結構力學課件：結構的動力計算

結構動力計算Dynamicof

Structrues第10章

結構動力計算教學目標：

了解動力計算自由度的判斷，有阻尼振動和無阻尼振動的區(qū)別與聯(lián)系。

掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理及方法。

熟練掌握兩個自由度體系自由振動時的動力特性（自振頻率、主振型）的計算。

理解自由度體系在發(fā)生強迫振動時微分方程的建立方法以及和自由振動時的區(qū)別與聯(lián)系。10-1結構動力計算的基本概念10-6雙自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動教學內容：第10章

結構動力計算10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度無阻尼體系的強迫振動10-4阻尼對單自由度體系振動的影響10-5雙自由度體系的自由振動1. 動力計算(1)

動荷載的特點是荷載隨時間而變化動荷載區(qū)別于靜荷載的關鍵性特征是，由于荷載變化所引起的動力響應不可忽略，即慣性力(Inertia

Force)影響不可忽略。10-1

概述(2)

動力計算的目的

與結構靜力計算相似，動力計算的任務主要是研究結構在動力荷載作用下的各種反應，如變形、內力等，為結構設計提供依據。

由于在動力荷載作用下結構反應的特征性質，動力計算將涉及結構的一系列動力特征如頻率、周期、振型等的研究與計算。1. 動力計算(3)

動力計算主要方法

動力計算的基本方法是以達伯原理(D’Alembert’sPrinciple)為理論依據的“動靜法”，即在結構上施加“慣性力”，并將動力問題轉化為靜力問題來求解。

因此，動力計算的基本方法是以靜力分析方法為基礎的。結構靜力學是學好動力學的重要前提。1. 動力計算2.

學習結構動力學的重要意義

結構動力設計計算的基礎知識動力荷載作用下結構設計，城市建設環(huán)境評價（如軌道交通環(huán)境評價）等等。

工程防災(抗風抗震)的重要先修內容地震破壞塔科馬大橋風振破壞簡諧荷載—機械振動t3. 動荷載類型

周期荷載FP

t

非簡諧FP

t

t3. 動荷載類型周期荷載FP

t

FPFP

t

FPttr t

td在很短的時間內，荷載值急劇增大或急劇減小。如爆炸荷載等

沖擊荷載3. 動荷載類型

隨機荷載

：地震、風806040200-20-40-60唐山地震北京飯店測點（南北向部分）19767.28

03:42單位:cm/s2時間間隔0.01

s3. 動荷載類型4.

動力自由度確定運動過程中任一時刻全部質量的位置所需要確定的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目。⑴ 集中質量法x1y2n=2n=2為減少動力自由度，梁與剛架不計軸向變形。n=1n=1n=3mn=2n=∞4.

動力自由度不計軸向變形n=1n=2n=1n=24.

動力自由度y1

自由度為1的體系稱作單自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（有限）自由度體系;自由度無限多的體系為無限自由度體系。4.

動力自由度平面上的一個剛體y2y(x,t)x(2)

廣義坐標法m

(

x)無限自由度體系變形曲線可用三角級數(shù)表示：ny(

x,

t)

ak

(t)

sink

1k

xl形狀函數(shù)廣義坐標xxny(

x,

t)

ak

k

(

x)k

1yy(x,t)（3）有限元法FiniteElement

Method

1

(x)

2

(x)

1

14y(x)

[

yi

1i

(x)

i

2i

(x)]i

11y1

12348自由度10-2 單自由度體系的自由振動Free-vibrationofsingledegreeoffreedom

system教學目標：

掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理。

正確理解單自由度體系自由振動的動力特性。

熟練掌握這些動力特性的計算。教學內容：

自由振動微分方程

自由振動微分方程的解

結構的自振周期與頻率理論力學知識的回顧k y ykym脫離體受力分析：彈性力—ky,與位移y

的方向相反m

y

m

y

ky

0m

y

慣性力—-m

y

與加速度的方向相反1. 自由振動微分方程kyykymmyky懸臂柱－質量體系的自由振動

m

y

kym

y

m

y

ky

0剛度系數(shù)

