結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算

結(jié)構(gòu)動力計(jì)算Dynamicof

Structrues第10章

結(jié)構(gòu)動力計(jì)算教學(xué)目標(biāo)：

了解動力計(jì)算自由度的判斷，有阻尼振動和無阻尼振動的區(qū)別與聯(lián)系。

掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理及方法。

熟練掌握兩個(gè)自由度體系自由振動時(shí)的動力特性（自振頻率、主振型）的計(jì)算。

理解自由度體系在發(fā)生強(qiáng)迫振動時(shí)微分方程的建立方法以及和自由振動時(shí)的區(qū)別與聯(lián)系。10-1結(jié)構(gòu)動力計(jì)算的基本概念10-6雙自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動教學(xué)內(nèi)容：第10章

結(jié)構(gòu)動力計(jì)算10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度無阻尼體系的強(qiáng)迫振動10-4阻尼對單自由度體系振動的影響10-5雙自由度體系的自由振動1. 動力計(jì)算(1)

動荷載的特點(diǎn)是荷載隨時(shí)間而變化動荷載區(qū)別于靜荷載的關(guān)鍵性特征是，由于荷載變化所引起的動力響應(yīng)不可忽略，即慣性力(Inertia

Force)影響不可忽略。10-1

概述(2)

動力計(jì)算的目的

與結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算相似，動力計(jì)算的任務(wù)主要是研究結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的各種反應(yīng)，如變形、內(nèi)力等，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

由于在動力荷載作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的特征性質(zhì)，動力計(jì)算將涉及結(jié)構(gòu)的一系列動力特征如頻率、周期、振型等的研究與計(jì)算。1. 動力計(jì)算(3)

動力計(jì)算主要方法

動力計(jì)算的基本方法是以達(dá)伯原理(D’Alembert’sPrinciple)為理論依據(jù)的“動靜法”，即在結(jié)構(gòu)上施加“慣性力”，并將動力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題來求解。

因此，動力計(jì)算的基本方法是以靜力分析方法為基礎(chǔ)的。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)是學(xué)好動力學(xué)的重要前提。1. 動力計(jì)算2.

學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的重要意義

結(jié)構(gòu)動力設(shè)計(jì)計(jì)算的基礎(chǔ)知識動力荷載作用下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，城市建設(shè)環(huán)境評價(jià)（如軌道交通環(huán)境評價(jià)）等等。

工程防災(zāi)(抗風(fēng)抗震)的重要先修內(nèi)容地震破壞塔科馬大橋風(fēng)振破壞簡諧荷載—機(jī)械振動t3. 動荷載類型

周期荷載FP

t

非簡諧FP

t

t3. 動荷載類型周期荷載FP

t

FPFP

t

FPttr t

td在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。如爆炸荷載等

沖擊荷載3. 動荷載類型

隨機(jī)荷載

：地震、風(fēng)806040200-20-40-60唐山地震北京飯店測點(diǎn)（南北向部分）19767.28

03:42單位:cm/s2時(shí)間間隔0.01

s3. 動荷載類型4.

動力自由度確定運(yùn)動過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需要確定的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目。⑴ 集中質(zhì)量法x1y2n=2n=2為減少動力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。n=1n=1n=3mn=2n=∞4.

動力自由度不計(jì)軸向變形n=1n=2n=1n=24.

動力自由度y1

自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無限多的體系為無限自由度體系。4.

