鍵．先求出l1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)求出C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，G的坐標(biāo)，求出平行四邊形OEFG【詳解】解：∵拋物線C1∴對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)為(2,?4)∵拋物線C1向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)．故兩條拋物線、直線x=a與y軸所圍成的圖形（陰影部分）的面積為5×2=10．故答案為：10.【變式3-1】如圖，已知拋物線y1=?12x2+4，?2≤x≤2，將【答案】8【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．根據(jù)已知得出陰影部分即為平行四邊形的面積．【詳解】解：根據(jù)題意知，圖中陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積，故陰影部分面積為：2×4=8．故答案為：8．【變式3-2】如圖，拋物線y=13x2?3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是以點(diǎn)C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，D是線段AF的中點(diǎn)，連接OD，【答案】3【分析】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形中位線定理，勾股定理，圓的基本性質(zhì)等知識(shí)；運(yùn)用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．連接PB，根據(jù)函數(shù)解析式，求B坐標(biāo)，然后求出BC=5，D是線段AF的中點(diǎn)，O是線段AB的中點(diǎn)，故BF是△ABF的中位線，當(dāng)B、C、F三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在BF之間時(shí)，BF最大，即可求解．【詳解】解：連接BC，CF，∵拋物線y=13x2?3與x令y=0即0=1解得x1=?3或∴A?3,0∴OA=OB=3，∵C0,4∴OC=4，∴BC=4D是線段AF的中點(diǎn)，O是線段AB的中點(diǎn)，故OD是△ABP的中位線，OD=1OD最大，即BF最大，即B、C、F三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在BF之間時(shí)，BF最大，∴BFOD故答案為：3．【變式3-3】將拋物線y=?x2向右平移后，所得新拋物線的頂點(diǎn)是B，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)A（如圖所示），聯(lián)接OA、AB如果△AOB是等邊三角形，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是【答案】B(2【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．由題意設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m,?m2)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到B(2m,0)【詳解】解：∵點(diǎn)A在拋物線y=?x∴設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m,?m∵△AOB是等邊三角形，∴B(2m,0)，m=3∴m=3或m=0∴B(23故答案為：B(23【變式3-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為1,1、1,4、4,4．若拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

【答案】1【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，求出拋物線經(jīng)過(guò)兩個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)的a的值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為1,1、1,4、4,4．∴D4當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1,4時(shí)，則a=4當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)D4,1時(shí)，a=觀察圖象可知，拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是故答案為：116

【考點(diǎn)題型四】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

【典例4】已知二次函數(shù)y=2x2?x+1A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為12,7C．當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小 D．若1<x1【答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用配方法得到y(tǒng)=2x?【詳解】解：∵y=2x∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為14∴拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為14,78，函數(shù)的最小值為∴當(dāng)x≤14時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x≥14時(shí)，∴若1<x1<∴選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)D正確，符合題意，故選：D【變式4-1】下列關(guān)于二次函數(shù)y=?3x+1x?2的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（A．點(diǎn)0,2在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上C．對(duì)稱軸是直線x=1 D．與直線y=3x有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．求出x=0時(shí)，y的值即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)?3<0即可判斷選項(xiàng)B；將二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式即可判斷選項(xiàng)C；聯(lián)立二次函數(shù)與直線y=3x可得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由此即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=?3×1×?2則點(diǎn)0,2不在函數(shù)圖象上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵?3<0，∴拋物線的開口方向向下，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；y=?3x+1則對(duì)稱軸是直線x=1聯(lián)立y=?3x+1x?2y=3x解得x=±2則與直線y=3x有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D正確；故選：D．【變式4-2】已知二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4m>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,y1A．y1<y2<y3 B．【答案】B【分析】本題考查利用二次函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值大小，涉及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、比較二次函數(shù)值大小等知識(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，利用圖像上點(diǎn)到對(duì)稱軸距離比較函數(shù)值大小即可得到答案，熟練掌握利用距離比較二次函數(shù)值大小的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：由二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸距離越近，函數(shù)值y越大，∵二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4m>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,∴三個(gè)點(diǎn)A、B、C到對(duì)稱軸的距離為3、0、2，∴y1故選：B．【變式4-3】二次函數(shù)y=ax2+x?6的圖象與x軸交于A?3,0、A．它的對(duì)稱軸為直線x=1 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為?C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0 D．當(dāng)x<?1時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+x?6的圖象與x∴9a?3?6=0，解得：a=1，∴二次函數(shù)解析式為y=x∵y=x∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=?12，頂點(diǎn)坐標(biāo)為故A，B選項(xiàng)不正確，不符合題意；∵a=1>0，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)x<?1時(shí)，y隨x的增大而減小，故D選項(xiàng)不正確，不符合題意；當(dāng)y=0時(shí)，x2解得：x1∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0，故C選項(xiàng)正確，符合題意；故選：C．【變式4-4】拋物線y=ax2+bx+ca≠0，y與x?2012my?5343?5A．開口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4 C．當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小 D．m=4【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性、增減性以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)圖表信息判斷出拋物線的開口向下對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性解答．【詳解】解：由圖可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，∵x=1時(shí)，y=4最大，∴拋物線開口向下，當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=3與x=?1時(shí)，y值相等，∵x=?2時(shí)，y=?5，∴x=m=4時(shí)，y=?5．故選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C．

【考點(diǎn)題型五】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值與求參數(shù)范圍問(wèn)題

