人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 第21章 一元二次方程綜合提升（含答案版）　

一元二次方程綜合強(qiáng)化典例精析例1已知關(guān)于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝.(1)求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;拓展與變式1若代數(shù)式的值等于0,則x＝.拓展與變式2(1)已知關(guān)于x的方程(m－2)x2－＋＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍()m＞B.m≤且m≠2C.m≥3D.m≤3且m≠2(2)已知關(guān)于x的方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x12＋x22＝4,則k的值.拓展與變式3已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)若(x1－1)(x2－1)＝28,求m的值;（2)已知等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)為7,若x1,x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng),求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).例2如圖5－1,在菱形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,AC＝8cm,BD＝6cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,若M,N同時(shí)出發(fā),問:出發(fā)后幾秒鐘時(shí),△MON的面積為cm2.拓展與變式4現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展,據(jù)調(diào)查,長(zhǎng)沙市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司,今年3月與5月完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件,現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長(zhǎng)率相同.(1)求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率.(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月的快遞投遞任務(wù)?如果不能,至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?拓展與變式5若實(shí)數(shù)a,b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0,求a＋b的值.專題突破1.(1)如果正數(shù)a是關(guān)于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一個(gè)根,－a是關(guān)于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一個(gè)根,則a的值是.(2)若m,n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),且m2－m＝3,n2－n＝3,那么代數(shù)式2n2－mn＋2m2＋2018＝.2.如果x2－x－1＝(x＋1)2,那么x的值為()A.2或－1B.0或1C.2D.－13.有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,M:ax2＋bx＋c＝0,N:cx2＋bx＋a＝0,其中a·c≠0,a≠c，下列四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的是()A.如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；B.如果方程M的兩根符號(hào)相同,那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同；C.如果5是方程M的一個(gè)根,那么是方程N(yùn)的一個(gè)根；D.如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根,那么這個(gè)根必是x＝1.4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得x1x2－x12－x22≥0成立?若存在,求出k的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.5.2019年，某市一樓盤以每平方米6500元的均價(jià)對(duì)外銷售，因?yàn)闃潜P滯銷，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，決定進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后，2021年的均價(jià)為每平方米5265元，

(1)求平均每年下調(diào)的百分率;

(2)假設(shè)2022年的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率，張強(qiáng)準(zhǔn)備購(gòu)買該樓盤一套100m2的住房，他持有現(xiàn)金20萬元，可在銀行貸款30萬元，問：張強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?