動力自由度平面上的一個(gè)剛體y2y(x,t)x(2)

廣義坐標(biāo)法m

(

x)無限自由度體系變形曲線可用三角級數(shù)表示：ny(

x,

t)

ak

(t)

sink

1k

xl形狀函數(shù)廣義坐標(biāo)xxny(

x,

t)

ak

k

(

x)k

1yy(x,t)（3）有限元法FiniteElement

Method

1

(x)

2

(x)

1

14y(x)

[

yi

1i

(x)

i

2i

(x)]i

11y1

12348自由度10-2 單自由度體系的自由振動Free-vibrationofsingledegreeoffreedom

system教學(xué)目標(biāo)：

掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理。

正確理解單自由度體系自由振動的動力特性。

熟練掌握這些動力特性的計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容：

自由振動微分方程

自由振動微分方程的解

結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率理論力學(xué)知識的回顧k y ykym脫離體受力分析：彈性力—ky,與位移y

的方向相反m

y

m

y

ky

0m

y

慣性力—-m

y

與加速度的方向相反1. 自由振動微分方程kyykymmyky懸臂柱－質(zhì)量體系的自由振動

m

y

kym

y

m

y

ky

0剛度系數(shù)

k由結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解1. 自由振動微分方程myky

m

y

建立振動微分方程的2

種思路懸臂柱－質(zhì)量體系的自由振動mym

y

剛度法 k對質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，利用平衡條件m

y

ky

0

柔度法 δ對體系進(jìn)行受力分析，質(zhì)點(diǎn)位移y

(

m

y

)對單自由度體系1k

1m

y

y

01. 自由振動微分方程自由振動微分方程確定了體系自由振動時(shí)的運(yùn)動規(guī)律m

y

ky

0自由振動微分方程：令mk

2

k

y

y

0m

y

2

y

0這是一個(gè)齊次方程，其通解為y(t)

C1

cos

t

C2

sin

t2. 自由振動微分方程的解

2C

v0C1

y0

0y(t)

y cos

t

v0sin

t

y

2

y

0y(t)

C1

cos

t

C2

sin

tC1和C2

可由初始條件確定，設(shè)初始位移和初始速度分別為y(0)

y0 y

(0)

v02. 自由振動微分方程的解yty

T T

v

v

0-y

y T t0y0

A-Ay cos

t

vsin

t

Asin

t

0

vtA

y2

(0

)2v0y

,

tan

1

0

0y(t)

y cos

t

v0sin

t2. 自由振動微分方程的解T

自振周期

T

2

y(t)

Asin(

t

)yt0AA

aT

stm

2

m

2

W

2

k g gT

2

ω

圓頻率或角頻率，或簡稱頻率gm

st

W

m

k

1 g3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率思考外界干擾（初始速度、初始位移）對周期、頻率等有影響嗎？例10-1如圖所示為一個(gè)單層建筑理想化剛性橫梁支撐在立柱上，假定立柱忽略立柱質(zhì)量和結(jié)構(gòu)阻尼，為計(jì)算結(jié)構(gòu)動力特性，對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由振動試驗(yàn)。試驗(yàn)中千斤頂作用在橫梁頂部，使橫梁產(chǎn)生側(cè)向位移，此時(shí)橫梁位移為0.5cm，千斤頂施加的力為90kN，然后突然釋放使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動，通過記錄橫梁位移，測得位移循環(huán)周期為1.4s，第一個(gè)往復(fù)擺動的最大位移為0.4cm。試確定橫梁有效重量和結(jié)構(gòu)無阻尼振動頻率，結(jié)構(gòu)阻尼比和阻尼系數(shù)。3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率解：（1）橫梁有效重量3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率解：（2）無阻尼振動頻率（3）阻尼特性對數(shù)衰減率阻尼比阻尼系數(shù)3EIl

3

Wl11ml

33EI

m

解：Wl1

EAl

mlEA

m

13. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例10-2 求圖示懸臂桿的自振頻率。（桿件截面積

A，慣性矩I，彈性模量

E，自身質(zhì)量不計(jì)，桿頂重物重量為W）mABhC

l 例3: 求圖示結(jié)構(gòu)自振頻率

。（EI

為常數(shù)，桿件自身質(zhì)量不計(jì)）[分析] 圖乘法求位移1hh23EIh(h

l)

1 (

1

h2

2

h

1

hl

2

h)

