2024-2025學(xué)年湖南省永州市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年湖南省永州市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，則（）A. B. C. D.3.“其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語·子路》．意思是：當(dāng)政者本身言行端正，不用發(fā)號(hào)施令，大家自然起身效法，政令將會(huì)暢行無阻；如果當(dāng)政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會(huì)服從遵守．根據(jù)上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.5.將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（）A.20種 B.40種 C.80種 D.160種6.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.57.已知雙曲線左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.8.已知為函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．）9.已知非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若則C.若，則 D.向量與向量垂直10.如圖，在正三棱柱中，M，N，D，Q分別為棱中點(diǎn)，，則以下結(jié)論正確的是（）A.平面 B.C.點(diǎn)Q到平面距離為 D.三棱錐的外接球表面積為11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B，P為拋物線C上的點(diǎn)，，若拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為，且兩切線交于點(diǎn)M．N為拋物線C的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)．則以下結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.直線PN的傾斜角C.若，則直線AB的方程為 D.的最小值為2非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知______________．13.已知某中學(xué)3個(gè)年級(jí)各有學(xué)生300，300，400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從3個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取10人，對(duì)他們的體重進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)．若3個(gè)年級(jí)被抽到的學(xué)生體重的平均值分別為48，52，55kg，方差分別為4，10，1．將這10名學(xué)生體重W（kg）作為樣本，則樣本的方差為______．14.“四進(jìn)制”是一種以為基數(shù)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字，，，來表示數(shù)值．四進(jìn)制在數(shù)學(xué)和計(jì)算的世界中呈現(xiàn)出多個(gè)維度的特性，對(duì)于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響．四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以的相應(yīng)次方（從開始），然后將所有乘積相加．例如：四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)為；現(xiàn)將所有由，，組成的位（如：，）四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，在這些十進(jìn)制數(shù)中任取一個(gè)，則這個(gè)數(shù)能被整除的概率為______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15.如圖，三棱臺(tái)中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.16.已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)b的值；（2）證明：在上單調(diào)遞增；（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17.如圖，四邊形中，．（1）求；（2）為邊上一點(diǎn)，且的面積為，求的外接圓半徑．18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且直線與的斜率之積為．（1）求C的方程；（2）直線與C交于M，N兩點(diǎn)，與y軸x軸分別交于點(diǎn)A，B．（?。┤鬉，B恰為弦MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求直線l的方程；（ⅱ）若點(diǎn)B與點(diǎn)重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)Q，求的值．19.密碼學(xué)是研究編制密碼和破譯密碼的技術(shù)科學(xué)．研究密碼變化的客觀規(guī)律，應(yīng)用于編制密碼以保守通信秘密的，稱為編碼學(xué)；應(yīng)用于破譯密碼以獲取通信情報(bào)的，稱為破譯學(xué)，總稱密碼學(xué)．20世紀(jì)70年代，一些學(xué)者提出了公開密鑰體制，即運(yùn)用單向函數(shù)的數(shù)學(xué)原理，以實(shí)現(xiàn)加、脫密密鑰的分離．加密密鑰是公開的，脫密密鑰是保密的．這種新的密碼體制，引起了密碼學(xué)界的廣泛注意和探討．某數(shù)學(xué)課外小組研究了一種編制密碼的方法：取任意的正整數(shù)n，將小于等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)從小到大排列，即為密碼．記符合上述條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為．（1）求數(shù)列的前5項(xiàng)和；（2）求的表達(dá)式和的值；（3）記，數(shù)列前n項(xiàng)和，證明．?dāng)?shù)學(xué)期中考試（答案）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,點(diǎn)位于第四象限.故選：D．2.【詳解】，解得，或，所以，故選：B．3.【詳解】由題：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分條件；又其身不正，雖令不從，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要條件，綜合知“身正”是“令行”的充要條件，選：C．4.【詳解】因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以，若在上單調(diào)遞減，故只需，即，故選：A．