2024-2025學年山東省淄博市高二上學期第一次月考數學檢測試題（附解析）

2024-2025學年山東省淄博市高二上學期第一次月考數學檢測試題一、單選題1．現有質地相同的4個球，編號為1，2，3，4，從中一次性隨機取兩個球，則兩個球的號碼之和大于4的概率是（

）A． B． C． D．2．設直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．已知直線和直線，則是兩直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知直線過點，且方向向量為，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．如圖，平行六面體的所有棱長為2，四邊形ABCD是正方形，，點是與的交點，則直線與所成角的余弦值為（

）

A．1 B． C． D．6．已知圓，若圓與圓恰有三條公切線，則實數（

）A．9 B． C．8 D．7．設直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（

）A． B． C．1 D．8．已知點、是橢圓的左、右焦點，點M為橢圓B上一點，點關于的角平分線的對稱點N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是對立的事件是(

).A．“恰有一名女生”和“全是女生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至多有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”10．已知橢圓的焦點分別為，，設直線l與橢圓C交于M、N兩點，且點為線段MN的中點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為B．橢圓上存在點Q使得C．直線l的方程為D．的周長為11．已知圓，點是直線上一動點，過點作圓的切線，，切點分別是和，下列說法正確的為（

）A．圓上恰有一個點到直線的距離為B．四邊形面積的最小值為C．存在唯一點，使得D．直線恒過定點三、填空題12．已知隨機事件中，與相互獨立，與對立，且，，則.13．已知點，直線被圓所截得弦的中點為，則MN的最大值是.14．加斯帕爾·蒙日是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發(fā)現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點P，過P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是.四、解答題15．在2024年法國巴黎奧運會上，中國乒乓球隊包攬了乒乓球項目全部5枚金牌，國球運動再掀熱潮.現有甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽都是相互獨立的.(1)求比賽只需打三局的概率；(2)已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.16．已知以點為圓心的圓與直線相切.(1)求圓A的方程；(2)過點的直線l與圓A相交與M，N兩點，當時，求直線l方程；(3)已知實數x，y滿足圓A的方程，求的取值范圍.17．如圖，在直三棱柱中，D，E分別是AB，的中點.

(1)證明：平面；(2)已知，，求CD與平面所成角的大小.18．在三棱臺中，為中點，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.19．已知橢圓左焦點為，離心率為，以坐標原點為圓心，為半徑作圓使之與直線相切.(1)求的方程；(2)設點，，是橢圓上關于軸對稱的兩點，交于另一點，①證明：直線經過定點；②求的內切圓半徑的范圍.答案：1．A從編號為1，2，3，4，的小球中一次性隨機取兩個球，有，，，，，，共6種情況，兩個球的號碼之和大于4的情況有，，，，共4種情況，所以兩個球的號碼之和大于4的概率.故選：A2．B時，傾斜角的范圍是，當時，傾斜角的范圍是，綜上，傾斜角范圍是．故選：B．3．A若直線和直線平行，則，解得或，因此，是兩直線平行的充分不必要條件.故選：A.4．B由點，點.又直線的方向向量為，所以點到的距離.故選：B.5．B取的中點，連接，，因為，所以直線與所成角即為與所成的角，所以，

所以，即，又因為，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故選：B．6．B圓可化為，圓心為，半徑為.若圓M與圓恰有三條公切線，則兩圓外切.圓可化為，圓心為，半徑為，.由，所以，解得.故選：B7．C由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，解得.故選：C8．B點關于的角平分線的對稱點N必在上，因此共線，，，設，則，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化簡得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故選：B．

9．CD對于A選項，“恰有一名女生”和“全是女生”不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，所以A不是對立事件；對于B選項，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同時發(fā)生，即一名男生和一名女生的事件，所以B不是對立事件；對于C，“至多有一名男生”和“全是男生”不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，C是對立事件；對于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，D是對立事件.故選：CD.10．BCDA.由條件可知，，解得：，所以橢圓，所以，橢圓的離心率，故A錯誤；B.由橢圓方程可知，，，以為直徑的圓與橢圓由4個交點，所以橢圓上存在點使得，故B正確；C.設，，代入橢圓方程，，兩式相減得，由題意可知，，，所以，，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理為，故C正確；D.因為直線過橢圓的焦點，所以的周長為，故D正確.故選：BCD11．BCD由圓，可知圓心，半徑.對于A，由圓心到直線的距離為，所以圓上任意一點到直線的距離的取值范圍為（當時，直線與圓的兩個交點處分別取等號）.而，所以圓上有兩個點到直線的距離為，故A錯誤；對于B，四邊形的面積，由圓的性質可得切線長，所以當最小時（時）,，所以四邊形的面積的最小值為1，故B正確；對于C，若，由，，則四邊形為正方形，則，設，則，解得，即存在唯一P點，使得，故C正確；對于D，設，因為為過點作圓的切線，所以點在以為直徑的圓上.又，所以以為直徑的圓為，即.與圓聯立，相減，即為直線的方程為.由，得，即直線恒過定點，故D正確.故選：BCD.12．/由與為對立事件，則，又與相互獨立，則，所以.故答案為.13．由于直線恒過定點，圓的圓心，設，則，故，即，化簡可得，故點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，由于在圓外，,故，即，則MN的最大值是.故答案為.14．由橢圓方程可知蒙日圓半徑為，所以蒙日圓方程為，因為點在橢圓的蒙日圓上，又因為點在直線上，所以直線和蒙日圓有公共點.即圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，所以橢圓離心率，所以.故答案為.15．(1)(2)（1）設事件=“甲前三局都獲勝”，事件=“乙前三局都獲勝”，則，，比賽只需打三局的概率為：.（2）甲需要打三局的概率為：，甲需要打四局的概率為：，甲需要打五局的概率為：，則甲最終獲勝的概率為.16．(1);(2)或;(3).（1）由題意知點到直線的距離為圓的半徑，由點到直線的距離公式可得,所以圓的方程為.（2）因為直線與圓相交與兩點，且，利用垂徑定理和勾股定理，可得圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直到直線的距離為，符合題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由題意可得，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.（3）表示點到的距離的平方，又圓心到到的距離為，所以點到的距離的最小值為，最大值為所以的最小值為，最小值為，即的取值范圍是.17．(1)證明見解析(2)（1）連結，交于點，連結，因為點分別是的中點，所以,平面，平面，所以平面；

（2）因為，，所以，所以，如圖，以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

，，，，，，，設平面的法向量為，所以，令，則，，所以平面的法向量為，設與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的大小為.18．(1)證明見解析(2)（1）在三棱臺中，為中點，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，，設平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.19．(1)(2)①證明見解析