EI 2 3 2 31 3EImh2

(h

l)

m

[討論]當(dāng)AB剛度改變?yōu)闊o窮大，或BC改變?yōu)闊o窮大，或均不改變，試比較3

者頻率大小。3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率IIEI1=

h

1kh26EIh26EIh26EIh26EIh312EIh312EIh324EIk

3mhmk

24EI

mh24EI3T

2

3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例4：計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。ml l

l EI

常數(shù)12Ml2l34

1l

l 2

l

EI

22

2

3

3EI1 3EIml3m

水平振動

柔度法 δ3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率例5：計(jì)算結(jié)構(gòu)水平振動和豎直振動時(shí)的自振頻率，忽略自重。m1132l33EEII3E2lIl22

0.53EI2l33EI2l3l3k

3EIk3EImml3

3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

剛度法 k124

0.25

0.751l63l5l16

2

1

l

3l

3l

2

1

l

3l

3l

2

1

5l

16

163

216

16 3 3 16

EI

2

15l

5l

21 3l

7l3

l

2

16

16

3

3

16

96EI7ml3l 7mlm

1 96EI

4

6EI3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率豎向振動

柔度法 δ16EIl

26EI

l 37

218EI7l2302EI7l4

348EI

7l748EI7l348EI7l3k7l3k

96EIkm7ml396EI

4

6EIl7ml

剛度法 k3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率豎向振動3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率SDOF的自振頻率采用柔度法和剛度法進(jìn)行計(jì)算。一般來說，當(dāng)結(jié)構(gòu)為靜定，或超靜定次數(shù)較低，便于計(jì)算柔度系數(shù)時(shí)，采用柔度法；當(dāng)超靜定次數(shù)較高，便于計(jì)算剛度系數(shù)時(shí)，則剛度法較為方便。如結(jié)構(gòu)具有對稱性，可利用對稱性進(jìn)行簡化計(jì)算。3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

拓展——重力的影響yWkm

y

ky

W如果在總位移y中，引入由重量W引起的靜位移yst以及由動荷載引起的位移y

之和來表示：y

y

ystm

y

kyst

ky

Wkyst

Wm

y

ky

0以靜力平衡位置作為基準(zhǔn)點(diǎn)l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2ml

3

1

48EI7l

3

2

768EIl

3

3

192EI11ml

348EI

m

1

217ml

3768EI

m

2

31ml

3192EI

m

3

結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng)，其剛度越大，自振動頻率也越大。據(jù)此可得：

1:

2:

3

1:1.512

:

23. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

拓展——定性分析例：圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

拓展——復(fù)雜問題例：求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。lEIk1k11

mk11k3l3EI11l

3k

k

3EImk

l

3

11m3EI

k

y

(t)

A

2

sin(

t

)I

(t)

m

y

(t)

mA

2

sin(

t

)在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動，即它們在同一時(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。sin(

t

)

1時(shí)，其值分別為：幅值產(chǎn)生于y

A

y

A

2I

mA

2由于在運(yùn)動的任一瞬時(shí)質(zhì)體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，于是可在幅值處建立運(yùn)動方程，此時(shí)方程中將不含時(shí)間t，結(jié)果把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程了，使計(jì)算得以簡化。加速度：慣性力：3. 結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率

拓展——振動特性y(t)

Asin(

t

)ADl

/2l

/2lm1

mm13 B EI=

C 2m

kBCk

m1m2

A

.1..A2k

l

1I

2I例：計(jì)算圖示體系的自振頻率。 解：單自由度體系，以

表示位移參數(shù)的幅值,

各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：1 1 12I

m

2A

m

2

l

22 2 21I

m

A

m

l

2

2

MB

01 22 2I

l

I

3

l-k

l

l

01m

2

l

l

1

m

2

l

3

l

k

l

l

02 2 2化簡后得 m

2

km

k2

小結(jié)

自由振動微分方程剛度法 k柔度法 δm

y

ky

0y

(

m

y

)