k由結構力學方法求解1. 自由振動微分方程myky

m

y

建立振動微分方程的2

種思路懸臂柱－質量體系的自由振動mym

y

剛度法 k對質點進行受力分析，利用平衡條件m

y

ky

0

柔度法 δ對體系進行受力分析，質點位移y

(

m

y

)對單自由度體系1k

1m

y

y

01. 自由振動微分方程自由振動微分方程確定了體系自由振動時的運動規(guī)律m

y

ky

0自由振動微分方程：令mk

2

k

y

y

0m

y

2

y

0這是一個齊次方程，其通解為y(t)

C1

cos

t

C2

sin

t2. 自由振動微分方程的解

2C

v0C1

y0

0y(t)

y cos

t

v0sin

t

y

2

y

0y(t)

C1

cos

t

C2

sin

tC1和C2

可由初始條件確定，設初始位移和初始速度分別為y(0)

y0 y

(0)

v02. 自由振動微分方程的解yty

T T

v

v

0-y

y T t0y0

A-Ay cos

t

vsin

t

Asin

t

0

vtA

y2

(0

)2v0y

,

tan

1

0

0y(t)

y cos

t

v0sin

t2. 自由振動微分方程的解T

自振周期

T

2

y(t)

Asin(

t

)yt0AA

aT

stm

2

m

2

W

2

k g gT

2

ω

圓頻率或角頻率，或簡稱頻率gm

st

W

m

k

1 g3. 結構的自振周期與頻率思考外界干擾（初始速度、初始位移）對周期、頻率等有影響嗎？例10-1如圖所示為一個單層建筑理想化剛性橫梁支撐在立柱上，假定立柱忽略立柱質量和結構阻尼，為計算結構動力特性，對該結構進行自由振動試驗。試驗中千斤頂作用在橫梁頂部，使橫梁產生側向位移，此時橫梁位移為0.5cm，千斤頂施加的力為90kN，然后突然釋放使結構產生振動，通過記錄橫梁位移，測得位移循環(huán)周期為1.4s，第一個往復擺動的最大位移為0.4cm。試確定橫梁有效重量和結構無阻尼振動頻率，結構阻尼比和阻尼系數(shù)。3. 結構的自振周期與頻率解：（1）橫梁有效重量3. 結構的自振周期與頻率解：（2）無阻尼振動頻率（3）阻尼特性對數(shù)衰減率阻尼比阻尼系數(shù)3EIl

3

Wl11ml

33EI

m

解：Wl1

EAl

mlEA

m

13. 結構的自振周期與頻率例10-2 求圖示懸臂桿的自振頻率。（桿件截面積

A，慣性矩I，彈性模量

E，自身質量不計，桿頂重物重量為W）mABhC

l 例3: 求圖示結構自振頻率

。（EI

為常數(shù)，桿件自身質量不計）[分析] 圖乘法求位移1hh23EIh(h

l)

1 (

1

h2

2

h

1

hl

2

h)

EI 2 3 2 31 3EImh2

(h

l)

