2024-2025學(xué)年吉林省長春市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年吉林省長春市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．已知隨機(jī)變量的分布列是123則（

）A． B． C．1 D．2．在第14屆全國人民代表大會(huì)期間，某記者要去黑龍江省代表團(tuán)、遼寧省代表團(tuán)、山東省代表團(tuán)、江蘇省代表團(tuán)采訪，則不同的采訪順序有（

）A．4種 B．12種 C．24種 D．36種3．已知圓，直線，截得圓弦長為2，則（

）A． B． C． D．4．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1365 B．3003 C．5005 D．64355．已知是橢圓C：的左焦點(diǎn)，是橢圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．6．設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6、0.4，汽車和火車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.9、0.8，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（

）A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.847．2024年斯諾克武漢公開賽前夕，肖國棟與斯佳輝兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)肖國棟在每局中獲勝的概率為，斯佳輝在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則（

）A． B． C． D．8．已知，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若為內(nèi)切圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為（

）A． B．C． D．二、多選題9．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)與點(diǎn)A，B不重合），則的面積的值可以是（

）A． B． C．3 D．10．下列說法正確的為（

）A．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法B．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法C．6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法D．6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450種不同的分法11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．對于任意直線，均有B．不存在直線，滿足C．對于任意直線，直線與拋物線相切D．存在直線，使三、填空題12．近年來，新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù)，它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為.13．已知是各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)的多項(xiàng)式，，且滿足，則的各項(xiàng)系數(shù)之和為.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在上，則的離心率為.四、解答題15．霹靂舞是一種動(dòng)感和節(jié)奏感非常強(qiáng)烈、動(dòng)作非常炫酷的舞蹈，年青人對這種舞蹈如癡如醉．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)（第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)）首次把霹靂舞列入比賽項(xiàng)目，中國小將劉清漪勇獲女子銅牌，藉此之際，某中學(xué)組建了霹靂舞隊(duì)，計(jì)劃從3名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員中選派4名隊(duì)員外出參加培訓(xùn)，求下列情形下有幾種選派方法．(1)男隊(duì)員2名，女隊(duì)員2名；(2)至少有1名男隊(duì)員．16．袋子中放有大小、形狀均相同的小球若干．其中標(biāo)號(hào)為0的小球有1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球有2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球有個(gè)．從袋子中任取兩個(gè)小球，取到的標(biāo)號(hào)都是2的概率是．（1）求的值；（2）從袋子中任取兩個(gè)小球，若其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1，求另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)也是1的概率．17．在學(xué)校組織的足球比賽中，某班要與其他4個(gè)班級(jí)各賽一場，在這四場比賽的任意一場中，此班級(jí)每次勝、負(fù)、平的概率都相等．已知這四場比賽結(jié)束后，該班勝場多于負(fù)場．（1）求該班勝場多于負(fù)場的所有可能情況的種數(shù)；（2）若勝場次數(shù)為，求的分布列．18．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)的直線與拋物線相切，且切點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線C上的點(diǎn)．(1)求直線的方程；(2)若直線不與軸垂直，點(diǎn)在軸上，軸，．若直線QP與拋物線和直線分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：．19．已知雙曲線，離心率為，，為其左右焦點(diǎn)，為其上任一點(diǎn)，且滿足，．(1)求雙曲線的方程；(2)已知，是雙曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是上異于，的任意一點(diǎn)，直線、分別交軸于點(diǎn)、，試問：是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，請求出定值（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)）．答案：題號(hào)12345678910答案ACACDCDCABAC題號(hào)11答案AC1．A【分析】直接根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解即可得答案.【詳解】解：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的概率和為得：，所以.故選：A.本題考查分布列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.2．C【分析】根據(jù)給定條件，利用全排列計(jì)算作答.【詳解】依題意，不同的采訪順序有（種）.故選：C3．A【分析】由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系，即得解【詳解】由題意，圓，圓心圓心到直線距離：故：代入解得：故選：A4．C【分析】求出給定的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再確定常數(shù)項(xiàng)的參數(shù)值即可計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，由得，此時(shí)，所以所求常數(shù)項(xiàng)為5005.故選：C5．D【分析】標(biāo)出橢圓的右焦點(diǎn)，利用橢圓定義轉(zhuǎn)換|PF|，利用平面幾何知識(shí)即可得最大值﹒【詳解】由題意，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，∴．∵點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓定義知，．∵，∴，當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立.即要求的最大值為，故選：D．6．C【分析】設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘火車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘火車到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故選：C7．D【分析】依題意得到的可能取值，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和加法概率公式求出對應(yīng)的概率即可.【詳解】依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，可以得到該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為如果該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，那么肖國棟與斯佳輝在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有故選：D.8．C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及雙曲線的定義，確定M的橫坐標(biāo)，即得出圓心的橫坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)知的最大值即為，即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓分別與，切于N，B，與切于M，如圖，