自由振動微分方程的解

0y(t)

y cos

t

v0sin

t

結(jié)構(gòu)的自振頻率ggm

st

W

m

k

1

10-3單自由度體系的強(qiáng)迫振動教學(xué)目標(biāo)：理解單自由度體系在簡諧荷載作用下強(qiáng)迫振動的特點(diǎn)

熟練掌握簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計(jì)算會應(yīng)用Duhamel積分計(jì)算一般荷載作用下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)教學(xué)內(nèi)容：強(qiáng)迫振動微分方程的建立簡諧荷載作用下振動微分方程的解、動力系數(shù)一般荷載作用下Duhamel積分原理突加荷載和短時(shí)荷載作用下的動力響應(yīng)Forced-vibrationofsingledegreeoffreedomsystem強(qiáng)迫振動(受迫振動)：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動。

1.強(qiáng)迫振動微分方程簡諧荷載分兩種情況討論該方程的求解：一般動力荷載

1.強(qiáng)迫振動微分方程齊次解：特解：

2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動將荷載幅值F當(dāng)作靜荷載作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)所產(chǎn)生的位移通解：2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動按自振頻率振動由于阻尼的存在而迅速衰減瞬態(tài)TransitState穩(wěn)態(tài)SteadyState由初始條件引起伴生自由振動穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動按荷載頻率振動代入初始條件2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動穩(wěn)態(tài)振動位移：動力系數(shù)：（位移放大系數(shù)）穩(wěn)態(tài)振動最大位移：2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動動力系數(shù)當(dāng)θ<<ω時(shí)，β→1，相當(dāng)于靜力作用當(dāng)θ>>ω時(shí)，β→0，動力反應(yīng)趨于零當(dāng)θ→ω時(shí)，β→∞，發(fā)生共振，共振區(qū)：2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動動力系數(shù)與頻率比的關(guān)系強(qiáng)迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動位移：加速度：慣性力：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)達(dá)到最大動位移時(shí)，慣性力和外荷載均達(dá)到最大值：注意此時(shí)慣性力和外荷載的方向不一定相同。（1）讓質(zhì)點(diǎn)發(fā)生位移，再按靜力方法計(jì)算產(chǎn)生該位移所需要的力。2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動最大動內(nèi)力的兩種計(jì)算方法：（2）將動荷載幅值乘以動力系數(shù)β，作用于質(zhì)點(diǎn)處，再按靜力方法計(jì)算內(nèi)力。

適用于易求剛度系數(shù)的結(jié)構(gòu)（超靜定）。

適用于受力分析較簡單的結(jié)構(gòu)（靜定）。例1：有一懸臂鋼梁，如圖所示，梁長為1.75m，截面為I28b工字鋼，慣性矩為I=7480cm4，截面系數(shù)WI=534cm3，彈性模量。結(jié)構(gòu)懸臂端有重量G=25kN的電機(jī)。由于電機(jī)有偏心，轉(zhuǎn)速n=450r/min時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)動時(shí)產(chǎn)生離心力為Fp=15kN，離心力的豎向分量為，忽略梁本身重量，試求鋼梁在豎向簡諧荷載作用下強(qiáng)迫振動的動力系數(shù)和最大正應(yīng)力。2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動解：（1）自振頻率（2）荷載頻率2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動（3）計(jì)算動力系數(shù)（4）計(jì)算截面最大正應(yīng)力懸臂端最大正應(yīng)力包含電機(jī)重量產(chǎn)生的最大正應(yīng)力和簡諧荷載作用下產(chǎn)生的最大正應(yīng)力，其中簡諧荷載作用下產(chǎn)生的最大正應(yīng)力為簡諧荷載幅值作用下最大正應(yīng)力的倍（1）自振頻率（2）荷載頻率（3）動力系數(shù)（4）最大動位移、最大動內(nèi)力2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動（5）最大位移、最大內(nèi)力柔度法：2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動拓展-當(dāng)荷載沒有作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)2.簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動為靜荷載作用在2位置（跨中）時(shí)在1位置（質(zhì)量處）產(chǎn)生的位移質(zhì)點(diǎn)位移運(yùn)動方程可等效為思路：（1）設(shè)體系在初始時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，有瞬時(shí)沖量S作用tFP(t)F初速度引起的自由振動在t＝0時(shí)刻，受瞬時(shí)沖量S所引起的動力響應(yīng)將一般動力荷載視為一系列瞬時(shí)沖量連續(xù)作用下響應(yīng)的總和。