m

[討論]當AB剛度改變?yōu)闊o窮大，或BC改變?yōu)闊o窮大，或均不改變，試比較3

者頻率大小。3. 結構的自振周期與頻率IIEI1=

h

1kh26EIh26EIh26EIh26EIh312EIh312EIh324EIk

3mhmk

24EI

mh24EI3T

2

3. 結構的自振周期與頻率例4：計算圖示剛架的頻率和周期。ml l

l EI

常數(shù)12Ml2l34

1l

l 2

l

EI

22

2

3

3EI1 3EIml3m

水平振動

柔度法 δ3. 結構的自振周期與頻率例5：計算結構水平振動和豎直振動時的自振頻率，忽略自重。m1132l33EEII3E2lIl22

0.53EI2l33EI2l3l3k

3EIk3EImml3

3. 結構的自振周期與頻率

剛度法 k124

0.25

0.751l63l5l16

2

1

l

3l

3l

2

1

l

3l

3l

2

1

5l

16

163

216

16 3 3 16

EI

2

15l

5l

21 3l

7l3

l

2

16

16

3

3

16

96EI7ml3l 7mlm

1 96EI

4

6EI3. 結構的自振周期與頻率豎向振動

柔度法 δ16EIl

26EI

l 37

218EI7l2302EI7l4

348EI

7l748EI7l348EI7l3k7l3k

96EIkm7ml396EI

4

6EIl7ml

剛度法 k3. 結構的自振周期與頻率豎向振動3. 結構的自振周期與頻率SDOF的自振頻率采用柔度法和剛度法進行計算。一般來說，當結構為靜定，或超靜定次數(shù)較低，便于計算柔度系數(shù)時，采用柔度法；當超靜定次數(shù)較高，便于計算剛度系數(shù)時，則剛度法較為方便。如結構具有對稱性，可利用對稱性進行簡化計算。3. 結構的自振周期與頻率

拓展——重力的影響yWkm

y

ky

W如果在總位移y中，引入由重量W引起的靜位移yst以及由動荷載引起的位移y

之和來表示：y

y

ystm

y

kyst

ky

Wkyst

Wm

y

ky

0以靜力平衡位置作為基準點l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2ml

3

1

48EI7l

3

2

768EIl

3

3

192EI11ml

348EI

m

1

217ml

3768EI

m

2

31ml

3192EI

m

3

結構約束越強，其剛度越大，自振動頻率也越大。據此可得：

1:

2:

3

1:1.512

:

23. 結構的自振周期與頻率

拓展——定性分析例：圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。3. 結構的自振周期與頻率

拓展——復雜問題例：求圖示結構的自振頻率。lEIk1k11

mk11k3l3EI11l

3k

k

3EImk

l

3

11m3EI

k

y

(t)

A

2

sin(

t

)I

(t)

m

y

(t)

mA

2

sin(

t

)在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。sin(

t

)

1時，其值分別為：幅值產生于y

A

y

A

2I

mA

2由于在運動的任一瞬時質體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣，于是可在幅值處建立運動方程，此時方程中將不含時間t，結果把微分方程轉化為代數(shù)方程了，使計算得以簡化。加速度：慣性力：3. 結構的自振周期與頻率

拓展——振動特性y(t)

Asin(

t

)ADl

/2l

/2lm1

mm13 B EI=

C 2m

kBCk

m1m2

A

.1..A2k

l

1I

2I例：計算圖示體系的自振頻率。 解：單自由度體系，以

表示位移參數(shù)的幅值,

各質點上所受的力為：1 1 12I

m

2A

m

2

l

22 2 21I

m

A

m

l

2

2

MB

01 22 2I

l

I

3

l-k

l

l

01m

2

l

l

1

m

2

l

3

l

k

l

l

02 2 2化簡后得 m

2

km

k2

小結

自由振動微分方程剛度法 k柔度法 δm

y

ky

0y

(

m

y

)

自由振動微分方程的解

0y(t)

y cos

t

v0sin

t

結構的自振頻率ggm

st

W

m

k

1

10-3單自由度體系的強迫振動教學目標：理解單自由度體系在簡諧荷載作用下強迫振動的特點

熟練掌握簡諧荷載作用下結構動力響應的計算會應用Duhamel積分計算一般荷載作用下的結構動力響應教學內容：強迫振動微分方程的建立簡諧荷載作用下振動微分方程的解、動力系數(shù)一般荷載作用下Duhamel積分原理突加荷載和短時荷載作用下的動力響應Forced-vibrationofsingledegreeoffreedomsystem強迫振動(受迫振動)：結構在動荷載作用下的振動。

