清單06 銳角三角函數(shù)（10個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）25學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（北師大版）

清單06銳角三角函數(shù)（10個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；【清單02】銳角三角函數(shù)的增減性（1）在0°－90°之間，銳角的正弦值隨角度的增大而增大；（2）在0°－90°之間，銳角的余弦值隨角度的增大而減小；（3）在0°－90°之間，銳角的正切值隨角度的增大而增大.【清單03】特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°【清單04】解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，【清單05】解直角三角形的應(yīng)用(1)坡度坡角在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.(2)仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角問題（1）方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【考點題型一】銳角三角函數(shù)的定義

【典例1】如圖，在△ABC中，若∠C=90°，則（

A．sinA=ac B．sinA=bc【答案】A【分析】考查銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正弦，余弦的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：sinA=cos故選A．【變式1-1】在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A．a(chǎn)=c?sinA B．b=c?cosB C．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】解：由題意可得：sinA=ac，cos∴a=c?sinA，c=asinA故A選項成立，B，C，D不成立，故選A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點DA．sinC=CDAC B．sinC=ADDC【答案】C【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB=∠ADC=90°，然后在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷A，B，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C，最后利用同角的余角相等可得∠C=∠BAD，從而在Rt△BAD【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中sinC故A、B不符合題意；在Rt△ABC中，sinC故C符合題意；∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠C=∠BAD，在Rt△BAD中，sin∴sinC=故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，下列各式成立的是（

）A．sinB=ac B．cosB=bc【答案】D【分析】本題考查三角函數(shù)的知識，熟記正弦、余弦和正切的定義是解題的關(guān)鍵．正弦是對邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對邊比鄰邊，據(jù)此可判斷．【詳解】解：如下圖，A.sinB=B.cosB=C.tanB=D.tanB=故選：D．【考點題型二】已知函數(shù)值求邊長

【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sinA=35，則邊A．3 B．4 C．34 D．41【答案】B【分析】本題考查了正弦，勾股定理．熟練掌握正弦的概念是解題的關(guān)鍵．如圖，由題意知，sinA=BCAB=3【詳解】解：如圖，由題意知，sinA=BCAB解得，BC=3，由勾股定理得，AC=A故選：B．【變式2-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，cosA=4A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本題考查了三角函數(shù)的變形計算，根據(jù)cosA=ACAB=8【詳解】∵∠C=90°，AC=8，∴cosA=解得AB=10，∴BC=A故選A．【變式2-2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，AB=45A．6 B．16 C．12 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了正切值的定義．根據(jù)題意作圖，由正切值的定義可得，tanA=BCAC【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴tanA=∵tanA=2∴BCAC=2，即∵AB=45∴AC2+B∴AC=4，故選：D．【變式2-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10A．35 B．45 C．53【答案】A【分析】本題考查求正弦值，根據(jù)正弦的概念，即可解答．【詳解】由題意得：sinA=故選：A．【變式2-4】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=34，BC=6【答案】8【分析】本題考查了解直角三角形，利用直角三角形的邊角間關(guān)系，可得結(jié)論．【詳解】解：∵sinA=BCAB∴AB=8．故答案為：8．

【考點題型三】求角的函數(shù)值

【典例3】如圖，A,B,C,D都在正方形網(wǎng)格的格點上，AC與BD交于點P，則tan∠APB=（

A．32 B．52 C．23【答案】B【分析】本題主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格點E，連接BE，DE，由網(wǎng)格的特點可知BE∥AC，則∠APB=∠EBD，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，則tan【詳解】解：如圖所示，取格點E，連接BE，由網(wǎng)格的特點可知BE∥AC，∴∠APB=∠EBD，∵BE=22+22∴BE∴△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，∴tan∠EBD=∴tan∠APB=故選：B．【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于點D，若BD:CD=3:2，則tan∠DAC的值為（

A．23 B．63 C．62【答案】B【分析】先根據(jù)題目已知條件推出△ABD∽△CAD，則可得∠DAC=∠B，然后根據(jù)BD:CD=3:2，設(shè)BD=3x，CD=2x，利用對應(yīng)邊成比例表示出AD的值，進而得出tan∠DAC【詳解】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°,∵AD⊥BC于點D，∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°∴∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，∴Rt△ABD∽△CAD，∴BDAD=AD∵BD:CD=3:2，∴設(shè)BD=3x，CD=2x，∴AD=3x?2x∴tan∠B=故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求邊長．【變式3-2】在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA=13，則A．223 B．22 C．2【答案】B【分析】本題考查了一個銳角的正弦與正切值．根據(jù)題意設(shè)BC=x，則AB=3x，得出AC=22【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin設(shè)BC=x，則AB=3x，∴AC=A∴tan