(房?jī)r(jià)每平方米按照均價(jià)計(jì)算)6.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，AB＝2.（1）求正方形EFGH的面積最小值；（2）當(dāng)正方形EFGH面積為3時(shí)，求AE的長(zhǎng).7.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，EF＝5，求BF的長(zhǎng).8.如圖，等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，求CE的長(zhǎng).9.如圖，在等邊△ABC中，P是BC下方一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPC＝120°，PB，PC是關(guān)于x的一元二次方程（a2－2）x2－4(a2－2)x－3＝0的兩根，求PA的長(zhǎng)度.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△A0B的兩直角邊0A，OB分別在x軸，y軸的正半軸上（0A＜OB），且0A，0B的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2－14x＋48＝0的兩個(gè)根.線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線CD的解析式；（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C，P，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且該正方形的邊長(zhǎng)為AB長(zhǎng)？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.第七講一元二次方程綜合強(qiáng)化（解析版）典例精析例1已知關(guān)于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝.(1)求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)若方程的一個(gè)根是1,求m的值及方程的另一個(gè)根【分析】(1)將原方程展開成一般式,求判別式△；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.【解】(1)將原方程展開可得x2－5x＋6－＝0,a＝1,b＝－5,c＝6－Δ＝b2－4ac＝1＋4|m|＞0,∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根將x＝1代入原方程,得到|m|＝2,∴m＝±2.綜上所述,m＝2或m＝－2,另一個(gè)根為x＝4【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)題中所給信息,靈活運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系來處理問題.拓展與變式1若代數(shù)式的值等于0,則x＝2.拓展與變式2(1)已知關(guān)于x的方程(m－2)x2－＋＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍()答案：B提示:由△≥0，可求得m≤，同時(shí)m－2≠0，故選B.A.m＞B.m≤且m≠2C.m≥3D.m≤3且m≠2(2)已知關(guān)于x的方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x12＋x22＝4,則k的值1.拓展與變式3已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)若(x1－1)(x2－1)＝28,求m的值;（2)已知等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)為7,若x1,x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長(zhǎng),求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).解:(1)由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5；∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2-(x1＋x2)＋1＝28，(m2＋5)－2(m＋1)＋1＝28.∴m2-2m-24=0∴m1＝－4，m2＝6.由△≥0得m≥2，∴m＝6.(2)當(dāng)?shù)走厼?時(shí)，則兩根相等，∴[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝0.∴m＝2，代人原方程解得x1＝x2＝3，不能構(gòu)成三角形.當(dāng)腰為7時(shí)，代人原方程可得m1＝4，m2＝10.當(dāng)m＝4時(shí)，原方程變?yōu)閤2－10x＋21＝0.解得x1＝3，x2＝7，周長(zhǎng)為17；當(dāng)m＝10時(shí)，原方程變?yōu)閤2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15，不能構(gòu)成三角形綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為17.【反思】解題時(shí),若方程有根,不能忽略△≥0這個(gè)條件例2如圖5－1,在菱形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,AC＝8cm,BD＝6cm,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,若M,N同時(shí)出發(fā),問:出發(fā)后幾秒鐘時(shí),△MON的面積為cm2.【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)中M,N,O三點(diǎn)的位置關(guān)系,可分為點(diǎn)M在線段AO上,點(diǎn)N在線段BO上；點(diǎn)M在線段OC上,點(diǎn)N在線段BO上；點(diǎn)M在線段OC上,點(diǎn)N在線段OD上三種情況分別討論【解】設(shè)出發(fā)后ts時(shí),S△MON＝cm2.(1)當(dāng)t＜2時(shí),點(diǎn)M在線段AO上,點(diǎn)N在線段BO上,(4－2t)(3－t)＝解得t1＝,t2＝,∵t＜2，∴t＝.(2)當(dāng)2＜t＜3時(shí),點(diǎn)M在線段OC上,點(diǎn)N在線段BO上,(2t－4)(3－t)＝,解得t1＝t2＝.(3)當(dāng)t＞3時(shí),點(diǎn)M在線段OC上,點(diǎn)N在線段OD上,,(2t－4)(t－3)＝.解得：t1＝,t2＝（舍去）.綜上所述,出發(fā)后s,s,s時(shí),△MON的面積為cm2【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類討論的思想及一元二次方程的應(yīng)用,通過點(diǎn)的不同位置來進(jìn)行分類討論.拓展與變式4現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展,據(jù)調(diào)查,長(zhǎng)沙市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司,今年3月與5月完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件,現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長(zhǎng)率相同.(1)求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率.(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月的快遞投遞任務(wù)?如果不能,至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?.解:(1)設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x.依題意，得10(1＋x)2＝12.1解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合題意，舍去).答:該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為10%(2)今年6月的快遞投遞任務(wù)是12.1×(1＋10%)=13.31(萬件)，因?yàn)槠骄咳嗣吭伦疃嗫赏哆f快遞0.6萬件，則21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能完成的快遞投遞任務(wù)是0.6×21＝12.6＜13.31，則該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月的快遞投遞任務(wù)。因(13.31－12.6)÷0.6≈1.18，故需要增加2名業(yè)務(wù)員.答:該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月的快遞投遞任務(wù)，至少需要增加2名業(yè)務(wù)員.拓展與變式5若實(shí)數(shù)a,b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0,求a＋b的值.解:令t＝a＋b，則原方程可化為4t(4t－2)－8＝0，解得t1=，t2＝1，即a十b＝1或.【反思】一元二次方程可應(yīng)用于各種題型中,要考慮到各種題型背景下所要注意的各個(gè)方面.專題突破1.(1)如果正數(shù)a是關(guān)于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一個(gè)根,－a是關(guān)于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一個(gè)根,則a的值是5.(2)若m,n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),且m2－m＝3,n2－n＝3,那么代數(shù)式2n2－mn＋2m2＋2018＝2035.2.如果x2－x－1＝(x＋1)2,那么x的值為(C)A.2或－1B.0或1C.2D.－13.有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,M:ax2＋bx＋c＝0,N:cx2＋bx＋a＝0,其中a·c≠0,a≠c，下列四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的是(D)A.如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；B.如果方程M的兩根符號(hào)相同,那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同；C.如果5是方程M的一個(gè)根,那么是方程N(yùn)的一個(gè)根；D.如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根,那么這個(gè)根必是x＝1.4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得x1x2－x12－x22≥0成立?若存在,求出k的值；若不存在,請(qǐng)說明理由..解:(1)∵原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴[－(2k＋1)]－4(k2＋2k)≥0.1－4≥0，解得k≤(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得x1x:－x1－x:2≥0成立，則3x1x:－(x1＋x1)2≥0，3(k2＋2)－(2k＋1)2≥0，整理得一(k－1)2≥0∴只有當(dāng)k＝1時(shí)，上式才能成立，又由(1)知k≤∴不存在實(shí)數(shù)k，使得x1x:－x1－x:2≥0成立，5.2019年，某市一樓盤以每平方米6500元的均價(jià)對(duì)外銷售，因?yàn)闃潜P滯銷，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，決定進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后，2021年的均價(jià)為每平方米5265元，

