2024-2025學(xué)年廣西平果市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西平果市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】依題意存在實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)根據(jù)向量相等得到方程組，解得即可；解：因?yàn)橄蛄?，且，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以故選：C2.已知，直線的斜率是直線斜率的倍，則直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【正確答案】C【分析】先利用題意得到直線的斜率，可得到直線的斜率，即可求得答案由可得，因?yàn)橹本€的斜率是直線斜率的倍，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，故選：C3.若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出兩向量的模及數(shù)量積，根據(jù)即可求解.∵，則，且，∴.故選：A.4.如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求得在上的投影向量的長(zhǎng)度，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求解即可.以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，所以，所以在上的投影向量的長(zhǎng)度為：，所以到直線的距離為.故選：C.5.點(diǎn)M為圓：上任意一點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)P，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先把定點(diǎn)P坐標(biāo)求出來(lái)，，最大值為，，三點(diǎn)共線，且位于與之間，求解方法為連接定點(diǎn)與圓心的線段長(zhǎng)加上半徑即可.整理為：令，解得：，所以定點(diǎn)P坐標(biāo)為，代入圓的方程中，，所以在圓外，因?yàn)辄c(diǎn)M為圓：上任意一點(diǎn)，設(shè)圓C的半徑為r=2，所以的最大值應(yīng)該為，由兩點(diǎn)間距離公式：，所以的最大值為故選：B6.三棱錐中，M是平面BCD內(nèi)的點(diǎn)，則以下結(jié)論可能成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的共面定理計(jì)算即可.如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)M在平面BCD內(nèi)，可設(shè)，則有，即用向量，，表示，三個(gè)基向量的系數(shù)之和為1，顯然A符合題意．故選：A．7.畫(huà)法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A是，若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或【正確答案】B【分析】求出蒙日?qǐng)A的方程，分析可知，兩圓內(nèi)切或外切，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的等式，解之即可.由已知條件可知，且，蒙日?qǐng)A方程為，蒙日?qǐng)A的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，則或，又因?yàn)?，所以，或，解得或，故選：B.8.已知圓，過(guò)平面上的點(diǎn)引圓的兩條切線，使得，則的軌跡方程為（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】連接圓心和切點(diǎn)，能得到正方形，則為定長(zhǎng)，即點(diǎn)P在以C為圓心，2為半徑的圓上.圓，半徑，設(shè)，設(shè)切線與圓分別切于，所以，因?yàn)閮汕芯€，所以四邊形為正方形，所以，點(diǎn)P在以C為圓心，2為半徑的圓上,則的軌跡方程為．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得2分，只選兩個(gè)都對(duì)得4分，錯(cuò)選不得分.9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【正確答案】BCD【分析】利用直線系方程求解直線所過(guò)定點(diǎn)判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑判斷B；由圓心距等于半徑和列式求得判斷C；求出兩圓公共弦所在直線方程，再由直線系方程求得直線所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷D．由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心距為，解得，故C正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，，故D正確．故選：BCD10.已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則橢圓的離心率為B.若橢圓的離心率越趨近于0，橢圓越接近于圓C.若點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為D.若點(diǎn)分別為橢圓左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則直線的斜率之積為.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的方程和幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)驗(yàn)證得出結(jié)果.，且,解得離心率，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)橢圓離心率的性質(zhì)“離心率越小橢圓越圓”，選項(xiàng)B正確；根據(jù)橢圓的定義，所以的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)C正確；根據(jù)題意，，設(shè)點(diǎn)，其中所以，選項(xiàng)D正確.故BCD.11.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.；B.當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，，，共面；C.當(dāng)時(shí)，；D.的最小值為．【正確答案】BCD【分析】以為基底，表示出相關(guān)向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可判斷CD的真假.以為基底，則，，,.對(duì)A：因?yàn)?所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)，即時(shí)，，又，所以.故，，共面.故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以：，所以，故，故C正確；對(duì)D：設(shè)，.因?yàn)?所以，.當(dāng)時(shí)，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求得正確答案.方程可化為，所以是以為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)，與的距離是，所以的最小值是.故13.已知直線與兩點(diǎn)，點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】寫(xiě)出線段的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由可求得的范圍．由條件得有解，解得，由，得或．故．方法點(diǎn)睛：本題考查直線與線段有公共點(diǎn)問(wèn)題．解題方法是直線（線段）方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)坐標(biāo)的范圍求出參數(shù)的范圍，可是也可利用數(shù)形結(jié)合思想求解，即求出的斜率，由圖形觀察出的范圍．14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線，與軸交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．【正確答案】##0.5【分析】設(shè)，，得到直線的方程為，解得，再利用勾股定理即可求解．設(shè)，，，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)?，所以，即，解得．故四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.【正確答案】（1）（2）15【分析】（1）由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)得一般式方程；（2）用兩點(diǎn)間距離公式求B，C兩點(diǎn)間的距離，計(jì)算點(diǎn)A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【小問(wèn)1】因?yàn)?，，所以BC所在的直線方程為，即.【小問(wèn)2】B，C兩點(diǎn)間的距離為，點(diǎn)A到直線BC的距離，所以的面積為.16.已知圓.若直線：與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求圓的方程；（2）請(qǐng)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程.①；②.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】（1）（2）①或；②【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式得出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)與勾股定理即可計(jì)算出圓的半徑，繼而得到圓的方程.（2）①根據(jù)切線切點(diǎn)到圓心距離等于圓的半徑，用點(diǎn)斜式表示出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出斜率得出直線方程；②根據(jù)切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑與其垂直，即可得出該斜率繼而得出直線方程.【小問(wèn)1】如圖所示，過(guò)圓心O做垂直于AB的垂線交AB于C點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)到直線距離公式：，，根據(jù)勾股定理：，得圓的方程：【小問(wèn)2】選①：由（1）可知點(diǎn)在圓外，若切線斜率不存在，，由圖可知為過(guò)點(diǎn)P與圓相切的直線的方程；若斜率存在，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)直線的方程為，整理為一般式，因?yàn)橹本€與圓相切，則，解得，直線的方程為：，綜上所述過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程為或.選②：由（1）可知點(diǎn)在圓上，的直線方程為，則過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線與垂直，斜率為根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)直線的方程為，整理為一般式.17.如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是.（1）求證：直線平面ABCD；（2）求直線AE與平面CDEF所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則，設(shè)E在平面ABCD內(nèi)的射影為O，連接EO，則平面ABCD，證明平面ABCD，則，進(jìn)而可證，再由線面平行的判定定理即可求證；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量，的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，利用向量法求解即可【小問(wèn)1】如圖，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，則，因?yàn)椤鰾CF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD是矩形，所以，因，所以.設(shè)E在平面ABCD內(nèi)的射影為O，連接EO，則平面ABCD，連接OA，OD，OG，則，所以，所以，所以為二面角平面角，所以，所以.過(guò)F作，垂足為H，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.易知，連接OH，則四邊形EFHO為矩形，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.【小問(wèn)2】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量，的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以即得取，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求直線l的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用給的條件列方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立圓與橢圓方程，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可求得．【小問(wèn)1】由題可知，其中，所以,又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得，所以橢圓E的方程為．【小問(wèn)2】由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，聯(lián)立方程組，得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，即或．所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為．綜上，直線的方程為或.19.如圖，四棱錐中，底面是正方形，，且，平面平面，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，為線段中點(diǎn).【分析】（1）推導(dǎo)出平面，，再由，得到平面，，推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建