3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動初始速度初始位移位移響應(yīng)（2）設(shè)體系在初始時(shí)刻處于靜止?fàn)顟B(tài)，在t=τ時(shí)有瞬時(shí)沖量S作用在t＝τ時(shí)刻，受瞬時(shí)沖量S所引起的動力響應(yīng)3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動tFP(t)F位移響應(yīng)（3）任意動荷載下的動力反應(yīng)

Duhamel積分——將整個(gè)加載過程看作由一系列瞬時(shí)沖量組成。

3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動tFP(t)瞬時(shí)沖量引起的位移響應(yīng)從0到t積分得若初始位移y0和初始速度v0不為零，則總位移為

突加荷載短時(shí)荷載下面利用Duhamel積分求兩種典型一般荷載下的動力反應(yīng)：3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動Duhamel積分其中，表示在荷載幅值F作用下所產(chǎn)生的靜位移。

Fp(t)tF3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動突加荷載時(shí)，突加荷載所引起的最大位移為相應(yīng)靜位移的2倍ysty(t)ωt0π2π3π質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡諧振動突加荷載下的位移響應(yīng)動力系數(shù)2.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動Fp(t)tuF3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動短時(shí)荷載階段I(0≤t≤u)：此階段的荷載情況與突加荷載相同。階段Ⅱ(t≥u)：以階段I終了時(shí)刻(t=u)的位移和速度作為起始位移和起始速度，作自由振動。其中，階段Ⅱ(t≥u)：以階段I終了時(shí)刻(t=u)的位移和速度作為起始位移和起始速度，作自由振動。方法一：其位移反應(yīng)可按自由振動的解直接寫出方法二：按Duhamel積分計(jì)算2.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動方法三：按兩個(gè)突加荷載疊加FP(t)tFP0uFP03.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動第一種情況：當(dāng)u>T/2（加載持續(xù)時(shí)間大于半個(gè)自振周期）時(shí)，最大位移反應(yīng)發(fā)生在階段I，動力系數(shù)第二種情況：當(dāng)u<T/2時(shí)，最大位移反應(yīng)發(fā)生在階段II，動力系數(shù)動位移的最大值短時(shí)荷載下的位移響應(yīng)動力系數(shù)2.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動T-結(jié)構(gòu)自振周期u-加載持續(xù)時(shí)間β1/611/22短時(shí)荷載作用下的動力系數(shù)：短時(shí)荷載作用下的動力系數(shù)與加載持續(xù)時(shí)間的長短有關(guān)。3.一般荷載作用下的強(qiáng)迫振動拓展：支承動力作用下的動力響應(yīng)分析實(shí)例：

地震、人在船上、動力基礎(chǔ)、車輛模型：

kmyg(t)y(t)質(zhì)點(diǎn)的位移由兩部分組成：絕對位移支承位移相對位移受力分析，列平衡方程：慣性力：彈性力：kmyg(t)y(t)絕對位移支承位移相對位移支承運(yùn)動的加速度為時(shí)，相當(dāng)于在質(zhì)點(diǎn)上施加動荷載例：圖示懸臂梁長2m，質(zhì)量為120kg，E=2.1×105MPa，I=245cm4，梁固定端做簡諧振動yg(t)=Asin?t，其中A=0.5cm，?=24πrad/s。求梁自由端的最大位移。運(yùn)動方程：穩(wěn)態(tài)振動：總位移：梁自由端最大位移：負(fù)號：支承位移的方向與總位移反向；0.394：輸入小于輸出，振動降低了。內(nèi)力放大系數(shù)：思考：此時(shí)內(nèi)力放大系數(shù)與位移放大系數(shù)相等嗎？內(nèi)力與相對位移有關(guān)位移放大系數(shù)：

