中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

2023年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題1．已知：如圖1，中，，點D是上一點，其中，將沿所在的直線折疊得到，交于F，連接．(1)①當(dāng)時，．②當(dāng)時，（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，當(dāng)時，解決以下問題：①已知，求的值；②證明：．2．九年級一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)探究活動．(1)操作探究：如圖1，為等腰三角形，，將繞點O旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是AE的中點，連接，則°，與的數(shù)量關(guān)系是；(2)遷移探究：如圖2，（1）中的其他條件不變，當(dāng)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，點D正好落在的角平分線上，得到，求出此時的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在等腰三角形中，，．將繞點O旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點，連接．當(dāng)時，請直接寫出的長．3．已知點C為和的公共頂點，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：(1)如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；類比探究：(2)如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請說明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當(dāng)點B，D，E三點共線時，請直接寫出的長．4．如圖1，在中于點，在上取點，使，連接、．(1)求證：并寫出與的位置關(guān)系(2)如圖2，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到（點分別與點、對應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（）中的與的位置關(guān)系是否一致？請說明理由；(3)如圖3，當(dāng)繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，射線與、分別交于點、，若，求的長．5．如圖1，在中，，，，點D，E分別是邊，的中點，連接．將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時，______；②當(dāng)時，______；(2)拓展探究：試判斷當(dāng)時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；6．已知，四邊形是正方形，繞點D旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)直線與相交于點G．①如圖2，于點M，于點N，求證：四邊形是正方形；②如圖3，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長度的最小值．7．已知是等腰直角三角形，，(1)如圖1，是等腰直角三角形，點D在的延長線上，，連接，求證：；(2)如圖2，點F是斜邊上動點，點G是延長線上動點，總有，探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，點H是一點，連接FH，若，，，直接寫出的面積為____________（用m，n表示）．8．如圖，在中，，點O為中點，點P為直線上的動點(不與點B、點C重合)，連接，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段，連接．(1)如圖1，當(dāng)點P在線段上時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點P在延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立?若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點P在延長線上時，若，請求出的長．9．【特例感知】（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點在上，點在的延長線上，連接，，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．10．已知是邊長為的等邊三角形，點是射線上的動點，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，猜想是什么三角形？______________；（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，點在射線上（點的右邊）移動時，證明．(3)點在運(yùn)動過程中，的周長是否存在最小值？若存在．請求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．11．綜合與實踐：【問題情景】綜合與實踐課上，王老師讓同學(xué)們以“共頂點的等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)探究活動．【實踐操作】王老師讓同學(xué)們先畫出兩個等邊和，將繞點旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求同學(xué)們觀察圖形，提出問題并加以解決．(1)如圖①，“慎思組”的同學(xué)們連接、，則與有何數(shù)量關(guān)系？與有何數(shù)量關(guān)系？請你探究后直接寫出結(jié)論．(2)如圖②，得知“慎思組”的結(jié)論后，“博學(xué)組”的同學(xué)們又連接，他們認(rèn)為，如果，且，，就可以求出的長，請寫出求解過程．【類比探究】(3)如圖③，“智慧組”的同學(xué)們畫出了兩個等腰直角三角形和，其中，，；且點恰好落在上，那么、和之間一定存在某種數(shù)量關(guān)系，請你探究后直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．12．在中，，點在上方，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°到．(1)如圖1，，點在右上方，連接，，若，，，求的長；(2)如圖2，點在的左側(cè)上方，連接交于點，為上一點，若，且為的中點，過作于點，求證：；(3)如圖3，，，，將沿著直線翻折至連接，連接并延長交于點，交于點，當(dāng)最長時，直接寫出此時的面積．13．如圖，在和中，，，，．(1)如圖1，當(dāng)點在上時，，，則______；(2)如圖2，當(dāng)、、三點共線時，在上，連接、，是的中點，過點作，交的延長線于點．求證：且；(3)如圖3，、、三點共線，且，將線段繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時線段繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為秒，當(dāng)回到出發(fā)時的位置時同時停止旋轉(zhuǎn)，則在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)和互相平行或者垂直時，請直接寫出此時的值．14．如圖1，在中，，分別為邊上的點，且．已知，．(1)的長為______；與的周長比為______；(2)將繞點旋轉(zhuǎn)，連接．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時，求證：；②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點在上時，，直接寫出及的長．15．在和中，，點F是的中點，連接，將繞點C旋轉(zhuǎn)一周，試判斷和的關(guān)系．(1)如圖①，當(dāng)點E在上時，和的數(shù)量關(guān)系為_____________，直線和直線相交所成的銳角的度數(shù)為______________；(2)如圖②，當(dāng)點E不在上時，（1）中的關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請證明；如果不成立，請寫出新的關(guān)系，并說明理由．(3)若，將繞著點C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)D，E，B三點共線時，直接寫出的長．16．如圖（1），在和中，，，，點E在內(nèi)部，直線與交于點F，線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？(1)先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)點D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示之間的數(shù)量關(guān)系；(2)再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)點D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．(3)如圖（3），在和中，，，，點E在內(nèi)部，直線與交于點F，直線與交于點G，點H為線段上一點，，與交于點I，若，，則（用含m，n的式子表示）．17．如圖1，正方形的邊長為5，點E為正方形邊上一動點，過點B作于點P，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，延長交于點F，連接．(1)判斷四邊形的的形狀，并說明理由；(2)若，求；(3)如圖2，若點E恰好為的中點時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．18．在中，，將繞點B順時針旋