1.強迫振動微分方程簡諧荷載分兩種情況討論該方程的求解：一般動力荷載

1.強迫振動微分方程齊次解：特解：

2.簡諧荷載作用下的強迫振動將荷載幅值F當作靜荷載作用于結構上時所產生的位移通解：2.簡諧荷載作用下的強迫振動按自振頻率振動由于阻尼的存在而迅速衰減瞬態(tài)TransitState穩(wěn)態(tài)SteadyState由初始條件引起伴生自由振動穩(wěn)態(tài)強迫振動按荷載頻率振動代入初始條件2.簡諧荷載作用下的強迫振動穩(wěn)態(tài)振動位移：動力系數(shù)：（位移放大系數(shù)）穩(wěn)態(tài)振動最大位移：2.簡諧荷載作用下的強迫振動動力系數(shù)當θ<<ω時，β→1，相當于靜力作用當θ>>ω時，β→0，動力反應趨于零當θ→ω時，β→∞，發(fā)生共振，共振區(qū)：2.簡諧荷載作用下的強迫振動動力系數(shù)與頻率比的關系強迫振動穩(wěn)態(tài)響應的特點2.簡諧荷載作用下的強迫振動位移：加速度：慣性力：當質點達到最大動位移時，慣性力和外荷載均達到最大值：注意此時慣性力和外荷載的方向不一定相同。（1）讓質點發(fā)生位移，再按靜力方法計算產生該位移所需要的力。2.簡諧荷載作用下的強迫振動最大動內力的兩種計算方法：（2）將動荷載幅值乘以動力系數(shù)β，作用于質點處，再按靜力方法計算內力。

適用于易求剛度系數(shù)的結構（超靜定）。

適用于受力分析較簡單的結構（靜定）。例1：有一懸臂鋼梁，如圖所示，梁長為1.75m，截面為I28b工字鋼，慣性矩為I=7480cm4，截面系數(shù)WI=534cm3，彈性模量。結構懸臂端有重量G=25kN的電機。由于電機有偏心，轉速n=450r/min時，電機轉動時產生離心力為Fp=15kN，離心力的豎向分量為，忽略梁本身重量，試求鋼梁在豎向簡諧荷載作用下強迫振動的動力系數(shù)和最大正應力。2.簡諧荷載作用下的強迫振動解：（1）自振頻率（2）荷載頻率2.簡諧荷載作用下的強迫振動（3）計算動力系數(shù)（4）計算截面最大正應力懸臂端最大正應力包含電機重量產生的最大正應力和簡諧荷載作用下產生的最大正應力，其中簡諧荷載作用下產生的最大正應力為簡諧荷載幅值作用下最大正應力的倍（1）自振頻率（2）荷載頻率（3）動力系數(shù)（4）最大動位移、最大動內力2.簡諧荷載作用下的強迫振動（5）最大位移、最大內力柔度法：2.簡諧荷載作用下的強迫振動拓展-當荷載沒有作用在質點上時2.簡諧荷載作用下的強迫振動為靜荷載作用在2位置（跨中）時在1位置（質量處）產生的位移質點位移運動方程可等效為思路：（1）設體系在初始時刻處于靜止狀態(tài)，有瞬時沖量S作用tFP(t)F初速度引起的自由振動在t＝0時刻，受瞬時沖量S所引起的動力響應將一般動力荷載視為一系列瞬時沖量連續(xù)作用下響應的總和。

3.一般荷載作用下的強迫振動初始速度初始位移位移響應（2）設體系在初始時刻處于靜止狀態(tài)，在t=τ時有瞬時沖量S作用在t＝τ時刻，受瞬時沖量S所引起的動力響應3.一般荷載作用下的強迫振動tFP(t)F位移響應（3）任意動荷載下的動力反應

Duhamel積分——將整個加載過程看作由一系列瞬時沖量組成。

3.一般荷載作用下的強迫振動tFP(t)瞬時沖量引起的位移響應從0到t積分得若初始位移y0和初始速度v0不為零，則總位移為

突加荷載短時荷載下面利用Duhamel積分求兩種典型一般荷載下的動力反應：3.一般荷載作用下的強迫振動Duhamel積分其中，表示在荷載幅值F作用下所產生的靜位移。