10-4阻尼對振動的影響教學(xué)目標(biāo)：了解阻尼的來源、種類和特點(diǎn)掌握阻尼對動力特性的影響及計(jì)算方法了解有阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的振動特點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容：阻尼的概念和類型有阻尼單自由度體系的自由振動有阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動有阻尼單自由度體系在突加荷載作用下的強(qiáng)迫振動Theinfluenceofdampingonvibration無阻尼單自由度體系的自由振動123123振幅永不衰減？共振時(shí)，振幅可趨于無窮大？Tyt0

A-A實(shí)際中，振動系統(tǒng)的能量會逐漸耗散、振動幅度逐漸下降。無阻尼單自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動

1.阻尼內(nèi)因，如結(jié)構(gòu)與支承之間的摩擦、結(jié)構(gòu)構(gòu)件（或非結(jié)構(gòu)構(gòu)件）之間的摩擦、結(jié)構(gòu)材料之間的內(nèi)摩擦等；外因，如周圍空氣、土壤等介質(zhì)的阻力。阻尼的定義：阻尼的來源：使振動系統(tǒng)的能量耗散、振動幅度逐漸下降的作用。

1.阻尼粘滯阻尼從方向上看，阻尼力總是與質(zhì)點(diǎn)的速度方向相反（相對速度）從數(shù)值上看，阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度主要有如下三種關(guān)系：粘滯阻尼是目前動力分析中應(yīng)用最廣泛的阻尼假定

與速度成正比與速度的平方成正比如固體在流體中受到的阻尼力與速度的大小無關(guān)如摩擦阻尼c--阻尼系數(shù)阻尼力：

1.阻尼有阻尼體系的自由振動方程：

2.有阻尼單自由度體系的自由振動令運(yùn)動方程特征方程特征方程的解阻尼比頻率

2.有阻尼單自由度體系的自由振動共軛復(fù)根等實(shí)根不等實(shí)根

2.有阻尼單自由度體系的自由振動低阻尼體系的自振頻率運(yùn)動方程的通解

2.有阻尼單自由度體系的自由振動(1)低阻尼情況代入初始條件

2.有阻尼單自由度體系的自由振動自由振動響應(yīng)化簡得其中，tyty無阻尼單自由度體系的自由振動有阻尼單自由度體系的自由振動振幅隨時(shí)間衰減

2.有阻尼單自由度體系的自由振動阻尼對振幅的影響：振幅為

ξ值越大，振幅衰減速度越快

振幅的對數(shù)衰減率ty

2.有阻尼單自由度體系的自由振動

工程中常用此方法測定結(jié)構(gòu)的阻尼比。相隔n個(gè)周期

常見建筑材料的阻尼比均較小，如鋼材(0.004-0.03),木材(0.04),混凝土(0.05-0.08);

土木工程結(jié)構(gòu)的阻尼比通常在0.01-0.1之間，一般不超過0.05。

2.有阻尼單自由度體系的自由振動tyy0不再引起振動臨界阻尼運(yùn)動方程的通解特征根代入初始條件得(2)臨界阻尼情況

2.有阻尼單自由度體系的自由振動體系在自由反應(yīng)過程中，不發(fā)生振動現(xiàn)象。實(shí)際中很少發(fā)生，不做討論。(3)高阻尼情況

2.有阻尼單自由度體系的自由振動例:通過圖示結(jié)構(gòu)做自由振動實(shí)驗(yàn)，假設(shè)質(zhì)量集中在橫梁上。用油壓千斤頂使橫梁產(chǎn)生側(cè)向位移，當(dāng)梁側(cè)移0.5cm時(shí)，需加側(cè)向力10kN。在此初位移狀態(tài)下放松橫梁，經(jīng)過一個(gè)周期(T=1.40s)后，橫梁最大位移僅為0.4cm。試求:(a)阻尼比ξ；(b)阻尼系數(shù)c