【典例5】已知二次函數(shù)y=x2?2ax+a2?1，當(dāng)A．1或0 B．1或2?3 C．2?3或3?1【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．根據(jù)二次函數(shù)y=x2?2ax+【詳解】解：二次函數(shù)y=x∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a，函數(shù)的最小值為?1，∵函數(shù)的最大值與最小值的差為3，∴函數(shù)的最大值為2，∵當(dāng)?1≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為3，∴當(dāng)a??1>2?a，即a>12時(shí)，∴?1解得a1=3當(dāng)a??1<2?a，即a<12時(shí)，∴2解得a1=2+3故選：C．【變式5-1】已知二次函數(shù)y=x2?bx+1，當(dāng)?32≤x≤12時(shí)，函數(shù)A．?2或32 B．?116或32 C．±【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)的最值求系數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分三種情況：當(dāng)?32<b2<12時(shí)，即?3<b<1時(shí)，當(dāng)x=?b2時(shí)，函數(shù)有最小值12；當(dāng)b2≥12【詳解】解：∵y=x又∵當(dāng)?32≤x≤12∴當(dāng)?32<b2<1∴1?b解得：b=±2∴b=?2當(dāng)b2≥12時(shí)，即b>1時(shí)，當(dāng)∴12解得：b=3當(dāng)b2≤?32時(shí)，即b≤?3時(shí)，當(dāng)∴?3解得：b=?11綜上，當(dāng)?32≤x≤12時(shí)，函數(shù)y有最小值12，故選：A．【變式5-1】已知二次函數(shù)y=mx2?4mx+1，其中m>0．若當(dāng)0≤x≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則mA．12<m<34 B．1<m≤54【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由y=mx2?4x+4?4m+1=mx?22?4m+1，可知函數(shù)的最小值為1?4m【詳解】∵y=m∴y=mxy=mx?2∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,1?4m，∴當(dāng)x=0或x=4時(shí)，y=1，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為1?4m，∵m>0，∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的最大值為1，∵m>0，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，∴這6個(gè)整數(shù)值為：1、0、?1、?2、?3、?4，∴?5<1?4m≤?4解得：5故選：D【變式5-2】已知拋物線y=x2+2a?1x?3，若當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最大值為1，則a的值為【答案】?1或?13/?【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論．先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=?2a?12，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性并結(jié)合【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+2a?1∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=?2a?1①當(dāng)?2a?12>3，即a<?52時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在?1≤x≤3上y隨x的增大而減小，在x=?1取最大值，即1?②當(dāng)?1+32≤?2a?12≤3∴二次函數(shù)在x=?1取最大值，即1?2a?1?3=1，解得③當(dāng)?1≤?2a?12<?1+32∴二次函數(shù)在x=3取最大值，即9+32a?1?3=1，解得④當(dāng)?2a?12<?1即a≥32時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在?1≤x≤3上y隨x的增大而增大，在x=3取最大值，9+3綜上，a的值為?1或?1故答案：?1或?1【考點(diǎn)題型六】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像判斷有關(guān)的信息

【典例6】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc<0；②2a+b=0；③m為任意實(shí)數(shù)，則a+b≤m(am+b)；④a?b+c>0；⑤若ax12+bA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．根據(jù)圖象正確的獲取信息，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸，與y軸的交點(diǎn)位置，進(jìn)行判斷；②利用對(duì)稱軸進(jìn)行判斷；③利用最值進(jìn)行判斷；④根據(jù)對(duì)稱性和圖象上的點(diǎn)，進(jìn)行判斷；⑤利用對(duì)稱性進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向上，則a>0，∵對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1∴2a+b=0，故②正確拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則c<0，∴abc>0，故①錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=1時(shí)，取得小值，∴a+b+c≤am當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)，則a+b≤mam+b④∵拋物線關(guān)于x=1對(duì)稱，∴x=?1即：a?b+c=9a由圖象知，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值大于0，∴a?b+c>0，故④正確；⑤當(dāng)x1,x2關(guān)于x1即：ax∴a∴若ax12+bx綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個(gè)，故選：C．【變式6-1】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①abc<0；②c+2a<0；③9a?3b+c=0；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷得到答案即可．由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①由拋物線可知：a>0，c<0對(duì)稱軸x=?b∴b>0，∴abc<0，故①正確；②由對(duì)稱軸可知：?b∴b=2a，∴y=ax2∵拋物線過(guò)點(diǎn)1,0，∴a+2a+c=0，∴c+2a=?a<0，故②正確；③1,0關(guān)于x=?1的對(duì)稱點(diǎn)為?3,0，∴x=?3時(shí)，y=9a?3b+c=0，故③正確；④拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ即b2∴4ac?b⑤當(dāng)x=?1時(shí)，y的最小值為a?b+c，∴x=m時(shí)，y=am∴am即a?b≤mam+b故錯(cuò)誤的有：④⑤．故選：B．【變式6-2】如圖，已知頂點(diǎn)為?3,?6的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)?1,?4，則下列結(jié)論：①abc<0；②對(duì)于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③?5a+c=?4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸，與y軸的交點(diǎn)，即可判斷a,b,c的符號(hào)，即可判斷①，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得最值，即可判斷②，把?1,?4代入y=ax2+bx+c，得a?b+c=a?6a+c=?5a+c=?4，故③正確，由?1,?4關(guān)于直線x=?3對(duì)稱的點(diǎn)為(?5,?4)，進(jìn)而得若ax2+bx+c≥?4，則x≥?1或x≤?5，故④錯(cuò)誤；由拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為?3,?6【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a>0，∵對(duì)稱軸為直線x=?3=?b∴b>0，b=6a，∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，∴c<0，∴abc<∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,?6)，即x=?3時(shí)，函數(shù)有最小值，∴ax∴對(duì)于任意的x，均有am∵拋物線y=ax2+bx+c∴a?b+c=a?6a+c=?5a+c=?4，故③正確；∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)?1,?4，?1,?4關(guān)于直線x=?3∴若ax2+bx+c≥?4，則x≥?1∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為?3,?6∴4ac?b∴c=9a?6，∵?5a+c=?4，∴?5a+9a?6=?4，解得a=1∴正確的個(gè)數(shù)為3.故選：B．【變式6-3】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點(diǎn)A?1,0，與y軸的交點(diǎn)在0,?2和0,?1之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1，下列結(jié)論：①4a+2b+c>0；②4ac?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與【詳解】解：①∵圖象與x軸交于點(diǎn)A?1,0，對(duì)稱軸為直線x=1∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為3,0，∴當(dāng)x=2時(shí)，y<0，∴4a+2b+c<0，故①錯(cuò)誤；②∵函數(shù)開口方向向上，∴a>0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在0,?2和0,?1之間，對(duì)稱軸為直線x=1，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)要小于?1，∴4ac?b24a∴4ac?b③∵圖象與y軸的交點(diǎn)在0,?2和0,?1之間，∴?2<c<?1，∵圖象與x軸交于點(diǎn)A?1,0和3,0∴ax2+bx+c=0由韋達(dá)定理可知：ca∴c=?3a，∴?2<?3a<?1，∴13④∵對(duì)稱軸為直線為x=?b∴b=?2a，∵a>0，c=?3a，∴b>c，故④正確．綜上所述，正確的有②③④，故選：C．【變式6-4】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為12,1，下列結(jié)論：①abc<0；②b2?4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b∴b=?a>0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正確；∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1∴x=0和x=1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，∴x=1時(shí)，y>0，即a+b+c>0，所以③錯(cuò)誤；∵b=?a，∴a+b=0，所以④正確；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)為1，∴4ac?b∴4ac?b故選：D．

