湖北省名校教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新高考卷）

湖北省名校教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新高考卷）姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某演講比賽8位參賽選手的最終得分分別為92，88，95，93，90，97，94，96，其中位數(shù)為（）A．91.5 B．93 C．93.5 D．942．已知集合M={?1,0,1,A．{2，3} B．{1，2，3} C．{?1,0} 3．設(shè)z=12?i，則A．25+i5 B．25?4．圓心為（2，1），且與直線x?2y+5=0相切的圓在x軸上的弦長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．5 D．25．若底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓錐的表面積與直徑也為l的球的表面積相等，則rlA．3?1 B．3?12 C．56．在△ABC中，tanA=52，AB=3，AC=4，則點(diǎn)AA．453 B．52 C．27．定義域均為R的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)=g(x?1)，且f(x?1)=g(2?x)，則（）A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)是偶函數(shù)C．g(x)是奇函數(shù) D．g(x)是偶函數(shù)8．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分別為線段A．26 B．42 C．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．某次數(shù)學(xué)考試滿分150分，記X，Y分別表示甲、乙兩班學(xué)生在這次考試中的成績(jī)，且X~N(90,A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的極差大于乙班的極差C．成績(jī)?cè)赱100，110]的人數(shù)占比乙班更高D．成績(jī)?cè)赱90，100]的人數(shù)占比甲班更高10．設(shè)sin52°=tA．cos16°=1?2t2C．tan38°=1?t11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)A且平行于y軸的直線與C的一條漸近線交于點(diǎn)B，過(guò)B且平行于xA．|OD|2|OA|?|OF| C．|AD|2|BD|2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量a=(1,?1)，b=(213．已知拋物線C1：y2=2x，C2：y2=?4x的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條平行于x軸的直線與C1，C2分別交于點(diǎn)14．已知函數(shù)f(x)=2x3?3x2+3．設(shè)k為正數(shù)，對(duì)于任意x，若|f(x)|，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．已知橢圓C：x2a2+y（1）求C的方程；（2）設(shè)過(guò)C的左焦點(diǎn)且斜率為2的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求△PMN的面積．16．如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：DE⊥平面PAC；（2）若F為AB的中點(diǎn)，求二面角B?CE?F的大?。?7．某商場(chǎng)為回饋顧客舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，顧客一次消費(fèi)超過(guò)一定金額即可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱里放有n(n=5,（1）當(dāng)n=10時(shí)，記X為一次抽獎(jiǎng)抽到“中獎(jiǎng)”小球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望；（2）商場(chǎng)規(guī)定參加抽獎(jiǎng)的顧客一次抽獎(jiǎng)只要抽到一個(gè)“中獎(jiǎng)”小球即視為中獎(jiǎng)，若使中獎(jiǎng)概率不低于25%，求n的最大值．18．對(duì)于數(shù)列{an}，{bn}及常數(shù)p，若滿足an+1=b（1）若{an}對(duì){bn}關(guān)于0耦合，且（2）若{an}對(duì){bn}關(guān)于1耦合，且（3）若存在p1，p2，使得{an}對(duì){bn}關(guān)于p1耦合，且{19．“對(duì)稱性”是一個(gè)廣義的概念，包含“幾何對(duì)稱性”、“置換對(duì)稱性”等范疇，是數(shù)學(xué)之美的重要體現(xiàn)．假定以下各點(diǎn)均在第一象限，各函數(shù)的定義域均為(0,+∞)．設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)，P*(y1,x1)，Q(x2,y2)，規(guī)定‖P‖=x12+y12，且對(duì)于運(yùn)算“?”，P?Q表示坐標(biāo)為(x1x2（1）若點(diǎn)M(1,2)，‖N‖=5，且N~M，求（2）證明：若θ*(x)為θ(x)的鏡像函數(shù)，A(x（3）已知函數(shù)f(x)=ex+x2?1，f*(x)為證明：f(‖R