；(c)振動6周后的位移振幅。

2.有阻尼單自由度體系的自由振動EI=∞m解:

2.有阻尼單自由度體系的自由振動，滿足前提假定。(a)阻尼比ξ(c)振動6周后的位移振幅(b)阻尼系數(shù)c

3.有阻尼單自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動有阻尼強(qiáng)迫振動的運(yùn)動微分方程只討論低阻尼體系（）。簡諧荷載作用下的運(yùn)動微分方程阻尼比頻率

3.簡諧荷載下的有阻尼強(qiáng)迫振動特解：齊次解：穩(wěn)態(tài)反應(yīng)表達(dá)式可寫為：yst表示荷載幅值F作用下結(jié)構(gòu)的靜位移。自由振動會因阻尼作用而逐漸衰減消失穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動振幅和周期不隨時(shí)間變化有阻尼強(qiáng)迫振動的位移反應(yīng)：

3.簡諧荷載下的有阻尼強(qiáng)迫振動動力系數(shù)θ/ω

3.簡諧荷載下的有阻尼強(qiáng)迫振動增加結(jié)構(gòu)的阻尼比可以減小結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)，對應(yīng)的技術(shù)措施是耗能減振。動力系數(shù)

3.簡諧荷載下的有阻尼強(qiáng)迫振動共振時(shí)的動力系數(shù)：動力系數(shù)的最大值：θ/ω慣性力彈性力共振時(shí)的受力特點(diǎn)（）阻尼力共振時(shí)，慣性力與彈性力平衡，阻尼力與外界干擾力平衡。無阻尼體系共振時(shí)，慣性力仍與彈性力平衡，但沒有力與外界干擾力平衡，以致出現(xiàn)位移、內(nèi)力趨于無窮大的情況。

3.簡諧荷載下的有阻尼強(qiáng)迫振動

4.有阻尼單自由度體系在一般荷載下的強(qiáng)迫振動求解方法：仍然將整個(gè)加載過程看作由一系列瞬時(shí)沖量組成。低阻尼體系的自由振動響應(yīng)初始時(shí)刻瞬時(shí)沖量作用下時(shí)刻瞬時(shí)沖量作用下低阻尼體系強(qiáng)迫振動的Duhamel積分公式：最初所引起的最大位移約為靜力位移的2倍；振動逐漸衰減，最后停留在靜力平衡位置上。ysty(t)ωrt0π2π3π4π5πFP(t)tFP4.一般荷載下的有阻尼強(qiáng)迫振動突加荷載小結(jié)低阻尼單自由度體系的自由振動有阻尼自振頻率：阻尼臨界阻尼:振幅的對數(shù)衰減率：阻尼比:低阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動最大動力系數(shù)共振時(shí)的動力系數(shù)

10-5雙自由度體系的自由振動教學(xué)目標(biāo)：掌握剛度法和柔度法建立自由振動微分方程理解頻率方程和振型等概念掌握自振頻率、振型的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：剛度法和柔度法建立自由振動微分方程自由振動微分方程的解、特征方程及自振頻率、振型振型的正交性Freevibrationof2-DOFsystem

1.剛度法列自由振動方程轉(zhuǎn)換為靜力問題剛度法：發(fā)生位移、需要多大的力？柔度法：、作用下產(chǎn)生多大的位移？①②1①②1

1.剛度法列自由振動方程自由振動方程：①②①②111.剛度法列自由振動方程求剛度系數(shù)：

1.剛度法列自由振動方程層間側(cè)移剛度層間側(cè)移剛度：層間發(fā)生單位相對側(cè)移時(shí)所需的力（層間剪力）自由振動方程自由振動方程的解設(shè)其中一個(gè)解的形式為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間變化，但二者的比值始終保持不變，即兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率ω和相位角α特點(diǎn)：

