2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷考生須知：1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C.0,2 D.【正確答案】D解析：因為，所以，對于集合：，所以，即，，所以.故選：D.2.已知是虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：設(shè)，因為，得到，所以，解得，得到，所以，故選：C.3.已知向量，，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A解析：由，得，，所以與共線，所以“”是“是與共線”的充分條件；由，可得，解得或，“”是“與共線”成立的不必要條件，故“”是“與共線”充分不必要條件．故選：A．4.若函數(shù)，又，且的最小值為，則的值為（）A. B. C. D.4【正確答案】A解析：，由于，結(jié)合，，故分別為的最大值點和最小值點，由于的最小值為，故,解得.故選；A5.下列說法錯誤的有（）A.若A與相互獨立，，PB=23B.把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件C.從裝有3個紅球，4個白球的袋中任意摸出3個球，事件“至少有2個紅球”，事件“都是白球”，則事件A與事件是互斥事件D.甲乙兩人投籃訓(xùn)練，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，甲乙兩人投籃互不影響，則甲乙各投籃一次同時投中的概率為【正確答案】B解析：對于A，若與相互獨立，則與與也相互獨立，，故A正確；對于B，“甲分得的不是紅牌”其中的一種情況是“甲分得黃牌，乙分得橙牌，丙分得紅牌”，而“乙分得的不是紅牌”也含有其中的一種情況是“甲分得黃牌，乙分得橙牌，丙分得紅牌”這種情況，這兩個事件不是互斥事件，故B錯誤；對于C，事件“至少有2紅球”包含“有2紅球1個白球”及“有3個紅球”這兩種情況，與事件“都是白球”不可能同時發(fā)生，所以事件與事件是互斥事件，C正確；對于D，由題意可知甲乙各投籃一次同時投中的概率為，故D正確.故選：B.6.已知，是橢圓上關(guān)于原點對稱兩點，是橢圓的右焦點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C解析：由對稱性和橢圓定義可知，其中，故，又因為，設(shè)點，則，所以，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為39，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：C.7.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（）A. B.2 C.4 D.【正確答案】D解析：函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，且,由函數(shù)，都是R上的增函數(shù)，則在R上為增函數(shù)，由，則，可得,于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.故選：D.8.法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.橢圓的離心率為B.面積的最大值為C.到的左焦點的距離的最小值為D.若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則【正確答案】D解析：A：依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線則這兩條垂線的交點在上，因為，所以橢圓的離心率，故A正確；B：因為點，，都在上，且，為的直徑，所以面積的最大值為，故B正確；C：設(shè)，的左焦點為，連接，所以，又，當(dāng)時，的最小值為，則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；D：由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，易得點A，關(guān)于原點對稱，設(shè)，，則，得，，又，兩式相減得，，所以，故D錯誤.故選：D二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.給出下列說法，其中正確的是（）A.數(shù)據(jù)，，，，，，，的極差與眾數(shù)之和為B.已知一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是C.已知某班共有人，小明在一次數(shù)學(xué)測驗中成績排名為班級第名，則小明成績是全班數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)D.一組不完全相同數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為【正確答案】AD解析：對于A，數(shù)據(jù)，，，，，，，的極差為，眾數(shù)為，所以數(shù)據(jù)，，，，，，，極差與眾數(shù)之和為，A正確；對于B，由題意可知，解得：，所以數(shù)據(jù)為：，，，，，，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，B錯誤；對于C，小明在一次數(shù)學(xué)測驗中成績排名為班級第名，若成績從低到高排序，小明的成績排在第位，又因為，又因為考試分數(shù)排名為由高分到低分，所以全班數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)應(yīng)為：第班級成績的第名與第名同學(xué)成績的平均數(shù)，所以小明的成績不是全班數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)，C錯誤；對于D，因為，，，的方差為3，根據(jù)方差性質(zhì)，，，，的方差為，D正確.故選：AD10.過定點的動直線和過定點的動直線，點為兩直線的交點，圓，則下列說法正確的有（）A.對任意，圓上恒有4個點到直線的距離為B.