中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：幾何探究壓軸題

2023年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：幾何探究壓軸題1．如圖①，在菱形中，點P為射線上的一點，連接，過點P作，使得，與射線交于點M，以，為鄰邊作平行四邊形．(1)求證：四邊形為菱形；(2)如圖②，，連接，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，當點P在的延長線上時，如圖③，，，求的長度．2．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，，，交于點G.求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié).若，，，求的值；【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F，若，平分，，請直接寫出的長．3．如圖1，已知正方形中，為對角線，邊長為3，為邊上一點，過點作于點，．(1)如圖1，連結(jié)，求線段的長．(2)保持不動，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連結(jié)，點為的中點，連接、，探求與關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)保持不動，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，求出的中點在這個過程中的運動路徑長及的最小值．4．【問題提出】（1）如圖①，為的平分線，于點，于點，若，則______．【問題探究】（2）如圖②，、是兩條平行的直線，且、之間的距離為12，點為直線上一點，點、為直線上兩點，且點在點的左側(cè)，若，求的最小值；【問題解決】（3）如圖③，四邊形是園林規(guī)劃局欲修建的一塊平行四邊形園林的大致示意圖，沿對角線修一條人行走道，沿的平分線（點在上）修一條園林灌溉水渠．根據(jù)規(guī)劃要求，，米，且使得平行四邊形的面積盡可能小，問平行四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存在，請說明理由．5．在和中，，，如圖（1），以為邊作平行四邊形，以為邊作平行四邊形，點F，G分別是的中點，當繞點C旋轉(zhuǎn)時，(1)證明：；(2)①求的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）；②直接寫出的長度的最大值為（用含a，b的代數(shù)式表示）．6．如圖，在邊長為6的正方形中，點P是邊上一動點，連接，將沿翻折，點A的對應(yīng)點為點E，連接．(1)如圖1，當時，直接寫出的度數(shù)為___________；(2)如圖2，過點E作，當時，①求的長；

②求證：；(3)如圖3，點M是邊上一動點，當時，求的最小值．7．如圖1，在與中，，，交于點，，點在線段上，連接．(1)若，求線段的長；(2)如圖2，若，點為線段的中點，連接，證明：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將繞點旋轉(zhuǎn)得，連接，點為線段的中點，連接，當長度取最小時，在線段上有一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至，連接，若，請直接寫出的最小值．8．正方形，點E為平面內(nèi)一點，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．已知點M為的中點，連接．(1)如圖1，①若點E為邊邊上一點，補全圖形；②判斷并證明線段和的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，若點E是的內(nèi)部一點，（1）中線段和的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．9．【操作一】如圖①，將矩形沿過點D的直線折疊，使點A的對稱點F落在邊上，折痕為DE．則的大小為度．【操作二】如圖①，在操作一的基礎(chǔ)上，將矩形沿過點C的直線折疊，點B的對稱點H落在邊上，折痕為．求證：．【應(yīng)用】如圖②，延長圖①中的交邊于點M．若，則EH的長為，點M到邊的距離為．【拓展】如圖③，點N為【操作二】圖①中的邊DE上的點，連結(jié)、．若，，則的最小值為．10．如圖，和的頂點重合，，，，．(1)如圖1，當點，分別在，上時，得出結(jié)論：；直線與直線的位置關(guān)系是；(2)如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，連接，，其所在直線相交于點．①（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，說明理由．②當?shù)拈L度最大時，求線段的長度．11．如圖，為的角平分線．(1)如圖，若于點，交于點，，則______．(2)如圖，若，點在上，且，，，求的長；用含、的式子表示(3)如圖，，點在的延長線上，連接，若的面積是，求的面積．12．在中，，，過點A作的垂線，垂足為D，E為射線上一動點（不與點C重合），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，與直線交于點G．(1)如圖1，當點E在線段上時，①依題意補全圖形；②求證：點G為的中點．(2)如圖2，當點E在線段的延長線上時，用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．13．在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．14．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有；(2)如圖2，垂美四邊形兩組對邊、與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；(3)如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、，與交于點O，已知，，求的中線的長．15．新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：(1)如圖1，等邊邊長為3，垂直于邊的等積垂分線段長度為______；(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長度；(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長．16．如圖1，在矩形中，，，E是邊上的一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上的點F處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長：(2)求證：四邊形為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線段上的動點（與端點不重合），且，設(shè)，是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．17．如圖，和均為等腰直角三角形，，，．現(xiàn)將繞點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，證明：；(2)如圖2，若A，，三點共線，，求點到直線的距離；(3)如圖3，連接，，，求證：．18．如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊，上，且，點P在射線上（點P不與點F重合）．將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點E作的垂線，垂足為點H，交射線于點Q．(1)