2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷共19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1．化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．已知，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，，，則＝（

）

A．9B．18C．6D．124．設(shè)、是兩條直線，、是兩個(gè)平面，，，，，則是的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．在學(xué)生身高的調(diào)查中，小明和小華分別獨(dú)立進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按比例分層抽樣調(diào)查，小明調(diào)查的樣本量為200，平均數(shù)為，小華調(diào)查的樣本量為100，平均數(shù)為。則下列說(shuō)法正確的是（

）A．小明抽樣的樣本容量更大，所以更接近總體平均數(shù)B．小華使用的抽樣方法更好，所以更接近總體平均數(shù)C．將兩人得到的樣本平均數(shù)按照抽樣人數(shù)取加權(quán)平均數(shù)165.7更接近總體平均數(shù)D．樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性，以上說(shuō)法均不對(duì)6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B． C．6 D．7．已知向量，，且，則（）A． B． C． D．8．已知單位向量的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．3多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。9．如果是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．10．已知虛數(shù)，，則（

）A． B．C． D．是方程的一個(gè)根11．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的為（

）A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；B．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；C．底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；D．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐不可能是正六棱錐．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在△ABC中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，寫(xiě)出使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為

13．已知，，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為14．直三棱柱中，，，則與所成角大小為四、解答題：本題共5小題，共77分。15．（10分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，．(1)求過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．(2)若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，．(1)求B的值；(2)求b的值；(3)求的值．17．（10分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.18．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.19．（17分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，這點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過(guò)點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．(1)已知直線的方程為，直線的方程為．請(qǐng)分別寫(xiě)出直線和直線的一個(gè)方向向量．(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體Ω的各個(gè)面，求Ω的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值．答案：題號(hào)12345678910答案ACBDDACCCDBCD題號(hào)11答案ABC1．A【分析】依據(jù)向量加減法運(yùn)算規(guī)則去求化簡(jiǎn)即可.【詳解】，故選：A2．C【分析】根據(jù)投影向量的求法直接求解即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：C.3．B【分析】利用平面向量的數(shù)乘與加減運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的數(shù)量積求解．【詳解】，.故選：B4．D根據(jù)空間中線面關(guān)系和面面關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】，則與可能重合、平行、相交，；，則與可能平行、異面，；故是的既不充分也不必要條件.故選：D．本題考查充分條件和必要條件的判斷，同時(shí)也考查了空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．D【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣和分層抽樣得定義以及平均數(shù)得定義我們會(huì)發(fā)現(xiàn)樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性，不確定性，故而選項(xiàng)可判定.【詳解】抽樣的樣本容量大但有時(shí)不具有代表性，不能得到樣本平均值更接近總體平均數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤：使用分層的抽樣方法樣本更具有代表性，但樣本容量太小也不能得到樣本平均值更接近總體平均數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：兩人得到的樣本平均數(shù)按照抽樣人數(shù)取加權(quán)平均數(shù)同樣兼具兩者的不確定性，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;通過(guò)對(duì)上面三個(gè)選項(xiàng)的分析可知樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性，故選項(xiàng)D正確；故選：D.6．A【分析】利用正弦定理整理代入運(yùn)算即可．【詳解】由正弦定理，整理得故選：A．7．C【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，解?故選：C8．C【分析】根據(jù)已知條件及數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】由已知有，.故.故選：C.9．CD【分析】根據(jù)單位向量的定義及數(shù)量積的定義即可得解.【詳解】解：因?yàn)槭莾蓚€(gè)單位向量，所以，但兩向量的方向不能確定，，故AB錯(cuò)誤；CD正確.故選：CD.10．BCD【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷AB選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的乘法方法則與共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；解方程可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，解得或，故D對(duì).故選：BCD.11．ABC【分析】對(duì)于A，根據(jù)棱錐的定義分析判斷，對(duì)于B，根據(jù)棱臺(tái)的定義分析判斷，對(duì)于C，根據(jù)正三棱錐的定義分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)正六棱錐的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于A，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫棱錐，而有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，棱臺(tái)是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得，而有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體的側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐的頂點(diǎn)不一定在底面的射影為底面等邊三角形的中心，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面為正六邊形，由過(guò)底面中心和頂點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，則側(cè)棱必然大于底面邊長(zhǎng)，所以D正確，故選：ABC12．（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，再結(jié)合向量的共線即可求得答案.【詳解】由題意知，而，故,則，又點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，故,可取，則，故使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為，故（答案不唯一）.13．【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)在方向上的投影向量為計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以在方向上的投影向量?故14．【分析】作出與所成角，并判斷出角的大小.【詳解】設(shè)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以與所成角是或其補(bǔ)角.根據(jù)直棱柱的性質(zhì)以及可知，所以，所以三角形是等邊三角形，所以，所以與所成角大小為.故15．(1)(2)或【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率與直線垂直的直線的斜率乘積為和點(diǎn)斜式求解即可；（2）求出線段垂直平分線的方程為，故點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)為，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊垂直，所在直線斜率存在，斜率之積為建立等式求解即可．【詳解】（1）由題意得，則直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為：，即．（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以點(diǎn)在直線上，故設(shè)點(diǎn)為，由可得：，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，則直線的方程為或．16．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理邊角轉(zhuǎn)化即可得結(jié)果；（2）先求，再利用正弦定理運(yùn)算求解即可；（3）先求，再利用兩家和差公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，又B?0,p，所以（2）因?yàn)?，則，由正弦定理可得.（3）因?yàn)椋?，則，所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，DA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，由證明；（2）由（1）平面，將求直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由求解.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，DA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由題意得，，，.所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.易知,令，得，所以.，，又平面,平面；（2）由（1）可知平面，故求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，由?）可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線到平面的距離為.則.18．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又因?yàn)椋?，而平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，；（3）設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.19．(1)的一個(gè)方向向量；的一個(gè)方向向量（答案不唯一，符合題意即可）(2)(3)的體積為，相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為【分析】（1）根據(jù)題意即可得直線的方向向量；（2）由直線方程可得兩直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及方向向量，利用兩方向向量求得平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)與法向量可得平面方程；（3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)作出圖形，結(jié)合幾何體的對(duì)稱性求解體積；利用向量夾角求解面面角可得.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，即，可知直線的一個(gè)方向向量；直線的方程為，即，可知直線的一個(gè)方向向量.（2）由題意可知：直線過(guò)點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，直線過(guò)點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，則為平面內(nèi)一點(diǎn).設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以平面的方程為，即.（3）由集