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位數(shù)是93+942故答案為：C.【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，再按照中位數(shù)的定義進(jìn)行求解可求出中位數(shù).2．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)镹={x|x>1}，所以?R因?yàn)镸={?1,所以M∩(?故答案為：D.【分析】本題考查集合的補(bǔ)集，集合的交集運(yùn)算.先根據(jù)集合補(bǔ)集的定義求出?R3．【答案】B【解析】【解答】解：z=12?i=故答案為：B.【分析】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義.先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求出復(fù)數(shù)z，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念可求出z.4．【答案】B【解析】【解答】解：圓心(2,1)到直線x?2y+5=0的距離為|2?2+5|1所以圓的方程為(x?2)2令y=0，則x=0或4，故圓在x軸上的弦長(zhǎng)為4，故答案為：B.【分析】圓心到直線的距離為圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓的半徑，據(jù)此可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，令y=0，求出x，進(jìn)而可求出圓在x軸上的弦長(zhǎng).5．【答案】D【解析】【解答】解：圓錐的表面積為πrl+πr2，球的表面積為故πrl+πr2=πl(wèi)2故答案為：D.【分析】先利用圓錐表面積公式和球的表面公式可列出方程πrl+πr2=π6．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，由tanA=52，所以sin2由余弦定理有BC2=A設(shè)點(diǎn)A到邊BC的距離為d，由三角形面積公式得：12sinA?AB?AC=故答案為：A.【分析】已知tanA=52，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出sinA,cosA，再利用余弦定理可求出BC，設(shè)點(diǎn)A到邊7．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x?1)=g(2?x)，所以f(?x+1?1)=g(2?(?x+1))，即f(?x)=g(1+x)=g(x+2?1)=f(x+2)，所以f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，因?yàn)閒(x)=g(x?1)，所以g(x)關(guān)于x=0對(duì)稱，即g(x)為偶函數(shù).故答案為：D【分析】根據(jù)題意兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式可推出f(?x)=f(x+2)，據(jù)此可得f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，進(jìn)而推出g(x)關(guān)于x=0對(duì)稱，可判斷g(x)的奇偶性.8．【答案】A【解析】【解答】解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，在平面CDD1C設(shè)RE=x(0≤x≤2)，顯然RE⊥DE四邊形CERF為矩形，于是RF=CE=2?x,由RE//CC1，得RE⊥平面ABCD，由RF//則PR=RE2+EP2=x2+EP而EP=DEsinπ4同理QR=RF2+FQ2，當(dāng)RF=2?x確定后，F(xiàn)Q最小，而FQ=CF?sinπ4因此PR+3QR=62x+3求導(dǎo)得f'(x)=當(dāng)0≤x<1時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)1<x≤2時(shí)，f'(則f(x)min=f故答案為：A【分析】過(guò)R作RE⊥CD于E，作RF⊥CC1于F，利用直線與平面垂直的判定可證明RF⊥平面BCC1B1，設(shè)RE=x，利用勾股定理可得：PR=x2+EP2，當(dāng)x確定后，EP最小時(shí)，PR最小，進(jìn)而推出PR=62x；利用勾股定理可得：QR=RF2+FQ9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A，甲班的平均分為90分，乙班的平均分為100分，甲班平均分低于乙班，A正確；B，甲班的方差大于乙班，但不能認(rèn)為甲班的極差一定大于乙班，B錯(cuò)誤；C和D，甲班的平均分為90分，乙班的平均分為100分，且乙班方差小，成績(jī)分布更集中，故甲班成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]的人數(shù)占比低于乙班，且低于乙班成績(jī)?cè)趨^(qū)間故答案為：AC.【分析】先根據(jù)題意中的正態(tài)分布求出甲班和乙班的平均分，據(jù)此可判斷A選項(xiàng)；再求出方差，根據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)越集中，據(jù)此可判斷C和D選項(xiàng)；根據(jù)極差的定義，據(jù)此可判斷B選項(xiàng).10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A，cos76°=cosB，sin104°=2sin52°cos52°=2t1?C，tan38°=sinD，sin64°=cos26°，1?1?若cos26°=sin226°故答案為：BC.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得：cos76°=?cos104°=-?cos(2×52°)，利用二倍角的余弦公式進(jìn)行展開計(jì)算，可判斷A選項(xiàng)；sin104°=sin(2×52°)，利用二倍角的正弦公式進(jìn)行展開計(jì)算，可判斷B選項(xiàng)；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得：tan38°=cos52°sin52°，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得：sin64°=cos26°，又11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A.設(shè)C的半焦距為c，離心率為e，則有A(?a,0)，漸近線方程為y=±bax，令x=?a不妨設(shè)B(?a,b)，當(dāng)AD⊥DF時(shí)，故∠DAO+∠ADO=∠ODF+∠ADO=90°，即∠DAO=∠ODF，故△ADO∽△DFO，所以|OD||FO|可知|OD|2=|OA|?|OF|，B和C，因?yàn)椤鰽DO∽△AFD，所以|AD||AF|故|AD|2因?yàn)椤鱂OD∽△FDA，所以|FD||AF|=|FO|則|DF|2|AD|2D，|AD|2=a2+b2故c2+b2+即e2?e?1=0，解得故答案為：BCD【分析】利用三角形相似可推出|OD||FO|=|AO||OD|，據(jù)此可求出|OD|2|OA|?|OF|=1，判斷A選項(xiàng).由△ADO∽△AFD和△FOD∽△FDA利用相似三角形的性質(zhì)可推出|AD|2=|OA|?|AF|，|FD|12．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)閍=(1,?1)，b所以a?(故答案為：1.【分析】先求出a→13．【答案】3【解析】【解答】解：設(shè)A(x1,y1)，B(x又由拋物線的定義可知|AF1|=當(dāng)|AF1|=|BF2|時(shí)，x1所以|F1F故四邊形ABF2F故答案為：32【分析】根據(jù)題意可得推出：yA=yB，利用拋物線的焦半徑公式，可求出xA14．【答案】(【解析】【解答】解：由題意可知，函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)為f'令f'(x)>0令f'(x所以函數(shù)f(x)在(?∞,0)所以f(x)的極大值為f(0)=3函數(shù)|f(x)|的圖象如圖②所示，令|f(x所以當(dāng)x<?1或?12<x<2或x>2當(dāng)?1<x<?12時(shí)，所以?1≤x≤?12或x=2時(shí)，因?yàn)閗為正數(shù)，且|f(x)|向左平移如圖③所示，當(dāng)k=12時(shí)，|f(x+k即|f(x所以|f(x)|向左平移k≥1所以k的取值范圍為：k≥1故答案為：[1【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，令f'(x)>0，和f'(x)15．【答案】（1）解：設(shè)C的半焦距為c，則ca故b2將P(1,?233)代入C的方程有1a所以C的方程為x2（2）解：由（1）可知C的左焦點(diǎn)為(?1,故過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為2的直線為l：y=2將l與C的方程聯(lián)立x23+設(shè)M(x1,y1)，故|MN|=3且P到l的距離d=|所以△PMN的面積為|MN|?d2【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式可得ca=33，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，再根據(jù)橢圓的關(guān)系式，可列出方程組，解方程組可求出（2）依題意求出過(guò)C的左焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程，將直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式可求出弦長(zhǎng)|MN|，設(shè)P到l的距離為d，利用三角形的面積公式可得S△PMN16．【答案】（1）解：方法1：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)G，因?yàn)锳BCD是正方形，故BD⊥AC，又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，故PD⊥AC，由于BD∩PD=D，所以AC⊥平面PDB，因?yàn)镈E?平面PDB，故DE⊥AC．取線段PA的中點(diǎn)H，連接DH，EH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，則EH∥AB．又因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥PD，且PD∩AD=D，故AB⊥平面PAD，且EH⊥平面PAD，所以EH⊥PA．因?yàn)镈H⊥PA，且DH∩EH=H，故PA⊥平面DEH，PA⊥DE．由于PA∩AC=A，所以DE⊥平面PAC．方法2：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)|AB|=2，則A(2,0,0)，C(0,所以PA=(2,0,?2)設(shè)平面PAC的法向量為k=(x0不妨取x0=1，則所以DE⊥平面PAC．（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)|AB|=2，則B(2,2,0)，C(0,所以BC=(?2,0,0)設(shè)平面BCE與平面CEF的法向量分別為m=(x1,y1,不妨取y1=1，x2=1，則所以cos?因?yàn)?m,n【解析】【分析】（1）方法1：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)G，取線段PA的中點(diǎn)H，連接DH，EH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，利用平面與平面垂直的性質(zhì)可推出AC⊥平面PDB，進(jìn)而推出DE⊥AC，根據(jù)題意，利用直線與平面垂直的判定可證明EH⊥平面PAD，進(jìn)而推出EH⊥PA，利用直線與平面垂直的判定定理可證明結(jié)論.