【考點(diǎn)題型七】二次函數(shù)的平移變換

【典例7】將拋物線y=x2向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的解析式為（A．y=x+52+2C．y=x+52?2【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律．根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進(jìn)行求解即可；【詳解】解：將拋物線y=x2向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后可得：故選：A．【變式7-1】將拋物線y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x?2)2+1【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)得圖像與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖像平移得法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】將拋物線y=3x2先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式是故選C．【變式7-2】要得到二次函數(shù)y=?x?22+1A．向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位B．向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位D．向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位【答案】B【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．【詳解】解：根據(jù)“左加右減，上加下減”規(guī)律：二次函數(shù)y=?x2的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即可得到二次函數(shù)故選：B．【變式7-3】在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2+1A．y=x?32?1C．y=x+32?1【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．【詳解】解：將拋物線y=x2+1先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新的拋物線的函數(shù)解析式為y=故選：A．

【考點(diǎn)題型八】二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

【典例8】拋物線y1=?x2+4x和直線yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，寫出拋物線在直線上方部分的x的范圍，即可求解，本題考查了二次函數(shù)交點(diǎn)確定不等式解集，解題的關(guān)鍵是：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，將函數(shù)圖像與不等式解集聯(lián)系起來(lái)．【詳解】解：由圖像可知，拋物線y1=?x2+4x另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，代入y2=2x，解得∴另一交點(diǎn)坐標(biāo)為2,4，∴不等式y(tǒng)1>y故選：C．【變式8-1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，當(dāng)函數(shù)值y<0時(shí)，自變量x【答案】?1<x<3【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．根據(jù)題意，當(dāng)函數(shù)值y<0時(shí)，自變量x的取值范圍，就是求當(dāng)函數(shù)圖象在x軸下方時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，由此得到答案．【詳解】解：觀察圖象知，當(dāng)函數(shù)值y<0時(shí)，自變量x的取值范圍是?1<x<3，故答案為：?1<x<3．

【變式8-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bxa>0和直線y=kxk>0交于點(diǎn)O和點(diǎn)A，則關(guān)于x【答案】x<0或x>3【分析】本題考查二次函數(shù)和不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解；通過(guò)拋物線與直線的交點(diǎn)即可求解．【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx(a>0)和直線y=kx(k>0)交于點(diǎn)O∴x<0或x>3時(shí)，拋物線在直線的上方，∴不等式ax2+bx>kx的解集為：x<0故答案為：x<0或x>3．【變式8-3】如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m的圖象相交于點(diǎn)A(?5,?3)，B(3,4)【答案】x<?5或x>3【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式．熟練掌握數(shù)形結(jié)合法求不等式的解集是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式ax2+bx+c>kx+m【詳解】解：由題意知，不等式ax2+bx+c>kx+m由圖象可知，x<?5或x>3，故答案為：x<?5或x>3．

