2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，且，則（

）A． B．C． D．2．方程，化簡的結(jié)果是（

）A． B．C． D．3．從空中某個角度俯視北京冬奧會主體育場“鳥巢”頂棚所得的局部示意圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，下列直線系方程（其中為參數(shù)，）能形成這種效果的是（

）A． B．C． D．4．已知點關(guān)于直線對稱的點Q在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．或5．下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線與直線平行，則它們的距離為B．原點到直線的距離的最大值為C．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為D．直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，若在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．設(shè)集合，（）.當(dāng)有且只有一個元素時，則正數(shù)的所有取值為（

）A．或 B．C．或 D．或8．橢圓的上頂點為A，點均在C上，且關(guān)于x軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知正方體，點P滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱倠的體積為定值B．當(dāng)時，平面C．當(dāng)時，存在唯一的點P，使得與直線的夾角為D．當(dāng)時，存在唯一的點P，使得平面10．已知曲線，點在曲線上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線有4條對稱軸 B．的最小值是C．曲線圍成的圖形面積為 D．的最大值是111．已知橢圓，橢圓的左右焦點分別為，左右頂點為，是坐標(biāo)原點，是橢圓上不同于的兩個點，且過，則下列說法中正確的是（

）A．一定是鈍角三角形 B．一定是銳角C．可能為直角 D．周長為定值三、填空題（本大題共3小題）12．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，若，則.13．若某直線被兩平行線與所截得的線段的長為，則該直線的傾斜角大小為．14．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上一點到兩定點的距離之滿足為常數(shù)，則點的軌跡為圓．已知圓：和，若定點（）和常數(shù)滿足：對圓上任意一點，都有，則，面積的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長為．(1)求圓的方程；(2)過點作圓的切線，求的方程．16．在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)求證：平面；(2)若，，二面角的余弦值為，求的長．17．已知橢圓的焦距為，且的離心率為.(1)求的標(biāo)準方程；(2)若，直線交橢圓于兩點，且的面積為，求的值.18．如圖，在四棱錐中，平面，，，．為的中點，點在上，且，設(shè)點是線段上的一點．（1）求證：平面；（2）若．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．（3）設(shè)與平面所成角為，求的范圍.19．橢圓的兩個焦點為、，是橢圓上一點，且滿．（1）求離心率的取值范圍；（2）當(dāng)離心率取得最小值時，點到橢圓上點的最遠距離為.①求此時橢圓的方程；②設(shè)斜率為的直線與橢圓相交于不同兩點、，為的中點，問：、兩點能否關(guān)于過點、的直線對稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【分析】運用空間向量平行坐標(biāo)結(jié)論，結(jié)合坐標(biāo)運算即可解.【詳解】向量，則，因為，于是得，解得，所以.故選B.2．【正確答案】B【詳解】根據(jù)兩點間的距離公式可得:表示點與點的距離,表示點與點的距離.所以原等式化簡為因為所以由橢圓的定義可得:點的軌跡是橢圓:根據(jù)橢圓中:,得:所以橢圓的方程為:.故選:B.3．【正確答案】C【詳解】由圖可知，原點到直線的距離為定值，四個選項中僅有到原點的距離為定值.故選：C4．【正確答案】C【詳解】設(shè)點關(guān)于直線對稱的點，則，解得.因為在外，所以，可得，且表示圓可得，即得，綜上可得.故選：C.5．【正確答案】C【詳解】A選項：由題意得，∴，當(dāng)時，兩直線均為；當(dāng)時，兩直線分別為：，，∴兩直線距離，故A選項錯誤;B選項：直線即過定點，設(shè)為A，∴原點到直線的距離在直線和OA垂直時取得，∴最大距離，故B選項錯誤；C選項：∵直線的斜率為，則和其對稱點的連線的斜率，∴，聯(lián)立方程組，解得，即對稱點坐標(biāo)，故C選項正確；D選項：由解析式可得直線的截距為，∴所圍成的三角形的面積，故D選項錯誤.故選：C.6．【正確答案】D【詳解】解：設(shè)的中點為，由題意可知平面，連接、、，在三棱柱中，所以即為異面直線與所成的角；設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長為，則，分別在和中，由勾股定理，可知，，在中，由余弦定理，得；所以異面直線與所成的角的余弦值為．故選：D．7．【正確答案】C【詳解】，，即圓M：的上半部分，如圖：圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓N的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，①外切：，d為圓心距，，此時，②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑，圓（3）處的半徑，所以，綜上，正數(shù)的所有取值為或.故選：C.8．【正確答案】C【詳解】，設(shè)Px1,y1，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓C的離心率為．故選：C9．【正確答案】ABC【詳解】選項A，由題意在面內(nèi)，因此它到平面的距離等于正方體的棱長，為常數(shù)，而面積為常數(shù)，因此為常數(shù)，A正確；