故選：B．【變式3-3】在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cosA的值為【答案】45【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，過C作CD⊥AB于D，利用勾股定理可以求出AC的長，再根據(jù)余弦的定義即可求出cosA【詳解】如圖，過C作CD⊥AB于D，∴∠D=90°，由網(wǎng)格可知：AD=4，AC=3∴cosA=故答案為：45【變式3-4】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C都在格點上，則tan∠ACB的值是【答案】1【分析】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能求出∠ADB=90°是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)已知圖形得出∠ADC=90°，再求解即可.【詳解】解：如圖，連接AD，由勾股定理得：AD=BD=12+∴AD2+B∴∠ADB=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴∠∴tan∠ACB=2故答案為：13

【考點題型四】同角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例4】若∠A是銳角，且cosA＝35，則sinA＝【答案】45【分析】根據(jù)cosA=35，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出sinA【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，cosA＝ACAB=3設(shè)AC=3a，則AB=5a∴BC=∴故答案為：45【點睛】此題考查了同角三角函數(shù)的知識，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．【變式4-1】若銳角A滿足tana＝13，則sinaA．55 B．1010 C．310【答案】B【分析】根據(jù)題意，由tana＝13，可得sina=10【詳解】解：∵tana＝13∴sina＝112+故選：B．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題的關(guān)鍵是結(jié)合三角函數(shù)的定義．【變式4-2】如果α是銳角，且cosα＝45A．925 B．45 C．35 【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)正、余弦的關(guān)系sin2α十cos2α=1即可解得．【詳解】根據(jù)sin2α十cos2α=1，所以sinα=1-1625=3【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)正、余弦的關(guān)系．【變式4-3】已知：sinα=13則cosαA．13 B．23 C．89【答案】D【分析】把sinα=13代入sin2α+cos2【詳解】解：∵sin2α+cos2α=1，sinα=∴19+cos2∴cos2α=89∵α是銳角，∴cosα=22故選D．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，能熟記sin2α+cos2α=1是解此題的關(guān)鍵．

【考點題型五】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB=12，則【答案】1【分析】根據(jù)特殊的三角函數(shù)值計算出∠B，然后計算出∠A，在計算sinA【詳解】解：∵cosB=∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴sinA＝12故答案為：1【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512，則sinB的值為【答案】12【分析】根據(jù)∠A的正切值，設(shè)兩直角邊分別為5k，12k，然后利用勾股定理求出斜邊，則∠B的正弦值即可求出．【詳解】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512∴設(shè)AC＝12k，BC＝5k，則AB＝(12k)2+(5k)∴sinB＝ACAB＝12k13故答案為：1213【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，作出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想更形象直觀，此類題目通常都用到勾股定理．【變式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【答案】6【分析】根據(jù)一個角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：∵∠C=90°，sinA=∴sinA=∴cosB=故答案為：67

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，由定義推出互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系：若∠A+∠B=90°，則sinA=【變式5-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，則tanB的值為【答案】125【詳解】試題分析：根據(jù)題意作出Rt△ABC，然后根據(jù)sinA=513，設(shè)一條直角邊BC為5x，斜邊AB為13x，根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊AC=12x，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出tan∠B=ACBC=故答案為125考點：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．

【考點題型六】特殊角的三角函數(shù)值

【典例6】cos45°的值是（

A．12 B．32 C．2【答案】C【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值問題，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行解答即可．【詳解】解：cos45°=故選：C．【變式6-1】2sin30°的值為（A．12 B．1 C．3 【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．代入特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：2sin故選B．【變式6-2】計算3cos30°的值是（A．12 B．1 C．32【答案】C【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，二次根式的乘法計算，先計算cos30°=【詳解】解；3cos故選：C．【變式6-3】計算：tan60°=（

A．32 B．3 C．33 【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】tan60°=故選：B．