5.【詳解】一側(cè)的種植方法有種排法，另一側(cè)的種植方法有種排法再由分步計(jì)數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.6.【詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則由的圖像可得，解得，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?.故選：B.7.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，，所以為的中點(diǎn)，所以，故，易知，所以，由定義知，即，得.故選：D．8.【詳解】由得，即，即，因?yàn)椋?，所以為方程的根，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，即，故選：B．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．）9.選：ABD．10.【詳解】由題，，所以平面,不在平面內(nèi)，故平面，A正確；由題可得，，設(shè)，易得，，因?yàn)?，即，解得，故，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以平?平面,得出平面，，所以，又，設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，得，C正確；將三棱錐補(bǔ)成以為底面的直三棱柱，則該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，其球心O位于上下底面外心的中點(diǎn)，，故的外接圓半徑，設(shè)外接球半徑為R，則，所以三棱錐的外接球表面積，D錯(cuò)誤．故選：AC．11.【詳解】由題，則向量的夾角為，故F，A，B三點(diǎn)共線，設(shè)，與C的方程聯(lián)立得，設(shè)，則，，故，由拋物線的定義得，故，，所以A錯(cuò)誤；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，直線PN傾斜角大于等于，當(dāng)時(shí)，，所以直線PN的傾斜角，B正確；記直線AB的斜率為k，令，則，則，又，所以，所以，又直線AB過點(diǎn)，故直線AB的方程為正確；，又，所以，同理，聯(lián)立解得，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，D正確；故選:BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.【詳解】，即，．故答案：13.【詳解】3個(gè)年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)分別為3，3，4人，則，故．故13.14.【詳解】設(shè)，則位四進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制為，若這個(gè)數(shù)能被3整除，則能被整除．當(dāng)這個(gè)四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時(shí)，有個(gè)；當(dāng)這個(gè)四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時(shí)，有個(gè)；這個(gè)四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時(shí)，有個(gè)；這個(gè)四進(jìn)制數(shù)由，，，組成時(shí)，有個(gè)；這個(gè)四進(jìn)制數(shù)都由組成時(shí)，有個(gè)．因?yàn)橛?，，組成的位四進(jìn)制數(shù)共有個(gè)，所以能被整除的概率．故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將進(jìn)制轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制之后，利用二項(xiàng)式定理來求解能否被整除的問題，得出所有可能的組合即可求得相應(yīng)概率.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15.【小問1詳解】因?yàn)檎切?，M為AB中點(diǎn)，所以CM⊥AB，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以，又平面所以平面又因?yàn)槠矫?，所以，連接，易得，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?【小問2詳解】取AC中點(diǎn)O，連接，易知三條直線兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，又，所以，因?yàn)橹本€與平面所成的角為直線與所成角的余角，所以直線與平面所成的角的正弦值為．16.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，故，又，所以在點(diǎn)處的切線方程為，將點(diǎn)代入得，解得．【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增．【小問3詳解】對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，上式顯然恒成立；當(dāng)時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；所以，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式作差得：，解得，因?yàn)?，所以．【小?詳解】解：因?yàn)橛桑?）知，可得，且，則所以，在中，可得，所以，在中，可得，在中，可得，可得,所以，則，所以，解得，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得，所以的外接圓半徑為．18.【小問1詳解】將點(diǎn)代入C的方程得：①，設(shè)C的焦距為，則，故，解得②，又③，由①②③解得或，所以C的方程為．【小問2詳解】（?。┯深}，，設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)锳，B恰為弦MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以,則，即，解得，所以，又，即，解得，所以將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入C的方程得，解得，因?yàn)?，所以，所以直線l的方程為．（ⅱ）由題直線l過點(diǎn)，所以，與橢圓方程聯(lián)立，得，，設(shè)，則，所以，又，所以MN中點(diǎn)為，所以MN的垂直平分線方程為，令得，故，所以，所以．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）（i）解題關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用向量關(guān)系列方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線方程；19.【小問1詳解】由題，；小于等于2且與2互質(zhì)的正整數(shù)有1，所以；小于等于3且與3互質(zhì)