【考點(diǎn)題型九】二次函數(shù)應(yīng)用-類拋物線問(wèn)題

【典例9】【綜合與實(shí)踐】為響應(yīng)國(guó)家“雙減”政策號(hào)召，落實(shí)“五育并舉”舉措，我縣各校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．球類運(yùn)動(dòng)課上，甲乙兩人打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺(tái)的中軸線運(yùn)動(dòng)，從側(cè)面看乒乓球臺(tái)如圖所示，MN為球臺(tái)，EF為球網(wǎng)，點(diǎn)E為MN中點(diǎn)，MN=28dm，EF=1.5dm，甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺(tái)上的B處再?gòu)椘鸬搅硪粋?cè)的C處，從C處再次彈起到P，乙再接球．以MN所在直線為x軸，M為原點(diǎn)作平面直角坐標(biāo)系，xdm表示球與M的水平距離，ydm表示球到球臺(tái)的高度，將乒乓球看成點(diǎn)，兩次彈起的路徑均為拋物線，BC段拋物線的表達(dá)式為y1(1)①點(diǎn)F的坐標(biāo)為______；②用含t的式子表示：點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；(2)當(dāng)球在球網(wǎng)EF正上方時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，求此時(shí)球與F的距離；(3)若球第二次的落點(diǎn)C在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起最高為1.25dm，乙的球拍在N處正上方如線段GH，GH=1.5dm，【答案】(1)①14，1.5；(2)此時(shí)球與F的距離為0.3dm(3)1≤n≤7【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，需認(rèn)真審題，完成由實(shí)際問(wèn)題到理論知識(shí)的轉(zhuǎn)化，采用順利解題．（1）①依題意求得F坐標(biāo)即可；②求拋物線與x軸的交點(diǎn)即可；（2）先求出解析式，再求得球與F的距離；（3）將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題即可．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)E為MN中點(diǎn)，EF=1.5，MN=28，∴ME=1∴F14故答案為：14，②∵B，C是x軸與拋物線的交點(diǎn)，∴令yt=0，則解得：x1=t，∴Bt故答案為：t，（2）解：∵BC段拋物線與x軸交于t，∴BC段拋物線的對(duì)稱軸為直線：x=t+t+12當(dāng)球在EF上方到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，即t+6=14，∴t=8，即：BC段拋物線為y1當(dāng)x=14時(shí)，y1∵1.8?1.5=0.3．∴此時(shí)球與F的距離為0.3dm；（3）解：∵球第二次的落點(diǎn)在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起最高為1.25dm∴球過(guò)19，∴?1解得?=24或14（舍去），當(dāng)?1解得：x=27或21，又∵1.25<0.8+1.5，28?27=1，28?21=7，∴1≤n≤7．

【變式9-1】如圖，小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=?0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【答案】C【分析】本題考查了投球問(wèn)題，實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)，如圖，實(shí)際是求AB的長(zhǎng)，而OA已知，所以只需求出OB即可，OB就是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，把C點(diǎn)縱坐標(biāo)y=3.05代入y=?0.2xx=±1.5(舍去負(fù)值)，即OB=1.5m所以l=AB=2.5+1.5=4m故選：C．【變式9-2】“一河詩(shī)畫，滿城煙花”，每逢過(guò)年過(guò)節(jié)，人們會(huì)在美麗的瀏陽(yáng)河邊上手持網(wǎng)紅煙花加特林進(jìn)行燃放，當(dāng)發(fā)射角度與水平面成45度角時(shí)，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y=?0.5x2+10x?38【答案】12【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將原拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可獲得答案．【詳解】解：∵y=?0.5x又∵a=?0.5<0，∴當(dāng)x=10（米）時(shí)，煙花可以達(dá)到的最大高度，最大高度為12米．故答案為：12．【變式9-3】圖①是古代的一種遠(yuǎn)程投石機(jī)，其投出去的石塊運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分．據(jù)《范蠡兵法》記載：“飛石重十二斤，為機(jī)發(fā)，行二百步”，其原理蘊(yùn)含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，將投石機(jī)置于斜坡OA的底部點(diǎn)O處，石塊從投石機(jī)豎直方向上的點(diǎn)C處被投出，已知石塊運(yùn)動(dòng)軌跡所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是50,25，OC=5．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在斜坡上的點(diǎn)A建有垂直于水平線OD的城墻AB，且OD=75，AD=12，AB=9，點(diǎn)D，A，B在一條直線上．通過(guò)計(jì)算說(shuō)明石塊能否飛越城墻AB．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y＝?(2)石塊不能飛越城墻AB【分析】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是50,25可設(shè)石塊運(yùn)行的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?502+25（2）由OD=75得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為75，將x=75代入函數(shù)y=?1125x?502+25，可求得石塊飛到點(diǎn)D的豎直方向上時(shí)距OD【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是50,25，∴設(shè)石塊運(yùn)行的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?50∵OC=5∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,5，∵拋物線過(guò)點(diǎn)C0,5∴a0?502+25=5解得：a=?∴拋物線的表達(dá)式為y=?1即y=?1（2）∵OD=75，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為75，將x=75代入函數(shù)y=?1125x?50即石塊飛到點(diǎn)D的豎直方向上時(shí)距OD的高度為20，∵AD=12，AB=9，∴BD=AD+AB=12+9=21>20，∴石塊不能飛越城墻AB．【變式9-4】某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門，并要求所設(shè)計(jì)的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，點(diǎn)N在x軸上，PE⊥ON，方案二，拋物線型拱門的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)），方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面積記為S2，點(diǎn)A′

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1【答案】(1)y=?(2)S1=18【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式．（1）由題意知拋物線的頂點(diǎn)P6,4（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)P6,4設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?6把O0,0代入得0=a解得：a=?1∴y=?1∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）在y=?19x2+解得x=3或x=9，∴BC=9?3=6m∴S1∵18>122∴S1