【考點題型七】解直角三角形及應(yīng)用

【典例7】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=(1)求BC的長；(2)求cosA【答案】(1)12(2)7【分析】此題考查等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，三角函數(shù)值相等，引出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）作AD⊥BC，根據(jù)sin∠ABD=ADAB求出AD，再根據(jù)勾股定理求出BD（2）作BH⊥AC，根據(jù)S△ABC=12AC?BH=12【詳解】（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB=AC=10，∴BC=2BD，在Rt△ABD∵sin∴AD=AB×sin∴BD=A則BC=2BD=12．（2）如圖，過點B作BH⊥AC于H，∵S∴BH=CB?AD∴AH=A∴【變式7-1】已知：如圖，BD是△ABC的高，AB=6，AC=53，∠A=30°(1)求BD和AD的長；(2)求tanC【答案】(1)BD=3，AD=33(2)tanC=【分析】（1）本題考查解直角三角形，根據(jù)BD=AB?sin∠A，（2）本題考查求角的正切值，掌握正切的定義，并根據(jù)tanC=【詳解】（1）解：∵BD是△ABC的高，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB?sinAD=AB?cos（2）解：∵AC=53∴DC=AC?AD=53∴tanC=【變式7-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E．若BD=5，cosB=4【答案】AC=6【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，角平分線的性質(zhì)；先根據(jù)BD=5，cosB=45求出BE的長度，即可根據(jù)勾股定理求出DE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，即可求出BC的長度，再根據(jù)cosB=4【詳解】解：∵DE⊥AB，BD=5，cosB=∴在Rt△BDE中，BE=BD?在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得：DE=∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=3，∴BC=BD+CD=5+3=8，∴在Rt△ABC中，AB=∴AC=A【變式7-3】2001年竣工通車的湘潭三大橋是湘江上已建大橋中規(guī)模最大的雙塔垂直雙索面三跨連續(xù)體系斜拉橋（如圖1），圖2是從圖1抽象出來的平面圖，已知：拉索AB、BD與橋面AC所成角度分別為37°、45°，若AD=210米，求立柱BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，結(jié)果精確到1米）【答案】立柱BC的高度約為90米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．在Rt△BDC中，利用∠A的正切值表示出AC，然后表示出DC，BC【詳解】解：∵BC⊥AD，垂足為點C，在RtΔABC中，∠A=37°，設(shè)立柱BC=x∴tanA=BCAC又∵在Rt△BDC中，∠BDC=45°∴DC=BC=x米，∵AD=210米，∴x+4解得：x≈90．答：立柱BC的高度約為90米．

【考點題型八】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角

【典例8】如圖①是位于青島的山東省內(nèi)最大的海景摩天輪“琴島之眼”，游客可以在碧海藍(lán)天之間領(lǐng)略大青島的磅礴氣勢．圖②是它的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，小紅在E處測得摩天輪頂端A的仰角為24°，她沿水平方向向左行走122m到達(dá)點D，再沿著坡度i=0.75的斜坡走了20米到達(dá)點C，然后再沿水平方向向左行走40m到達(dá)摩天輪最低點B處（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)），求摩天輪AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，【答案】68m【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．延長AB交ED的延長線于M，CN⊥DM于N，先在Rt△CDN中，解直角三角形求出CN，DN【詳解】解：如圖，延長AB交ED的延長線于點M，CN⊥DM于N，由題意得：AM⊥DE，則MN=BC=40cm，BM=CN在Rt△CDN中，i=∴設(shè)CN=3xx>0，DN=4x∴CD=C解得x=4,∴CN=12m，DN=16∴BM=CN=12m，EM=MN+DN+DE=40+16+122=178在Rt△AEM中，tan∴12+AB178∴AB=178×0.45?12≈68∴摩天輪AB的高度約為68m．【變式8-1】讓每一個孩子在家門口就能“上好學(xué)”，衡東某中學(xué)依山而建．校門A處，有一斜坡AB，長度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF=45°，離B點43?3米遠(yuǎn)的E處有一花臺，在E處仰望C的仰角∠CEF=60°，CF的延長線交校門處的水平面于D點，(1)求斜坡AB的坡度i．(2)求DC的長．【答案】(1)1:2.4(2)17米【分析】（1）過B作BG⊥AD于G，則四邊形BGDF是矩形，求得BG=FD=5米，然后根據(jù)勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（2）解Rt△BCF得出BF=CF，解Rt△CEF得出EF=33CF，根據(jù)BE=43?3本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡比的概念，特殊角的函數(shù)值，銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.【詳解】（1）如圖，過B作BG⊥AD于G，則四邊形BGDF是矩形，∴BG=FD=5米，∵AB=13米，∴AG=A∴AB的坡度i=BG答：斜坡AB的坡度i為1:2.4．（2）∵在Rt△BCF中，∠CBF=45°∴BF=CF，∵在Rt△CEF中，∠CEF=60°∴EF=3∵BE=43?∴BE=BF?EF=CF?3解得：BF=CF=12．∴DC=CF+DF=12+5=17米．答：DC的長為17米．【變式8-2】某通信公司欲在山上建設(shè)5G基站．如圖，某處斜坡CB的坡比為1:2.4，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測得塔頂A的仰角為45°，在D處測得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長26米．(1)求點D到水平地面CQ的距離；(2)求通訊塔AB的高度、（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈【答案】(1)10米(2)38.5米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問題，根據(jù)題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點D作DF⊥CQ，垂足為F，根據(jù)已知得到DFCF=512，從而設(shè)（2）延長AB交CQ于點E交CQ于點E，過點D作DH⊥AE，根據(jù)題意得到DF=HE=10米，設(shè)DH=FE=y，則CE=(24+y)米，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到AE=(43y+10)【詳解】（1）解：過點D作DF⊥CQ，垂足為F，∵斜坡CB的坡比為1:2.4，∴DF∴而設(shè)DF=5x，則CF=12x，在Rt△CDF中，CD=26∴CD∴26解得x=2或x=?2（舍去），∴CF=12x=24米，DF=5x=10米．求點D到水平地面CQ的距離為10米．（2）解：延長AB交CQ于點E交CQ于點E，過點D作DH⊥AE，根據(jù)題意得到DF=HE=10米，DH=FE，∴CE=CF+EF=(24+y)米，在Rt△ADH中，∠ADH=53°∴AH=DH?tan∴AE=AH+HE=(4在Rt△ACE中，∠ACE=45°∴tan∴AE=CE，∴4∴y=42，∴DH=FE=42米，AH=4∵斜坡CB的坡比為1:2.4，∴BH∴BH=17.5米，∴AB=AH?BH=56?17.5=38.5米．