選項B，，則，因此點軌跡是線段，連接，由與平行且相等，因此是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，同理平面，而與是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面平面，平面，則平面，B正確；

選項C，取中點，中點，連接，由得點軌跡是線段，同選項A分析知，與直線的夾角即為與直線的夾角，由正方形知當(dāng)只有當(dāng)與重合時，與直線的夾角為，C正確；

選項D，由知在線段上，過與平面垂直的直線只有，因此不可能與平面垂直，D錯．

故選：ABC．10．【正確答案】ACD【分析】當(dāng)時，化簡方程為，結(jié)合曲線的對稱性，畫出曲線的圖象，結(jié)合圖象，可得判定A正確，把表示曲線上的點到直線的距離的倍，可判定B錯誤；結(jié)合圓的面積公式和正方形的面積公式，可判定以C正確；設(shè)表示點與點確定的直線的斜率，結(jié)合圖象，利用點到直線的距離公式，列出方程，可得判定D正確.【詳解】當(dāng)時，原方程化為，即，所以曲線是以圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由圖象關(guān)于軸，軸對稱，所以曲線，如圖所示.，對于A中，由圖象可得，該曲線關(guān)于軸，軸，和對稱，所以該曲線有4條對稱軸，所以A正確，對于B中，由表示曲線上的點到直線的距離的倍，結(jié)合圖象得，當(dāng)是時，距離最小值為，所以最小值為，所以B錯誤；對于C中，曲線圍成的圖形由四個直徑為的半圓和一個邊長為的正方形組成，所以面積為，所以C正確；對于D中，設(shè)表示點與點確定的直線的斜率，設(shè)該直線方程為，結(jié)合圖象，當(dāng)，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時，該切線的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），則的最大值為1，所以D正確.故選ACD.11．【正確答案】ABD【詳解】由題意可知：，設(shè)點.對于選項A：因為，所以，由橢圓方程可知：，代入上述式子得：，因為點異于點，所以，所以，即，又因為，所以，即，所以，所以在內(nèi)，為鈍角，所以一定是鈍角三角形.故選項A正確；對于選項B：因為，所以，由橢圓方程可知：，代入上述式子得：，設(shè)，則，顯然，所以在上單調(diào)增加，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，而，所以，即，所以，所以在內(nèi)，一定為銳角，故選項B正確；對于選項C：因為，由選項B的解析過程可知：，所以，所以與不垂直，故選項C錯誤；對于選項D：由橢圓的定義可知：，所以周長為：，故選項D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】解：，，所以，解得，所以，故113．【正確答案】和【詳解】因為直線：與：平行，所以與之間的距離．設(shè)直線與，的夾角為（），因為直線被直線與截得的線段長，所以，解得．因為直線，的斜率為1，所以其傾斜角為，所以直線的傾斜角的值為和．故和.14．【正確答案】【詳解】設(shè)點，由，得，整理得，所以解得如圖，當(dāng)或時，.故

.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，又因為圓的半徑為2.由勾股定理可得圓心到直線的距離所以.所以圓的方程為：（2）由已知：（1）當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，顯然符合題意.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，又因為圓心到直線的距離所以直線的方程為.綜上所述：直線為或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)或【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點，取的中點，連接，，如圖，則且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）解：因為在直三棱柱中，，所以，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為E，F(xiàn)分別是，的中點，，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面的一個法向量，由得令，則，即．設(shè)平面的一個法向量，由得,令，則,即．所以，因為二面角的余弦值為，所以，解得或．所以的長為或．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得：，即，則，所以的標(biāo)準方程為.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立，消去得：，則，則，可得，設(shè)直線與軸的交點為，且，則，故，解得.

18．【正確答案】（1）證明見詳解;（2）直線在平面內(nèi)，理由見詳解；（3）【分析】（1）由平面可得，結(jié)合利用線面垂直判定定理可證；（2）由代入坐標(biāo)建立方程組，由方程組有解可得直線在平面內(nèi)；（3）由點是線段上的一點．設(shè)，進而得坐標(biāo)，求平面的一個法向量，由向量方法表示出，再利用換元法求函數(shù)值域可得.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面.（2）在底面中，過作，交于，因為由題意可知，平面，所以以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，所以，，，因為平面，所以，且，使得，則有，解得，故.所以直線平面.（3）因為由（2）可知，.設(shè)，所以，因為設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，所以.所以，令，則，因為，，所以.19．【正確答案】（1）；（2）①；②能，k的范圍為.【詳解】（1）設(shè)，由在橢圓上，則，則①，由，，則，可得②，將①代入②：，整理得，而，所以，即，所以