1.剛度法列自由振動方程頻率方程（特征方程）FrequencyEquation雙自由度體系有兩個(gè)自振頻率：較小的圓頻率，稱為第一（圓）頻率或基本（圓）頻率；另一個(gè)（圓）頻率稱為第二（圓）頻率。振幅方程AmplitudeEquation

1.剛度法列自由振動方程第一振型或基本振型第二振型代表第m個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動代表第n階頻率下

1.剛度法列自由振動方程第一主振型基本頻率ω1

第二主振型基本頻率ω2

1.剛度法列自由振動方程兩個(gè)自由度體系的自由振動可看作是兩種頻率及其主振型的組合振動?？傻米杂烧駝臃匠痰娜猓河沙跏紬l件來確定。

1.剛度法列自由振動方程特別地，當(dāng)初位移或初速度與某振型成比例時(shí)，多自由度體系將按該振型作自由振動。解：

1.剛度法列自由振動方程例：如圖所示雙自由度體系，質(zhì)點(diǎn)1和2質(zhì)量分別為和，層間高度為和，層間抗彎剛度為和，忽略系統(tǒng)阻尼，試求該結(jié)構(gòu)體系的自振頻率及對應(yīng)振型。第一層的層間剛度為第二層的層間剛度為結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)為

若

1.剛度法列自由振動方程當(dāng)，

當(dāng)時(shí)，得結(jié)構(gòu)第一頻率和第二頻率第一振型：第二振型：

1.剛度法列自由振動方程當(dāng)，

,得結(jié)構(gòu)第一頻率和第二頻率第一振型：第二振型：第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：拓展——n自由度體系自由振動方程：

1.剛度法列自由振動方程寫成矩陣形式：即：多自由度體系的自由振動方程

1.剛度法列自由振動方程振幅方程頻率方程求出頻率注意：自振頻率應(yīng)按照由小到大的順序排列，最小的為第一階（基本）頻率振幅向量對應(yīng)的為振型

1.剛度法列自由振動方程自振頻率個(gè)數(shù)=自由度的個(gè)數(shù)；每個(gè)自振頻率都對應(yīng)各自的主振型；自振頻率、主振型是體系本身的固有性質(zhì)，只與體系本身的質(zhì)量、剛度有關(guān)，與外荷載無關(guān)。多自由度體系自振頻率的特點(diǎn)：

1.剛度法列自由振動方程

2.柔度法列自由振動方程思路：質(zhì)量

、的位移

、

等于體系在慣性力、作用下所產(chǎn)生的靜位移。

11自由振動方程：自由振動方程自由振動方程的解同樣地，設(shè)其中一個(gè)解為

2.柔度法列自由振動方程代入得12振幅

、等于體系在對應(yīng)主振型的慣性力幅值作用下所引起的靜位移頻率方程令，求得

2.柔度法列自由振動方程振幅方程頻率第一振型第二振型（較小的頻率）

2.柔度法列自由振動方程例1：試求圖所示截面外伸梁自振頻率和主振型，假定集中質(zhì)量

2.柔度法列自由振動方程解：（1）柔度系數(shù)。

2.柔度法列自由振動方程（2）求結(jié)果自振頻率。

結(jié)構(gòu)兩個(gè)自振頻率為求結(jié)構(gòu)主振型

2.柔度法列自由振動方程例2驗(yàn)證圖所示結(jié)構(gòu)體系主振型的正交性。。

解：根據(jù)計(jì)算有滿足主振型正交性。正對稱反對稱拓展——應(yīng)用對稱性作振型圖

2.柔度法列自由振動方程第一振型第二振型第一振型第二振型正對稱：

2.柔度法列自由振動方程第三振型第四振型

2.柔度法列自由振動方程反對稱：

求剛度矩陣和