故通訊塔AB的高度為38.5米．【變式8-3】為了方便市民出行，建委決定對某街道一條斜坡進行改造，計劃將原斜坡坡角為45°的BC改造為坡角為30°的AC，已知BC=102米，點A，B，C，D，E，F(xiàn)(1)求AB的距離；(結(jié)果保留根號)(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高EF為3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】(1)10(2)5.4米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題；（1）過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，在Rt△BCG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG和BG的長，然后在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出（2）延長DE交AC于點H，根據(jù)題意可得：DC∥AG，DE⊥CD，從而可得∠CDH=90°，∠A=∠DCA=30°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠DHC=60°，再根據(jù)垂直定義可得∠EFA=90°，從而在Rt△EFH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH和EH的長，進而求出CH的長，最后在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出【詳解】（1）解：過點C作CG⊥AB，交AB的延長線于點G，在Rt△BCG中，BC=102米，∠CBG=45°∴CG=BC?sin45°=102×22=10(BG=BC?cos45°=102×22=10(在Rt△ACG中，∠CAG=30°∴AG=3CG=103(米)，∴AB=AG?BG=(103?10)米，∴AB的距離為(103?10)米；（2）延長DE交AC于點H，由題意得：DC∥AG，∴∠CDH=90°，∵DC∥AG，∴∠A=∠DCA=30°，∴∠DHC=90°?∠DCA=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFA=90°，在Rt△EFH中，EF=3∴FH=EFtan60°=33EH=EFsin60°=33∵CF=16米，∴CH=CF+FH=(16+3)米，在Rt△CDH中，∠DCA=30°∴DH=12∴DE=DH?EH=8+32?23=8?3∴此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE約為5.4米．