【考點(diǎn)題型十】二次函數(shù)應(yīng)用-面積問(wèn)題

【典例10】以農(nóng)業(yè)和農(nóng)村為載體的生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園，不僅具有生產(chǎn)性功能，還具有改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，為人們提供觀光、休閑、度假的生活性功能．?dāng)?shù)學(xué)探究小組以“設(shè)計(jì)矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”為主題開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)．如圖，△ABC是一塊用籬笆圍出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，數(shù)學(xué)探究小組準(zhǔn)備繼續(xù)用籬笆在該田地中圍出“矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”．該觀光園為矩形DEFG，E、F落在BA邊上，D在BC邊上，G在AC邊上，（其中(1)若DE=204m，請(qǐng)求出矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園DG(2)因材料限制，新添加的籬笆總長(zhǎng)最多只能為485m【答案】(1)75(2)該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值為22500【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交DG于點(diǎn)K，根據(jù)勾股定理求出AC=AB2?BC2=400m，根據(jù)等積法求出CH=BC×AC（2）設(shè)DE=x，DG=y，則CK=240?x，證明△CDG∽△CBA，得出DGBA=CKCH，求出y=25240?x12，得出S矩形DEFG=DE?DG=?2512x?1202+30000【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交DG于點(diǎn)K，如圖所示：∵∠C=90°，AB=500m，BC=300∴AC=A∵S△ABC∴CH=BC×AC∵四邊形DEFG為矩形，∴∠DEF=∠EFG=∠DGF=∠EDG=90°，DG∥∵∠KDE=∠DEH=∠EHK=90°，∴四邊形DEHK為矩形，∴DE=KH=204m∴CK=CH?KH=240?204=36m∵DG∥∴△CDG∽△CBA，∴DGAB即DG500解得：DG=75，即矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園DG邊的長(zhǎng)為75m（2）解：設(shè)DE=x，DG=y，則CK=240?x，根據(jù)解析（1）可知：△CDG∽△CBA，∴DGBA即y500解得：y=25∴S=xy=x?=?=?25∵新添加的籬笆總長(zhǎng)最多只能為485m∴DE+GF+DG≤485，即x+x+y≤485，把y=25240?x12解得：x≥180，∵y=25∴x<240，∴180≤x<240，∵?2512<0∴當(dāng)x=180時(shí)，S矩形?25即該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值為22500m【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式10-1】如圖1，用一段長(zhǎng)為33米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形ABCD菜園，墻長(zhǎng)為12米．設(shè)AB的長(zhǎng)為x米，矩形ABCD菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數(shù)式表示BC與S；(2)若S=54，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個(gè)小矩形的正前方各開一個(gè)1.5米寬的門（無(wú)需籬笆），當(dāng)x為何值時(shí)，S取最大值，最大值為多少？【答案】(1)BC=33?3x，S=?3(2)9(3)當(dāng)x=8時(shí)，S有最大值，最大值為?3×8?6【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意列出對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，方程和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)列式求出BC，再根據(jù)矩形面積公式求出S即可；（2）根據(jù)（2）所求得到方程，進(jìn)而解方程并檢驗(yàn)即可得到答案；（3）先求出S=?3x2+36x【詳解】（1）解：由題意，BC=33?3x，則矩形ABCD菜園的面積為S=x33?3x（2）解：當(dāng)S=54時(shí)，由54=?3x2+33x解得x1=2，∵墻長(zhǎng)為12米，∴0<33?3x≤12，則7≤x<11，∴x=9，答：x值為9；（3）解：由題意，BC=33+2×1.5?3x=36?3x，∴S=x36?3x∵墻長(zhǎng)為12米，籬笆長(zhǎng)為33米，∴0<36?3x≤12，∴8≤x<12，∵?3<0，∴當(dāng)x=8時(shí)，S有最大值，最大值為?3×8?6【變式10-2】綜合與實(shí)踐在綜合實(shí)踐課上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如圖1，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一個(gè)正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如圖2，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=a，高AD=?，小明要利用它做一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是多少？（用含a，?的代數(shù)式表示）(3)如圖3，已知四邊形的小木塊ABCD，測(cè)得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，CD【答案】(1)加工成的正方形零件PQMN的邊長(zhǎng)是48cm(2)加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是a?4(3)加工成的矩形零件PQMN面積的最大值為12503【分析】（1）設(shè)正方形零件PQMN的邊長(zhǎng)xcm，由四邊形PQMN是正方形得PN∥BC，則△APN∽△ABC，故x（2）設(shè)PQ=x，由△APN∽△ABC可得PNa=??x（3）延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)K，交PN于點(diǎn)E，由∠B=∠C=60°得△GBC是等邊三角形，有BH=CH=50cm，GH=503cm，設(shè)PQ=EH=xcm，則本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長(zhǎng)、三角形的邊與該邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)正方形零件PQMN的邊長(zhǎng)xcm∵四邊形PQMN是正方形，∴PN∥∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，∵PN∥∴△APN∽∴PNBC∴x120解得x=48，∴加工成的正方形零件PQMN的邊長(zhǎng)是48cm（2）設(shè)PQ=x，∵∠EPQ=∠EQD=∠QDE=90°，∴四邊形PQDE是矩形，∴DE=PQ=x，PN∥∴AE=??x，∵PN∥∴△APN∽∴PNBC∴PNa∴PN=a∴S矩形∵?1<0，∴當(dāng)x=?2時(shí)，S矩形∴加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是a?4（3）延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)K，交PN于點(diǎn)E，如圖，∵∠B=∠C=60°，∴△GBC是等邊三角形；∵BC=100cm∴BH=CH=50cm，GH=50∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥∴△GPN是等邊三角形，設(shè)PQ=EH=xcm，則GE=∴PE=EN=GE∴PN=100∴S四邊形∵?2∴當(dāng)x=253時(shí)，S四邊形PQMN∴加工成的矩形零件PQMN面積的最大值為12503【變式10-3】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如果箏形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm、8(2)已知箏形ABCD的對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)度為整數(shù)值，且滿足AC+BD=6．試求當(dāng)AC,BD的長(zhǎng)度為多少時(shí)，箏形ABCD的面積有最大值，最大值是多少？【答案】(1)24平方厘米(2)AC=3,BD=3時(shí)，面積有最大值，最大為9【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，能用AC長(zhǎng)表示出箏形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）由AD=CD,AB=BC可得出點(diǎn)B和點(diǎn)D都在AC的垂直平分線上，所以AC⊥BD，由S箏形=S△ADC+S△ABC（2）設(shè)AC的長(zhǎng)為xcm，則BD=6?xcm【詳解】（1）解：∵AD=CD，∴點(diǎn)D在AC的垂直平分線上．同理點(diǎn)B在AC的垂直平分線上．∴BD垂直平分AC．所以AC⊥BD．∴S△ADC=則S===1又箏形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm，8所以S箏形（2）解：令A(yù)C=xcm，則BD=由（1）知，S箏形又AC,BD的長(zhǎng)度為整數(shù)值，則當(dāng)AC=3時(shí)，S箏形ABCD有最大值，最大值為此時(shí)BD=6?3=3cm