Fp(t)tF3.一般荷載作用下的強迫振動突加荷載時，突加荷載所引起的最大位移為相應靜位移的2倍ysty(t)ωt0π2π3π質點圍繞靜力平衡位置作簡諧振動突加荷載下的位移響應動力系數(shù)2.一般荷載作用下的強迫振動Fp(t)tuF3.一般荷載作用下的強迫振動短時荷載階段I(0≤t≤u)：此階段的荷載情況與突加荷載相同。階段Ⅱ(t≥u)：以階段I終了時刻(t=u)的位移和速度作為起始位移和起始速度，作自由振動。其中，階段Ⅱ(t≥u)：以階段I終了時刻(t=u)的位移和速度作為起始位移和起始速度，作自由振動。方法一：其位移反應可按自由振動的解直接寫出方法二：按Duhamel積分計算2.一般荷載作用下的強迫振動方法三：按兩個突加荷載疊加FP(t)tFP0uFP03.一般荷載作用下的強迫振動第一種情況：當u>T/2（加載持續(xù)時間大于半個自振周期）時，最大位移反應發(fā)生在階段I，動力系數(shù)第二種情況：當u<T/2時，最大位移反應發(fā)生在階段II，動力系數(shù)動位移的最大值短時荷載下的位移響應動力系數(shù)2.一般荷載作用下的強迫振動T-結構自振周期u-加載持續(xù)時間β1/611/22短時荷載作用下的動力系數(shù)：短時荷載作用下的動力系數(shù)與加載持續(xù)時間的長短有關。3.一般荷載作用下的強迫振動拓展：支承動力作用下的動力響應分析實例：

地震、人在船上、動力基礎、車輛模型：

kmyg(t)y(t)質點的位移由兩部分組成：絕對位移支承位移相對位移受力分析，列平衡方程：慣性力：彈性力：kmyg(t)y(t)絕對位移支承位移相對位移支承運動的加速度為時，相當于在質點上施加動荷載例：圖示懸臂梁長2m，質量為120kg，E=2.1×105MPa，I=245cm4，梁固定端做簡諧振動yg(t)=Asin?t，其中A=0.5cm，?=24πrad/s。求梁自由端的最大位移。運動方程：穩(wěn)態(tài)振動：總位移：梁自由端最大位移：負號：支承位移的方向與總位移反向；0.394：輸入小于輸出，振動降低了。內力放大系數(shù)：思考：此時內力放大系數(shù)與位移放大系數(shù)相等嗎？內力與相對位移有關位移放大系數(shù)：

10-4阻尼對振動的影響教學目標：了解阻尼的來源、種類和特點掌握阻尼對動力特性的影響及計算方法了解有阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的振動特點教學內容：阻尼的概念和類型有阻尼單自由度體系的自由振動有阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動有阻尼單自由度體系在突加荷載作用下的強迫振動Theinfluenceofdampingonvibration無阻尼單自由度體系的自由振動123123振幅永不衰減？共振時，振幅可趨于無窮大？Tyt0

A-A實際中，振動系統(tǒng)的能量會逐漸耗散、振動幅度逐漸下降。無阻尼單自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動

1.阻尼內因，如結構與支承之間的摩擦、結構構件（或非結構構件）之間的摩擦、結構材料之間的內摩擦等；外因，如周圍空氣、土壤等介質的阻力。阻尼的定義：阻尼的來源：使振動系統(tǒng)的能量耗散、振動幅度逐漸下降的作用。

1.阻尼粘滯阻尼從方向上看，阻尼力總是與質點的速度方向相反（相對速度）從數(shù)值上看，阻尼力與質點速度主要有如下三種關系：粘滯阻尼是目前動力分析中應用最廣泛的阻尼假定