【考點題型九】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角

【典例9】如圖，塔AB前有一座高為DE的山坡，已知CD=8m，∠DCE=30°，點A，C，E在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在山坡C處測得塔頂部B的仰角為45°，在山坡D處測得塔頂部B的仰角為27°(1)求DE的長．(2)求塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89【答案】(1)DE的長為4(2)塔AB的高度約為15【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運用，（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CE=3DE=43m，設(shè)AB=?m，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=?m，AE=43+?m，如圖，過點D作【詳解】（1）解：由題意得DE⊥EC，在Rt△CDE中，CD=8m，∴DE=1∴DE的長為4m（2）解：由題意得AB⊥AE，在Rt△DEC中，DE=4m，∴CE=3在Rt△ABC中，設(shè)AB=?∵∠BCA=45°，∴AC=AB∴AE=EC+AC=4如圖，過點D作DF⊥AB．垂足為F，由題意得DF=AE=43+?∵AB=?m∴BF=AB?AF=??4在Rt△BDF中，∠BDF=27°∴BF=DF?tan∴??4=0.54解得?=43∴AB=15m答：塔AB的高度約為15m【變式9-1】數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角∠GAE=50.2°，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i=5:12，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角∠EBF=63.4°，則(1)點B到AG的距離為多少米？(2)塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77【答案】(1)10米(2)47米【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）過點B作BP⊥AG于點P，依據(jù)坡度的定義并結(jié)合勾股定理解直角三角形ABP即可．（2）延長EF交AG于點H，可證四邊形BFHP為矩形，設(shè)EF=x米，在直角三角形BEF中可表示BF≈x2米，即PH≈x2，于是可得AH≈24+x2，EH=x+10，再在【詳解】（1）解如圖，過點B作BP⊥AG于點P，∴△ABP為直角三角形．由i=5:12，可設(shè)BP=5x，則AP=12x，由BP2+A解得x=2或x=?2（舍去），∴BP=10米∴點B到AG的距離為10米．（2）延長EF交AG于點H，則EH⊥AG，則四邊形BFHP為矩形，∴FH=BP=10，BF=HP由（1）可知AP=24，設(shè)EF=x米，在Rt△BEF中，tan即tan∴BF≈x在Rt△EAH中，tan即：tan解得x≈47（米）．答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．【變式9-2】如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點A，B．無人機懸停在C處，此時在A處測得C的仰角為36°52′無人機垂直上升5m懸停在D處，此時在B處測得D的仰角為63°26′，AB=10m，點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，【答案】15【分析】過點C作CM⊥AB于點M，設(shè)BM=xm，則AM=本題考查了仰角解直角三角形，分式方程的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點C作CM⊥AB于點M，設(shè)BM=xm，則AM=在Rt△BDM中，∠DBM=63°2則tan∠DBM=則DM=2x，在Rt△ACM中，∠ACM=36°5則tan解得：x=10，經(jīng)檢驗，x=10是該分式方程的解．∴CM=2x?5=15m答：無人機在C處時離地面15m【變式9-3】如圖，小明家所在居民樓高CD為30m，從樓頂C處測得另一座大廈頂部A的仰角α是26.6°，大廈底部B的俯角β是45°(1)求兩樓之間的距離BD；(2)求大廈的高度AB．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，【答案】(1)30(2)45【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：CE=BD，CD=BE=30m，然后在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出（2）在Rt△ACE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE【詳解】（1）解：過點C作CE⊥AB，垂足為E，由題意得：CE=BD，CD=BE=30m在Rt△BCE中，∠BCE=45°∴CE=BE∴CE=BD=30m∴兩樓之間的距離BD為30m（2）解：在Rt△ACE中，∠ACE=26.6°，CE=30∴AE=CE?tan∴AB=AE+BE=15+30=45(m∴大廈的高度AB約為45m

【考點題型十】解直角三角形的應(yīng)用-方向角

【典例10】為了維護海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度．一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海域．如圖所示，AB=60(6+2)海里，在B處測得C在北偏東45°的方向上，A處測得C在北偏西30°的方向上，在海岸線AB上有一燈塔(1)求出A與C距離AC（結(jié)果保留根號）．(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，途中有無觸礁的危險（參考數(shù)據(jù)：2=1.41，3=1.73，【答案】(1)A與C的距離為1202(2)海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，無觸礁的危險【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給方向角構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中．（1）如圖所示，過點C作CE⊥AB于點E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設(shè)CE=x，在Rt△CBE與Rt△CAE中，分別表示出BE、AE的長度，然后根據(jù)AB=60(6+2)海里，代入BE、（2）如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，在△ADF中，根據(jù)AD的值，利用三角函數(shù)的知識求出DF的長度，然后與100比較，進行判斷．【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作CE⊥AB于點E，可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設(shè)CE=x，在Rt△CBE中，BE=CE=x在Rt△CAE中，AE=∵AB=60(6∴x+3解得：x=606則AC=2答：A與C的距離為1202（2）解：如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，在△ADF中，∵AD=120(6?2∴DF=ADsin故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，無觸礁的危險．【變式10-1】如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島80海里的點A處，它沿著點A的南偏東15°方向航行．（結(jié)果保留根號）(1)漁船航行多遠(yuǎn)與小島B的距離最近？(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點后，按原航向繼續(xù)航行406海里到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊求救，問：救援隊從B【答案】(1)漁船航行402海里與小島B(2)救援隊從B處出發(fā)沿著點B的南偏東45°方向航行到達(dá)事故地點航程最短，最短航程是802【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問題：（1）過點B作BM⊥AC于點M，根據(jù)題意可得∠BAM=45°，解直角三角形求出AM的長即可；（2）解直角三角形得到∠CBM的度數(shù)，進而求出∠CBG的度數(shù)和BC的長，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：過點B作BM⊥AC于點M，如圖所示．由題意，知∠BAM=45°．在Rt△ABM中，∠BAM=45°，AB=80∴AM=AB?cos答：漁船航行402海里與小島B（2）