2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期期中 數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．直線將圓平分，且與直線平行，則直線的方程是（

）A．B．C．D．3．五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．48 B．24 C．20 D．164．已知圖O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個定點,P是圓上任意一點,線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點Q,當(dāng)點P在圓上運動時,點Q的軌跡是（

）A．圈 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．雙曲線的兩支CB5．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，則該塔筒的高為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓，則橢圓上的點到點的距離的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知拋物線的方程為，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，（

）A． B．3 C． D．28．已知雙曲線的離心率為，右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，則有（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則10．以下四個命題表述正確的是（

）A．兩圓與的公共弦所在的直線方程為B．圓：與圓：恰有三條公切線C．為圓：上的點，則的最大值為25D．若圓：上有且僅有兩個不同的點到直線：的距離為1，則的取值范圍是11．己知點是拋物線：上一點，過點P作拋物線：的兩條切線PM,PN，切點分別為M,N，H為線段MN的中點，F(xiàn)為的焦點，則（

）A．若，則直線MN經(jīng)過點F B．直線軸C．點H的軌跡方程為 D．三、填空題（本大題共3小題）12．有4封不同的信投入3個不同的信箱，可有種不同的投入方法．13．已知是橢圓上的一點，且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點，直線的斜率為，則的面積為.14．已知點是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左支上一點是雙曲線的左、右兩個焦點，且與兩條漸近線相交于四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，直線，與交于點點.(1)求線段的垂直平分線的方程；(2)求過兩點，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．已知是雙曲線的一條漸近線，點在上.(1)求的方程；(2)已知直線的斜率存在且不經(jīng)過原點，與交于兩點，的中點在直線上.若，的面積為，求的方程.17．已知橢圓四點、、、中恰有三點在橢圓上.(1)求的方程；(2)設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于，兩點，若直線與直線的斜率的和為0，求證：的斜率為定值.18．已知動圓過定點，且截軸所得的弦長為4.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)過點的直線交的軌跡于兩點.（ⅰ）若點，求的最小值；（ⅱ）為在軸上的投影，連接與分別交拋物線于，問：直線是否過定點，若存在，求出該定點；若不存在，請說明理由.19．如圖，已知橢圓，曲線與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線與曲線相交于、兩點，直線，分別與交于點.

(1)求；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過點；(3)記、的面積分別為、，若，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【詳解】由可得，故，則，故焦點坐標(biāo)為，故選：C2．【正確答案】C【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，直線將圓平分，所以直線過圓的圓心，又因為與直線平行，所以可設(shè)直線的方程為，將代入可得所以直線的方程為即.故選：C．3．【正確答案】A【詳解】由相鄰問題捆綁法可得,故選：A4．【正確答案】B【詳解】解:連接,如圖所示:因為點Q在線段AP的垂直平分線上,所以,所以,因為A是圓O內(nèi)一個定點,所以,即,即動點Q到兩定點O、A的距離和為定值,根據(jù)橢圓的定義,可知點Q的軌跡是:以O(shè),A為焦點,OA為實軸長的橢圓.故選:B5．【正確答案】C【分析】根據(jù)模型建立平面直角坐標(biāo)系，由已知條件先求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再計算高度即可.【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以喉部的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A與分別為上，下底面對應(yīng)點，設(shè)雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以，又因為喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，所以，所以雙曲線的方程為，由題意可知，代入雙曲線方程得，所以該塔筒的高為.故選C.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)是橢圓上的一個動點，則，，由于，故當(dāng)時，取最大值，故選：C7．【正確答案】C【分析】設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理和焦點弦公式代入計算可求得.【詳解】如下圖所示：

易知，不妨設(shè)；設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據(jù)焦點弦公式可得；代入計算可得.故選：C8．【正確答案】B【詳解】由已知，，，所以雙曲線的漸近線方程為即為，圓方程為，即，取漸近線方程，由，解得或，不妨設(shè)，，顯然軸，又，即的傾斜角為，從而．