【考點(diǎn)題型十一】二次函數(shù)應(yīng)用-利潤(rùn)問(wèn)題

【典例11】某款網(wǎng)紅產(chǎn)品很受消費(fèi)者喜愛(ài)，每個(gè)產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷量減少10個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為y個(gè)，銷售單價(jià)為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍．(2)將產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)w（元）最大？最大利潤(rùn)是多少元？(3)該商戶從每天的利潤(rùn)中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)等于2200元，求銷售單價(jià)x的值．【答案】(1)y=?10x+740(2)將產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)w（元）最大，最大利潤(rùn)是2640元．(3)為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)等于2200元，銷售單價(jià)為50元【分析】本題主要了考查二次函數(shù)應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用的等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量×（售價(jià)?進(jìn)價(jià)），列出平均每天的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn)；（3）根據(jù)題意得剩余利潤(rùn)為w?200，利用函數(shù)性質(zhì)求出w?200≥2200時(shí)的x的取值范圍即可；解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）根據(jù)題意，得y=300?10x?44∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?10x+74044≤x≤52（2）根據(jù)題意，得w=?10x+740∵?10<0，又對(duì)稱軸直線x=57，且44≤x≤52，∴當(dāng)x=52時(shí)，w有最大值，最大值為2640，∴將產(chǎn)品的銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)w（元）最大，最大利潤(rùn)是2640元；（3）依題意可得剩余利潤(rùn)為w?200元．∵捐款后每天剩余利潤(rùn)等于2200元，∴w?200=2200，即?10x?57解得x=50或x=64（舍去），∴為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)等于2200元，銷售單價(jià)為50元．【變式11-1】某商店銷售一種進(jìn)價(jià)60元/件的商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、銷售量的二組對(duì)應(yīng)值如下表：售價(jià)x/（元/件）80100銷售量y/件10060(1)求銷售量y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式．(2)①設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②若規(guī)定售價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)進(jìn)價(jià)的1.5倍，問(wèn)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)y=?2x+260(2)①W=?2x2+380x?15600【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)y=kx+b，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①利用總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出二次函數(shù)解析式；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)銷售量y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b．根據(jù)題意，得80k+b=100解得：k=?2b=260∴銷售量y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?2x+260．（2）解：①由（1）知每天的銷售量y=?2x+260．∵商品進(jìn)價(jià)為60元/件，∴W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為W=即W=?2x②∵1.5×60=90．∴60<x≤90，∴W=?2x∵?2<0．∴當(dāng)x=90時(shí)．W有最大值．最大值為2400．【變式11-2】某超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）x≥30存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)P元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？(3)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4320元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍（直接寫出）．【答案】(1)y=?20x+1000(2)當(dāng)銷售單價(jià)為35元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4500元(3)32≤x≤38【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）由圖象過(guò)點(diǎn)30,400和40,200易求直線解析式；（2）每天利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×銷售量．據(jù)此列出表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答；（3）求出當(dāng)P=4230時(shí)，x的直即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)y=kx+b，由圖象可知30k+b=400解得k=?20∴y=?20x+1000，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?20x+100030≤x≤50（2）解：由題意得P===?20x∵a=?20<0，∴p有最大值．∴當(dāng)x=?14002×?20=35時(shí)，∴當(dāng)銷售單價(jià)為35元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4500元．（3）解：當(dāng)P=4320時(shí)，則?20x整理得x2解得x1=32，∵?20<∴拋物線的開口向下，∴當(dāng)每天利潤(rùn)不得低于4320元時(shí)，銷售單價(jià)x的范圍為32≤x≤38．【變式11-3】著名作家史鐵生用他積極樂(lè)觀的人生態(tài)度影響著無(wú)數(shù)的讀者，他是當(dāng)之無(wú)愧的“時(shí)代巨人”．近日華南書苑直播平臺(tái)直播帶貨史鐵生散文集《病隙碎筆》，贏得了眾多粉絲的青睞．已知這本書的成本價(jià)為每本10元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍．通過(guò)前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價(jià)為15元時(shí)，每天可售出700本，銷售單價(jià)每上漲10元，每天銷售量就減少200本．設(shè)每天的銷售量為y（本），銷售單價(jià)為x（元/本）(1)直接寫出y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該書每天的利潤(rùn)為7500元，求該書的銷售單價(jià)；(3)甘肅地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，該主播決定，每銷售一本書就捐贈(zèng)a元a>0給災(zāi)區(qū)，當(dāng)每天銷售最大利潤(rùn)為6000元時(shí)，求a的值．【答案】(1)y=?20x+1000(2)單價(jià)為25元(3)5【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利用函數(shù)的增減性來(lái)解答．（1）依據(jù)題意，根據(jù)原銷售件數(shù)減去減少的件數(shù)即為所求；（2）依據(jù)題意，根據(jù)銷售利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售量即可求解；（3）依據(jù)題意，根據(jù)單件利潤(rùn)減去捐贈(zèng)數(shù)為最后單件利潤(rùn)，再根據(jù)銷售利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售量即可求解．【詳解】（1）由題意，y=700?x?15∵銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍，∴10≤x≤30．（2）由題意，得：x?10?20x+1000解之得：x1=25，∵10≤x≤30，∴x=25．答：該書的銷售單價(jià)為25元．（3）由題意，設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元，∴w=∴對(duì)稱軸為直線x=30+a∵10≤x≤30在對(duì)稱軸左側(cè)，且拋物線開口向下，∴w隨x的增大而增大．∴x=30時(shí)，w最大=6000．∴?20×30?50∴a=5．答：a的值為5．【考點(diǎn)題型十二】二次函數(shù)與幾何綜合應(yīng)用