方法2：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，求出平面PAC的法向量k→，據(jù)此可得k（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，求出平面BCE與平面CEF的法向量，利用空間向量的夾角計(jì)算公式可求出二面角B?CE?F的大小.17．【答案】（1）解：當(dāng)n=10時(shí)，抽獎(jiǎng)箱里標(biāo)有“中獎(jiǎng)”字樣小球2個(gè)，未標(biāo)有“中獎(jiǎng)”字樣小球8個(gè)，一次抽獎(jiǎng)，

可能取出0個(gè)標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，或者1個(gè)標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，1個(gè)未標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，

或者2個(gè)標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，

所以X的可能取值為0,1,2，

P(X=0)=C82C10X012P28161E(x)=0×（2）解：抽獎(jiǎng)箱里標(biāo)有“中獎(jiǎng)”字樣小球2個(gè)，未標(biāo)有“中獎(jiǎng)”字樣小球n?2個(gè)，

參加抽獎(jiǎng)的顧客一次抽獎(jiǎng)只要抽到一個(gè)“中獎(jiǎng)”小球即視為中獎(jiǎng)，

包含抽到1個(gè)標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，1個(gè)未標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，或2個(gè)標(biāo)有“中獎(jiǎng)”小球，兩種情況，

所以參加抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)概率為P=C21Cn?21+C22Cn?20Cn2=4n?6n【解析】【分析】本題考查超幾何分布.

（1）根據(jù)題意，X的可能取值為0,（2）先求出中獎(jiǎng)概率P=4n?6n2?n，根據(jù)中獎(jiǎng)概率不低于25%18．【答案】（1）解：若{an}對(duì){bn所以an+2=b因?yàn)閍1=1，故an=1所以a=(1（2）解：若{an}對(duì){bn所以an+2=bn+1+1=2又因?yàn)閍1=b故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1=(a所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1=(a所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn綜上an=2（3）解：由題設(shè)可知，an+1=bn+p1（?。┤魀1=0，則an+1=bn，bn+1（ⅱ）若p1≠0，由上得an+1假設(shè)p2=p12，則bn=0①