(1)求平均每年下調(diào)的百分率;

(2)假設(shè)2022年的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率，張強(qiáng)準(zhǔn)備購(gòu)買該樓盤一套100m2的住房，他持有現(xiàn)金20萬元，可在銀行貸款30萬元，問：張強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?

(房?jī)r(jià)每平方米按照均價(jià)計(jì)算)解:(1)設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為x依題意，得6500(1－x)2＝5265，解得x1＝0.1，x:＝1.9(不合題意，舍去)下調(diào)的百分率為10%(2)如果下調(diào)的百分率相同，2018年的房?jī)r(jià)為5265×(1－10%)＝4738.5(元/平方米)則100m2的住房的總房款為100×4738.5＝473850(元)＝47.385(萬元)∵20＋30＞47.385，∴可以實(shí)現(xiàn).6.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，AB＝2.（1）求正方形EFGH的面積最小值；（2）當(dāng)正方形EFGH面積為3時(shí)，求AE的長(zhǎng).答案：設(shè)AE＝x，則BE＝2－x，易證BF＝AE＝x.（1）S正EECH＝EF2＝x2＋（2－x）2＝2（x－1）2＋2，當(dāng)x＝1時(shí)，S正EECH最?。?；（2）2（x－1）2＋2＝3，∴x1＝1＋.x2＝1－.∴AE＝1＋或1－7.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，EF＝5，求BF的長(zhǎng).答案：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝AE，連接DG.易得△ADE≌△CDG，∠ADE＝∠CDG，∴∠EDF＝∠GDF＝45°.易證△DEF≌△DGF.∴EF＝FG＝5.設(shè)BF＝x，則CF＝6－x，CG＝x－1，AE＝CG＝x－1，BE＝7－x.在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2，∴（7－x）2＋x2＝52.∴x1＝3，x2＝4.∴BF＝3或4.8.如圖，等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，求CE的長(zhǎng).答案：將△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACF，連接EF，過F作FH⊥EC的延長(zhǎng)線于H.設(shè)CE＝x，則BD＝2x，F(xiàn)C＝2x，∠ECF＝120°，∠FCH＝60°，CH＝x，F(xiàn)H＝x.易證△ADE≌△AFE，∴DE＝EF＝3.在Rt△EFH中，EH2＋FH2＝EF2.（2x）2＋（x）2＝32，∴7x2＝9.∴x＝，∴CE＝9.如圖，在