故選：B．9．【正確答案】BD【詳解】對于A，當(dāng)時，曲線為,此時表示圓，故A錯誤，對于B，當(dāng)時，，此時曲線表示焦點在上的雙曲線，當(dāng)時，此時曲線表示焦點在上的雙曲線，故當(dāng)或時，曲線C是雙曲線，B正確，對于C,若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則滿足，解得，故C錯誤，對于D，曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，故，D正確，故選：BD10．【正確答案】ABC【詳解】對于A，將兩圓方程相減得：，故A正確；對于B，將圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心，半徑，將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其圓心，，則，則兩圓外切，故兩圓有3條公切線，故B正確；對于C，因為表示圓上的點到點的距離，由圓心到點的距離，得的最大值為，故C正確；對于D，由圓C：上有且僅有兩個不同的點到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離，即，解得或，故D錯誤；故選：ABC.11．【正確答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先表示出切線方程，聯(lián)立方程組，得直線MN的方程為，解得，從而得，可判定A,B；再由點，可得軌跡方程，判定C；由向量坐標(biāo)運算得，，判定D.【詳解】已知拋物線的方程，求經(jīng)過拋物線上一點的切線的方程.由，可得或，不妨設(shè)，則，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過點的切線的斜率為，故所求切線方程為，化簡得即.又在拋物線上，，所以切線方程為

(可驗證對,此方程也適用)，所以設(shè)，設(shè)過點M的切線為，過點N的切線為，這兩條切線交于點，則，從而直線MN的方程為．若，則直線MN經(jīng)過點，A正確．設(shè)過點M的切線為，過點N的切線為，聯(lián)立，解得，即，從而，即，由于點H為M,N中點，則，而軸，B正確．點，由于，，從而點H的軌跡方程為，C錯誤．由于，，，則．又，則，同理可得，從而，D正確．故選ABD.【關(guān)鍵點撥】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出經(jīng)過拋物線上一點的切線的方程為：，然后結(jié)合條件逐項分析即得.12．【正確答案】81【詳解】每封信都有3種選擇，所以將4封不同的信投入3個不同的信箱，共有種方法，故8113．【正確答案】【詳解】設(shè)，且，由可得故，故，，則，平方可得，化簡可得，求得，故，故14．【正確答案】【詳解】因為是中點，即是的中位線，則，可得，，又因為，則，，關(guān)系則，所以雙曲線的離心率是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），故，因為，所以中點坐標(biāo)為且.所以的垂直平分線方程為，即.（2），故圓心坐標(biāo)為，半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可得，所以的方程為.（2）設(shè)，由得，由題意得，設(shè)中點的坐標(biāo)為，則所以.因為的中點在直線上，所以，即，因為，所以故的方程為，且，又點到的距離，所以，解得，所以的方程為.17．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由對稱性可知和在橢圓C上，所以因為，所以不在上，進而在上，所以，所以，即的方程為.（2）如果與軸垂直，設(shè)：，由題設(shè)知，且，可得的坐標(biāo)分別為，則，所以，不符合題意．從而可設(shè)的方程為，聯(lián)立，所以則，所以，所以，所以，所以，所以，因為直線不經(jīng)過點，所以，所以，解得.18．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）存在，【詳解】（1）設(shè)動圓圓心為，到軸距離為，動圓截軸所得半弦長為2，則，化簡得；所以動圓圓心的軌跡方程為.（2）（i）設(shè)Ax1,y1設(shè)直線的方程為，與的軌跡方程聯(lián)立得消去得，由在拋物線內(nèi)部，故，所以.由（1）知，F(xiàn)1,0為軌跡的焦點，由拋物線定義得，所以當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)直線斜率不存在時，.由拋物線定義知.綜上，的最小值為.（ii）情況1：直線斜率不存在時，直線的方程為.情況2：直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為.設(shè)直線的方程為.，則所以.則，所以.即同理.所以直線CD的方程為令.則所以定點為.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）若直線的斜率不存在，則該直線與