直線以與圓相交且最短弦長為C.動點的軌跡與圓相交D.為定值【正確答案】ABD解析：將方程寫為，所以定點的坐標(biāo)為，將方程寫為，所以定點的坐標(biāo)為，由圓的方程可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為.對于選項A：因為圓心到直線的距離為，而半徑，，所以圓上恒有4個點到直線的距離為，所以選項A正確；對于選項B：點與圓心的距離為，所以點在圓內(nèi)，所以直線以與圓相交，當(dāng)直線與線段垂直時，所交的弦最短，此時弦長為，所以選項B正確；對于選項C：因為直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，此圓的圓心為，半徑為，所以與圓的圓心距為，所以，兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)含，兩圓無交點，所以點的軌跡與圓不相交，所以選項C錯誤；對于選項D：由選項C的判斷過程中已知，所以，所以為直角三角形，所以，所以選項D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），有下列正確的命題（）A.三棱錐的體積為；B.若平面，則直線不可能垂直于直線；C.平面截正方體的截面為等腰梯形；D.三棱錐的外接球的表面積為.【正確答案】ACD解析：對于A，正方體棱長為1，，又為棱的中點，到平面的距離為1，故，A正確；對于B，連接交為，則，即，而，平面，平面，故平面，即當(dāng)平面時，直線可能垂直于直線，B錯誤；對于C，取的中點為，連接，，，則，，又，，所以，且，則四邊形為平面截正方體的截面，為梯形，又，即四邊形為等腰梯形，C正確；對于D，三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，的外接圓半徑為，，故，，則，故，所以，因為平面，故三棱錐的外接球球心在過的外接圓圓心和平行的直線上，則，，即，故三棱錐的外接球的表面積為，D正確.故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則向量在向量上的投影向量是______.【正確答案】解析：因為，，所以，，向量在向量上的投影向量為.故答案為.13.點為圓上一點，過作圓的切線，且直線與直線平行，則與之間的距離是________.【正確答案】##解析：由題意可得圓的圓心，半徑為，則，所以過的切線斜率為，所以直線的方程為，即，又直線與直線平行，所以，則與之間的距離是.故答案為.14.2022年卡塔爾世界杯會徽近似伯努利雙紐線，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱、和諧、簡潔、統(tǒng)一的美，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美.曲線是“雙紐線”，若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】解析：因為直線與曲線必有公共點，聯(lián)立，可得，由題意可知，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，（1）若，，求.（2）若，，求.【正確答案】（1）；（2）.【小問1解析】由得，，而，則，又，所以，，由余弦定理，故.【小問2解析】因，由正弦定理得，，，于是，移項得，聯(lián)立，,得，，又，于是，得，結(jié)合，得，，所以.16.已知兩點，，過點的直線與直線，的交點分別為、兩點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，（1）當(dāng)時，求直線的方程；（2）判斷直線是否過定點，若是，求出該點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.【正確答案】（1）（2）恒過定點.【小問1解析】解：如圖所示：顯然直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得點，同理可得點，由，解得，直線的方程為.【小問2解析】由（1）得，直線的方程為，聯(lián)立，得點，同理直線的方程為，聯(lián)立，得點，根據(jù)對稱性，令，得，此時直線過點，猜測直線CD過定點.，同理：，恒成立，、、始終三點共線，所以直線過定點.17.如圖，已知四棱錐，，，，點，分別是，的中點，面.（1）證明：直線面；（2）若二面角的正弦值為，求.【正確答案】（1）證明見解析；（2）【小問1解析】取的中點，連接、，則，面，面，面，同理面，面，故面面，而面，直線面.【小問2解析】因為面，面，所以，又，面，所以面，所以以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，設(shè)面的一個法向量為n1=由，得，令，則，設(shè)面的一個法向量為，由，而，即，于是，令，則，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，則，①又在直角三角形中，，即，②聯(lián)立①②可得，，，所以.18.已知圓經(jīng)過，兩點，圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是圓上一動點，求的范圍；（3）已知為的中點，若的面積為2，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）（3）或【小問1解析】設(shè)圓心，由，得解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2解析】設(shè)Px,y，因為表示圓上一動點Px,y到點的距離，于是，所以范圍是.【小問3解析】因為的面積為2，而，到直線的距離為，又直線的方程為，設(shè)與直線平行且距離為的直線方程為，令，得或，設(shè),,由（2）得點是圓上一動點，則,即,所以,解得點的軌跡方程為，直線與點的軌跡有交點，則，聯(lián)立方程，解得或，于是直線的方程為或.19.在區(qū)間上，若函數(shù)y=fx滿足:對給定的非零實數(shù)，存在，使成立，則稱函數(shù)y=fx在區(qū)間上有“性質(zhì)”.（1）若區(qū)間為，給定，判斷函數(shù)是否在區(qū)間上具有