則,又點(diǎn)在雙曲線右支上，所以，故，而，設(shè)M的坐標(biāo)為，可得:，解得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則內(nèi)切圓圓心為，則的最大值為，即，解得.故選：C9．AB【分析】求出兩條直線的動(dòng)點(diǎn)，對進(jìn)行分類討論，當(dāng)，直接可求出三角形面積，當(dāng)時(shí)，兩條直線互相垂直，即可求得面積的最大值.【詳解】動(dòng)直線過定點(diǎn)，直線化簡為，則，則直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩條直線分別為，交點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，兩條直線的斜率分別為：，所以兩條直線互相垂直，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積達(dá)到最大值，則的面積的值可以是或，不可以是,故選：AB10．AC【分析】根據(jù)給定條件，利用分組分配的方法，列式判斷AB；利用隔板法計(jì)算判斷C；利用分類加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算判斷D作答.【詳解】對于A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，先取2本給甲，再從余下4本中取2本給乙，最后2本給丙，不同分法有種，A正確；對于B，把6本不同的書按分成3組有種方法，再分給甲、乙、丙三人有種方法，不同分法種數(shù)是，B錯(cuò)誤；對于C，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，相當(dāng)于把6本相同的書排成一排，中間形成5個(gè)間隙，取兩塊隔板插入兩個(gè)間隙，把6本書分成3部分，分給甲、乙、丙三人的不同分法數(shù)為，C正確；對于D，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3類辦法，每人2本有種，一人1本，一人2本，一人3本有種，一人4本，另兩人各一本有種，所以6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法數(shù)是，D錯(cuò)誤.故選：AC11．AC【分析】A選項(xiàng)由為線段的中點(diǎn)以及拋物線定義即可判斷，B選項(xiàng)由及拋物線方程求出，坐標(biāo)，再說明，，三點(diǎn)共線，即存在直線即可，C選項(xiàng)設(shè)，，表示出直線，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷，D選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可判斷．【詳解】對于選項(xiàng)A，如圖，由拋物線知為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，設(shè)，，，，，為線段的中點(diǎn)，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：AC．方法點(diǎn)晴：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系一般需要設(shè)出直線方程，然后與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．12．記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故本題考查了條件概率的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.13．5【分析】根據(jù)題意可設(shè)，從而可得的各項(xiàng)系數(shù)和為，通過對賦值即可求出，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，從而可設(shè)，則的各項(xiàng)系數(shù)和為，因?yàn)?，所以，解得?，因?yàn)槭歉黜?xiàng)系數(shù)均為整數(shù)的多項(xiàng)式，所以不可能是分?jǐn)?shù)，舍去，即.故5.14．33/【分析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為Q，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線，設(shè)，則，在利用余弦定理先求，然后由橢圓定義可求得，再利用余弦定理可得的齊次式，即可得出答案.【詳解】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為Q，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故15．(1)30(2)65【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用組合問題按要求選出隊(duì)員，列式計(jì)算作答.（2）根據(jù)給定條件，利用組合問題結(jié)合排除法列式計(jì)算作答.【詳解】（1）從3名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員中分別選出男女隊(duì)員各2名，不同選法數(shù)為（種）.（2）從8名隊(duì)員中任選4名隊(duì)員有種，其中沒有男隊(duì)員的選法數(shù)是種，所以至少有1名男隊(duì)員的不同選法數(shù)是（種）.16．（1）；（2）.（1）根據(jù)取到標(biāo)號(hào)都是2的概率列出式子即可求解；（2）記“其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，“另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，求出，利用條件概率公式即可求出.【詳解】（1）由題意得，解得或（舍去）．（2）記“其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，“另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，則，,所以．17．（1）31種；（2）分布列見解析.（1）根據(jù)題中條件，分別討論勝一場，勝兩場，勝三場，勝四場，求出對應(yīng)的勝場多于負(fù)場的情況，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，先確定的可能取值，根據(jù)（1）的結(jié)果，分別求出對應(yīng)的概率，即可得出分布列.【詳解】（1）若勝一場，則其余為平，共有種情況；若勝兩場，則其余兩場為一負(fù)一平或兩平，共有種情況；若勝三場，則其余一場為負(fù)或平，共有種情況；若勝四場，則只有1種情況．綜上，共有種情況．（2）的可能取值為1,2,3,4，由（1）可得：，，，所以的分布列為：1234思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計(jì)算公式，簡化計(jì)算）18．(1)或(2)證明見解析；【分析】（1）求出拋物線方程，再結(jié)合直線與拋物線相切的幾何意義求得直線方程；（2）根據(jù)已知條件分別求得三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則，所以拋物線的方程為，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，因?yàn)橹本€與拋物線相切，則聯(lián)立得，，由解得，，所以直線的方程為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，滿足過點(diǎn)的直線與拋物線相切，故過點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為或（2）因?yàn)橹本€不與軸垂直，則直線的方程為，根據(jù)題意如圖所示：

由得，因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線C上的點(diǎn)，設(shè)，由，則為的中點(diǎn)，則，因?yàn)檩S，且直線QP與拋物線和直線分別交于M，N兩點(diǎn)，則得，由