先考慮一個理想的情況無限深方勢阱中的粒子教材課程

先考慮一個理想的情況——無限深方勢阱中的粒子.在阱內(nèi)

能量本征方程為勢阱表示為為粒子質(zhì)量,

2.2方勢阱2.2.1無限深方勢阱,離散譜注意與是待定常數(shù).而按照邊條件,得即給出的波函數(shù),無物理意義,而取負(fù)值與取正值所給出的波函數(shù)描述的是同一個量子態(tài).n0=n則方程(2)的解可表示為按邊條件則要求

聯(lián)合式(5)和(3)結(jié)論

一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的，即構(gòu)成的能譜是離散的．

稱為體系的能量本征值.與En

對應(yīng)的波函數(shù)記為稱為能量本征函數(shù)，利用歸一化條件則歸一化的波函數(shù)表示為

,取為實(shí)數(shù).則方程的解具有如下指數(shù)函數(shù)形式

但考慮到束縛條件（要求處），波函數(shù)應(yīng)取如下形式這正是2.21無限方勢阱的邊條件的根據(jù)常數(shù)和待定.當(dāng)（無限深勢阱）即,則當(dāng)上式.在阱內(nèi)(,經(jīng)典允許區(qū)),能量本征方程為(a)偶宇稱態(tài)引入無量綱參數(shù)令

則方程的解可表為如下振蕩函數(shù)形式:根據(jù)和(14)式,有得到(b)奇宇稱態(tài)對于超越方程組(15),可用數(shù)值計算求解或用圖解法近似求解.利用的連續(xù)條件可求出與偶宇稱態(tài)類似,引進(jìn)無量綱參數(shù),則上式化為時,才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級.即奇宇稱態(tài)與偶宇稱態(tài)不同,只當(dāng)從而能確定能量本征值.2.2.3束縛態(tài)與離散態(tài)束縛能量本征態(tài)

的能量是離散的,按照能量本征方程在經(jīng)典允許區(qū)

波函數(shù)是的振蕩函數(shù)

而且在愈大的地方,振蕩愈快.此外,由于與的正負(fù)號相反,

總是向軸彎曲.

區(qū)域,曲線向下彎;區(qū)域,曲線向上彎.結(jié)論與此不同,在經(jīng)典的禁區(qū)波函數(shù)是的指數(shù)上升或下降的函數(shù)無振蕩現(xiàn)象.由于與的正負(fù)號相同,總是背離軸彎曲，即在

區(qū)域,

曲線向上彎曲;在

區(qū)域

曲線向下彎曲.根據(jù)上述特點(diǎn),可以定性討論粒子能量的可能取值(即本征值)以及波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).()xyy2.2.4方勢壘的反射與透射設(shè)具有一定能量的粒子沿軸正方向射向方勢壘從量子力學(xué)觀點(diǎn)來看，考慮到粒子的波動性,此問題與波碰到一層厚度為的介質(zhì)相似,即有一部分波透過,一部分波被反彈回去.先考慮情況.在勢壘外(,經(jīng)典允許區(qū)),能量的本征方程表示為由于勢壘的存在,在區(qū)域中,既有入射波

,

也有反射波

,而在區(qū)域中只有透射波所以所以式中和分別表示反射波與透射波,相應(yīng)的反射流密度和透射流密度分別為所以反射系數(shù)=

投射系數(shù)=其可取為通解在勢壘內(nèi)部(,經(jīng)典禁區(qū)),其能量本征方程為按式在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致上兩式相加減,分別得消去R

解出類似,在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致因此,為透射系數(shù)類似,消去S,可得出R,而反射系數(shù)為透射系數(shù)表示粒子被勢壘反彈回去的概率,表示粒子透過勢壘的概率.可以看出粒子能穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象,成為隧穿效應(yīng).對于情況,從式可以看出,只需在式中,把利用式,可改寫成此時對于方勢阱的透射,上述理論仍然適用,透射系數(shù)T仍由式給出,但應(yīng)把,即2.2.5方勢阱的反射,透射與共振由式可以看出，如果，則一般來說T值很小，除非入射粒子能量E合適，使此時，T=1（反射系數(shù)），這現(xiàn)象稱為共振透射.它出現(xiàn)的條件是或改寫成由式可求出共振時的能量共振能級如粒子能量很小，按2.2.2節(jié)的討論，是