【典例12】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(?1,0)，B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P(1)求拋物線的解析式；(2)連接OP，若點(diǎn)D在拋物線上且∠DBO+∠POB=90°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)?1≤x≤4時(shí)的函數(shù)圖象記為l1，將圖象l1在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象l1的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象l2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P【答案】(1)y=?(2)?12(3)?3<n≤?1且n≠?2【分析】（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x?3)，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）如圖1中，如圖1中，作PH⊥OB于H．由P(1,?2)，推出tan∠OPH=12，由∠DBO+∠POB=90°推出∠DBO=∠P，推出tan∠DBO=12，設(shè)BD交y軸于E，則E0,32，可得直線BD的解析式為（3）當(dāng)直線y=mx+n經(jīng)過(guò)P(1,?2)，B(3,0)時(shí)，則有m+n=?23m+n=0，解得m=1n=?3，可得一次函數(shù)的解析式為【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x?3)，把C(0,3)代入得a?1?(?3)=3，解得a=?1，所以拋物線解析式為y=?(x+1)(x?3)，即y=?x（2）解：如圖1中，作PH⊥OB于H．∵P(1,?2)，∴tan∵∠DBO+∠POB=90°，∠POB+∠P=90°，∴∠DBO=∠P，∴tan∠DBO=12，設(shè)BD交y軸于設(shè)直線BD的解析式為y=kx+m，把E0,32m=323k+m=0∴直線BD的解析式為y=?1由y=?x解得x=3y=0或x=?∴D?當(dāng)點(diǎn)D′在x軸下方時(shí)，同理可求得直線BD′由y=?x解得x=3y=0或x=?∴D（3）解：如圖2中，當(dāng)直線y=mx+n經(jīng)過(guò)P(1,?2)，B(3,0)時(shí)，則有m+n=?23m+n=0解得m=1n=?3∴一次函數(shù)的解析式為y=x?3，當(dāng)x=4時(shí)，y=?5，當(dāng)直線y=mx+n經(jīng)過(guò)P(1,?2)，(4,?5)時(shí)，則有m+n=?24m+n=?5解得m=?1n=?1∴一次函數(shù)y=觀察圖象可知：?3<n≤?1且n≠?2時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一次函數(shù)y=mx+n的圖象與圖象l2【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【變式12-1】如圖，拋物線y=?x2+bx+c與軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B、C，已知A(1)求拋物線的表達(dá)式，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)M是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MA，MB，當(dāng)△MAB面積最大時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)M坐標(biāo)固定為1,6，Q是拋物線上除M點(diǎn)之外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM與△ABQ的面積相等求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?x2(2)M(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3,4或2?7,?1+【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出直線AB的解析式，然后過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸交AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,?x2+3x+4)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,?x+4)，即可得到MN（3）分為點(diǎn)Q在AB上方和點(diǎn)Q在AB下方兩種情況，求出過(guò)點(diǎn)Q的直線解析式，然后求直線與拋物線的交點(diǎn)即可解題．【詳解】（1）解：把A0,4，Bc=4?16+4b+c=0，解得b=3∴拋物線的表達(dá)式為y=?x令y=0，則?x解得：x=4或x=?1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?1,0（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+a，代入得a=44k+a=0，解得k=?1∴直線AB的解析式為y=?x+4，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸交AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,?x2+3x+4)，則點(diǎn)N∴MN=y∴S△AMB∴當(dāng)x=2時(shí)，S△AMB最大，這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(（3）解：∵當(dāng)x=1時(shí)，y=6∴點(diǎn)M在拋物線上，∴S△AMB當(dāng)點(diǎn)Q在AB上方時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)Q且與AB平行的直線解析式為y=?x+m，把1,6代入得?1+m=6，解得m=7，∴y=?x+7，解方程組y=?x+7y=?x2+3x+4得∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,4當(dāng)點(diǎn)Q在AB下方時(shí)，則過(guò)點(diǎn)Q且與AB平行的直線為直線y=?x+4向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，即為y=?x+1，解方程組y=?x+1y=?x2+3x+4得∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2?7,?1+7綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3,4或2?7,?1+7【變式12-2】如圖，拋物線y=?x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A，C，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)?x(2)S△CBF有最大值為8，E(3)存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為12，?4或5【分析】（1）將A?1，0，B4，0（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)Fx，?x2+3x+4，則Ex（3）先求出對(duì)稱軸為直線x=?3?2=32，得D【詳解】（1）解：由題意，將A?1，0，B4得0=??12?m+n∴拋物線的表達(dá)式為y=?x（2）解：令x=0，則y=4，∴C0,4

