江西省南昌市2024屆高三第一次模擬測試數(shù)學試題（解析版）

2024年HGT第一次模擬測試數(shù)學本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘一?單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A.3 B. C.4 D.10【答案】B【解析】【分析】先由復數(shù)的乘法和除法運算化簡復數(shù)，再由復數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】由可得：，所以，所以.故選：B.3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.51 B.34 C.17 D.1【答案】C【解析】【分析】由題意列方程組可求出，，再由等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，所以由可得：，解得：，所以.故選：C.4.已知，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域和基本不等式求最值，利用集合包含關(guān)系可得.詳解】由，得，設(shè)，由的否定為，令，當且僅當時，又，即等號成立，若，則，若，則，設(shè)，因為，所以且，所以是的充分不必要條件故選：A5.已知拋物線的焦點為是拋物線在第一象限部分上一點，若，則拋物線在點A處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義求得，，再根據(jù)導函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點斜式寫出方程即可【詳解】設(shè)，由，得，所以拋物線的準線方程，由拋物線的定義可得，得代入，得，又A是拋物線在第一象限部分上一點，所以由，得，所以，所以拋物線在點A處的切線方程斜率為，所以拋物線在點A處的切線方程為，即，故選：A6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得出答案.【詳解】因為，所以.故選：D.7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.是奇函數(shù) B.C.在上遞增 D.在上遞增【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判A；根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性并求出最值判斷B、C、D【詳解】因為，所以定義域關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)；故A對；令，所以在單調(diào)遞增，所以，即，又在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，故D對；因為是奇函數(shù)，所以在上遞增，故C對，綜上，，則，故B錯；故選：B8.木桶效應(yīng)，也可稱為短板效應(yīng)，是說一只水桶能裝多少水取決于它最短的那塊木板.如果一只桶的木板中有一塊不齊或者某塊木板有破洞，這只桶就無法盛滿水，此時我們可以傾斜木桶，設(shè)法讓桶裝水更多.如圖，棱長為2的正方體容器，在頂點和棱的中點處各有一個小洞（小洞面積忽略不計），為了保持平衡，以為軸轉(zhuǎn)動正方體，則用此容器裝水，最多能裝水的體積（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，得到為菱形，從而得到多能裝入的體積為長方體的體積加上長方體的體積的一半，結(jié)合正方體的體積求出答案.【詳解】棱長為2的正方體的體積為，在上分別取，使得，又為棱的中點，故由勾股定理得，故四邊形為菱形，故四點共面，取的中點，連接，則平面將長方體的體積平分，故以為軸轉(zhuǎn)動正方體，則用此容器裝水，則最多能裝入的體積為長方體的體積加上長方體的體積的一半，故最多能裝水的體積.故選：C二?多項選擇題：共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知空間中兩條不同直線和兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定判斷選項A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及線面平行的定義判斷選項B；根據(jù)線面垂直的定義判斷選項C；根據(jù)面面垂直性質(zhì)判斷選項D【詳解】若，則或，故A錯；若，則m與平面無公共點，故，故B對；若，則m垂直于內(nèi)的任一條直線，所以，故C對；若，則n與可能平行或相交或在內(nèi)，故D錯；故選：BC10.已知圓與直線交于兩點，設(shè)的面積為，則下列說法正確的是（）A.有最大值2B.無最小值C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)出點線距離，求出面積取值范圍判斷AB，利用圓的對稱性判斷C，將D轉(zhuǎn)化為逆否命題再判斷即可.【詳解】由題意得必過，如圖，取中點為，故，設(shè)為，故，易知，即，故，令，而，由二次函數(shù)性質(zhì)得當時，取得最大值，此時，故A正確，由二次函數(shù)性質(zhì)得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，易知當時，，當時，，故，則B正確對于C，作關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于軸的對稱點，連接，，由圓的對稱性知，故不論取何值，必有，故C錯誤，易知D的逆否命題為若，則，故欲判斷D的真假性，判斷其逆否命題真假性即可，顯然當時，則，故D正確，故選：ABD11.某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲?乙兩個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：）不超過100，則認為該地區(qū)環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)環(huán)境治理不達標.已知甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)特征是：甲地區(qū)平均數(shù)為80，方差為40，乙地區(qū)平均數(shù)為70，方差為90.則下列推斷一定正確的是（）A.甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75B.甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的方差是65C.甲地區(qū)環(huán)境治理達標D.乙地區(qū)環(huán)境治理達標【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件分別求出平均數(shù)和方差判斷選項A、B；根據(jù)條件判斷甲乙地區(qū)的每天空氣質(zhì)量指數(shù)判斷選項C、D【詳解】甲地區(qū)平均數(shù)為80，乙地區(qū)平均數(shù)為70，則甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故A對；設(shè)甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)分別為和，所以，得，，得，由，由，甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的方差是，甲地區(qū)平均數(shù)為80，方差為40，如果這10天中有一天空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，那么它的方差就一定大于，所以能確定甲地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)不超過100，所以甲地區(qū)環(huán)境治理達標，故C對；乙地區(qū)平均數(shù)為70，方差為90，如果這10天中有一天空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，那么它的方差就一定大于，所以能確定乙地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)不超過100，所以乙地區(qū)環(huán)境治理達標，故選：ACD12.已知直線是曲線上任一點處的切線，直線是曲線上點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當時，B.存在，使得C.若與交于點時，且三角形為等邊三角形，則D.若與曲線相切，切點為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)求出兩直線斜率可判斷選項A、B；根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系及和差角公式求出，判斷選項C；利用導數(shù)的幾何意義求出斜率判斷選項D【詳解】由題意得，由，得，如圖，可知與交點是可得，，由，得，所以直線的斜率為，由，得，所以直線的斜率為，即直線的斜率等于直線的斜率，所以，故A對；因為，所以不存在，使得，故B錯；如圖，設(shè)的傾斜角分別為，因為三角形為等邊三角形，所以，又，所以，整理得，所以，因為在曲線上，所以，所以，故C對；若與曲線相切，切點為，則，即，又在上，所以，所以，即，故D對；故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出直線斜率，結(jié)合兩直線平行和垂直的斜率關(guān)系進行判斷各項.三?填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量滿足，且，則向量夾角的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】由向量的夾角和模長公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以向量夾角的余弦值為：.故答案為：.14.的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】160【解析】【分析】根據(jù)二項式展開，然后在與相乘，找到這一項即可.【詳解】由于題目要求的系數(shù)，所以對于的展開項中，沒有這一項.所以只需要求出的項在與相乘即可.，故系數(shù)為160.故答案為:160.15.“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一.已知摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間為30分鐘，甲乙兩人相差10分鐘坐上摩天輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對值的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由已知設(shè)甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為，，得到甲乙兩人坐上摩天輪轉(zhuǎn)過的角度，分別列出甲乙離地面的高度，，然后得到，由的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為，，則甲乙兩人坐上摩天輪轉(zhuǎn)過的角度分別為，，則甲距離地面的高度為，乙距離地面的高度為，則因為，所以，所以，即.故答案為：.16.用平面截圓錐面，可以截出橢圓?雙曲線?拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數(shù)學家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側(cè)面相交所得曲線為，則曲線的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，由題意求出，根據(jù)旦德林雙球模型和雙曲線定義可得，求出a、c即可【詳解】如圖，是圓錐與球的切點，是球心，P是截口上任一點，連接，則，所以，，所以是矩形，連接，則，因為圓錐的母線與軸夾角的正切值為，即，所以，根據(jù)對稱性得,所以，故兩圓的公切線長為6連接，PA，OP，設(shè)OP與球的切線交于K，與球的切線交于H，則，所以，得，在中，，所以，得曲線的離心率為故答案為：四?解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）易判斷時單增，在時單減，進而求出.【小問1詳解】，令，得，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.18.對于各項均不為零的數(shù)列，我們定義：數(shù)列為數(shù)列的“比分數(shù)列”.已知數(shù)列滿足，且的“比分數(shù)列”與的“2-比分數(shù)列”是同一個數(shù)列.（1）若是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和；（2）若是公差為2等差數(shù)列，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知求出通項公式，再求前項和即可.（2）利用累乘法求通項公式即可【小問1詳解】由題意知，因為，且是公比為2的等比數(shù)列，所以，因為，所以數(shù)列首項為1，公比為4的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】因為，且是公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，因為，所以.19.如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊，，交于點.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出、，又，利用兩角和的余弦公式求出，最后由余弦定理計算可得；（2）解法1：首先求出，再由，利用面積公式計算可得；解法2：首先得到，再由計算可得.【小問1詳解】由已知，，，因為，所以，所以在中由余弦定理可得.【小問2詳解】解法1：因為，又因為，所以，即，解得.解法2：因為，所以，又，，所以，又因為，所以，則，所以.20.甲公司現(xiàn)有資金200萬元，考慮一項投資計劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟形勢，若投資期間經(jīng)濟形勢好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟形勢不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計劃，損失為1萬元.現(xiàn)有兩個方案，方案一：執(zhí)行投資計劃；方案二：聘請投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟形勢，聘請費用為5000元，若投資咨詢公司乙預測投資期間經(jīng)濟形勢好，則執(zhí)行投資計劃；若投資咨詢公司乙預測投資期間經(jīng)濟形勢不好，則不執(zhí)行該計劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預測不一定正確，投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預測經(jīng)濟形勢好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預測經(jīng)濟形勢不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟形勢好的概率是，經(jīng)濟形勢不好的概率是.（1）求投資咨詢公司乙預測投資期間經(jīng)濟形勢好的概率；（2）根據(jù)獲得利潤的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個方案？說明理由.【答案】（1）0.5；（2）甲公司應(yīng)該選擇方案二，理由見解析【解析】【分析】（1）由全概率公式即可得解；（2）方案一服從兩點分布，由此求出對應(yīng)的概率可得期望；方案二有三種情況，分別算出相應(yīng)的概率，結(jié)合期望公式算出期望，比較兩個期望的大小即可得解.【小問1詳解】記投資期間經(jīng)濟形勢好為事件，投資期間經(jīng)濟形勢不好為事件，投資咨詢公司預測投資期間經(jīng)濟形勢好為事件，則，因此；【小問2詳解】若采取方案一，則該公司獲得的利潤值萬元的分布列是500.40.6萬元；若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤值為萬元，有以下情況，投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預測經(jīng)濟形勢為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預測經(jīng)濟形勢為不好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預測經(jīng)濟形勢為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預測經(jīng)濟形勢為不好，，其發(fā)生的概率為：，因此，隨機變量的分布列為：49.50.180.50.32因此，萬元，因為，所以甲公司應(yīng)該選擇方案二.21.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，已知為棱的中點，在底面的投影為線段的中點，是棱上一點.（1）若，求證：平面；（2）若，確定點的位置，并求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）為中點，.【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，由平行線分線段成比例定理得，再由線面平行的判定可證；（2）利用線面垂直可得，進而得平面，由線面垂直得，然后根據(jù)等邊三角形三線重合即得為中點，以為原點，分別以為軸，以過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用公式求解即可【小問1詳解】設(shè)，因為底面是邊長為2的菱形，所以，對角線BD平分，又為棱的中點，所以,在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.【小問2詳解】平面，且平面，，因為，所以，在中，，，所以是等邊三角形，又為棱的中點，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因為P在底面的投影H為線段EC