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入得4k+b=0b=4，解得k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+4，設(shè)FxEF⊥x軸于點(diǎn)H，則Ex∴EF=?=?=?x∴S==?2=?2x?2∵S△CBF是關(guān)于x的二次函數(shù)，a=?2<0∴當(dāng)x=2時(shí)，S△CBF此時(shí)E2,2（3）解：由y=?x2+3x+4∴D3∵C0，4設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,n)，①當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，32+?1解得m=12，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為12②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，

32+02解得m=52，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為52，③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，?1+02=m+解得m=?52，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為?5綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為12，?4或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，正確掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積和平行四邊形的性質(zhì)，會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式12-3】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca<0的圖象與x軸交于A(?1,0)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接AC，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，連接PA，若△PDA與△COA相似，請(qǐng)求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若沒(méi)有滿足條件的P點(diǎn)，說(shuō)明理由．【答案】(1)該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?x(2)滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為83【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，一元二次方程法解法，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）設(shè)P(m,?m2+2m+3)，由題意得：m>0，OD=m，PD=?【詳解】（1）解：∵A(?1,0)，∴OA=1，∵OB=3OA，OC=OB，∴OB=OC=3．∴B(3,0)，C(0,3)，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca<0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴a?b+c=09a+3b+c=0解得：a=?1b=2∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?x（2）解：設(shè)P(m,?m∵PD⊥x軸，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，∴m>0，OD=m，PD=?m∴AD=OA+OD=m+1，∵△PDA與△COA相似，∴OAOC=AD∴13=m+1解得：m1=0，m2=?1或∵m>0，∴m=8∴△PDA與△COA相似，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為83【變式12-4】如圖，點(diǎn)C為二次函數(shù)y=x2+2x+1的頂點(diǎn)，直線y=?x+m與該二次函數(shù)圖象交于A(?3,4),B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在y(1)求m的值及點(diǎn)C坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)連接AC、BC，求△ABC的面積；(4)在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)m=1，C(?1,0)(2)?3<x<0(3)3(4)存在，Q的坐標(biāo)為(?1,8)或(?1,25)或(?1,?25【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可求m的值，利用待定系數(shù)法可求拋物線解析式；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由圖象直接可求得一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；（2）先求出D(?1,2)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離公式可求解．【詳解】（1）∵直線y=?x+m過(guò)點(diǎn)A(?3,4)，∴4=3+m，∴m=1，∴y=?x+1，二次函數(shù)解析式為y=x頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(?1,0)；（2）將x=0代入y=x2+2x+1∴B0,1，且A由圖象直接可得一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍為：?3<x<0；（3）由（1）知，直線AB的解析式為y=?x+1，C(?1,0)，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=∵直線y=?x+1與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，∴設(shè)點(diǎn)D(?1,y)，∴y=?1×(?1)+1=2，∴D(?1,2)，∴CD=2，∴△ABC的面積=S△ACD（4）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(?1,0)，∴對(duì)稱軸為x=∴設(shè)點(diǎn)Q(?1,y)，又∵C(?1,0)，點(diǎn)A(?3,4)，∴AC當(dāng)AC=AQ時(shí)，則20=?1+3∴y1∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(?1,8)，當(dāng)AC=CQ時(shí)，則20=y∴y=±2∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(?1,25)或當(dāng)AQ=CQ時(shí)，則?1+32∴y=5∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(?1,5綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(?1,8)或(?1,25)或(?1,?25【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式12-5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線y=?x2+bx+c與x(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在第二象限的拋物線上，且△AOD與△ABC面積相等，求D點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若P為線段AB上一點(diǎn)，∠APO=∠ACB，求AP的長(zhǎng)；(4)在（3）的條件下，設(shè)M是y軸上一點(diǎn)，試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=?(2)D(3)2(4)存在，?2,3、2,?5、?4,?5【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可；（2）易求△ABC的面積為6，AO=3，故D到x軸的距離為4，把y=4代入y=?x2?2x+3即可得x（3）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（4）分兩種情況：①PA為平行四邊形的邊時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可以為±2，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；②當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)為?4，求出點(diǎn)M【詳解】（1）解：令直線y=kx+3中x=0，則y=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為0，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B∴c=0?1+b+c=0解得b=?2c=3∴拋物線的解析式為：y=?x（2）解：令y=?x2?2x+3中y=0，則x∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0，∴S△ABC∵△AOD與△ABC面積相等，OA=3∴D到x軸的距離為4，將y=4代入y=?x2?2x+3∴點(diǎn)D坐標(biāo)?1,4；（3）解：令y=0，則?x解得：x1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0，∴OA=3，OB=3，OC=1，∴AB=O∵∠APO=∠ACB，且∠PAO=∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC=OA∴AP=22（4）解：存在，過(guò)P作PD⊥x軸于D，∵OA=3，OB=3，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°，∴△PAD為等腰三角形，∵AP=22∴PD=AD=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1,2，當(dāng)N在AB的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)，如圖：∵四邊形為APMN平行四邊形，∴MN∥AP，MN=AP=22∴∠NME=∠ABO=4