與速度成正比與速度的平方成正比如固體在流體中受到的阻尼力與速度的大小無關如摩擦阻尼c--阻尼系數(shù)阻尼力：

1.阻尼有阻尼體系的自由振動方程：

2.有阻尼單自由度體系的自由振動令運動方程特征方程特征方程的解阻尼比頻率

2.有阻尼單自由度體系的自由振動共軛復根等實根不等實根

2.有阻尼單自由度體系的自由振動低阻尼體系的自振頻率運動方程的通解

2.有阻尼單自由度體系的自由振動(1)低阻尼情況代入初始條件

2.有阻尼單自由度體系的自由振動自由振動響應化簡得其中，tyty無阻尼單自由度體系的自由振動有阻尼單自由度體系的自由振動振幅隨時間衰減

2.有阻尼單自由度體系的自由振動阻尼對振幅的影響：振幅為

ξ值越大，振幅衰減速度越快

振幅的對數(shù)衰減率ty

2.有阻尼單自由度體系的自由振動

工程中常用此方法測定結構的阻尼比。相隔n個周期

常見建筑材料的阻尼比均較小，如鋼材(0.004-0.03),木材(0.04),混凝土(0.05-0.08);

土木工程結構的阻尼比通常在0.01-0.1之間，一般不超過0.05。

2.有阻尼單自由度體系的自由振動tyy0不再引起振動臨界阻尼運動方程的通解特征根代入初始條件得(2)臨界阻尼情況

2.有阻尼單自由度體系的自由振動體系在自由反應過程中，不發(fā)生振動現(xiàn)象。實際中很少發(fā)生，不做討論。(3)高阻尼情況

2.有阻尼單自由度體系的自由振動例:通過圖示結構做自由振動實驗，假設質量集中在橫梁上。用油壓千斤頂使橫梁產生側向位移，當梁側移0.5cm時，需加側向力10kN。在此初位移狀態(tài)下放松橫梁，經過一個周期(T=1.40s)后，橫梁最大位移僅為0.4cm。試求:(a)阻尼比ξ；(b)阻尼系數(shù)c

；(c)振動6周后的位移振幅。

2.有阻尼單自由度體系的自由振動EI=∞m解:

2.有阻尼單自由度體系的自由振動，滿足前提假定。(a)阻尼比ξ(c)振動6周后的位移振幅(b)阻尼系數(shù)c

3.有阻尼單自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動有阻尼強迫振動的運動微分方程只討論低阻尼體系（）。簡諧荷載作用下的運動微分方程阻尼比頻率

3.簡諧荷載下的有阻尼強迫振動特解：齊次解：穩(wěn)態(tài)反應表達式可寫為：yst表示荷載幅值F作用下結構的靜位移。自由振動會因阻尼作用而逐漸衰減消失穩(wěn)態(tài)強迫振動振幅和周期不隨時間變化有阻尼強迫振動的位移反應：

3.簡諧荷載下的有阻尼強迫振動動力系數(shù)θ/ω

3.簡諧荷載下的有阻尼強迫振動增加結構的阻尼比可以減小結構位移反應，對應的技術措施是耗能減振。動力系數(shù)

3.簡諧荷載下的有阻尼強迫振動共振時的動力系數(shù)：動力系數(shù)的最大值：θ/ω慣性力彈性力共振時的受力特點（）阻尼力共振時，慣性力與彈性力平衡，阻尼力與外界干擾力平衡。無阻尼體系共振時，慣性力仍與彈性力平衡，但沒有力與外界干擾力平衡，以致出現(xiàn)位移、內力趨于無窮大的情況。

3.簡諧荷載下的有阻尼強迫振動

4.有阻尼單自由度體系在一般荷載下的強迫振動求解方法：仍然將整個加載過程看作由一系列瞬時沖量組成。低阻尼體系的自由振動響應初始時刻瞬時沖量作用下時刻瞬時沖量作用下低阻尼體系強迫振動的Duhamel積分公式：最初所引起的最大位移約為靜力位移的2倍；振動逐漸衰減，最后停留在靜力平衡位置上。ysty(t)ωrt0π2π3π4π5πFP(t)tFP4.一般荷載下的有阻尼強迫振動突加荷載小結低阻尼單自由度體系的自由振動有阻尼自振頻率：阻尼臨界阻尼:振幅的對數(shù)衰減率：阻尼比:低阻尼單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動最大動力系數(shù)共振時的動力系數(shù)

10-5雙自由度體系的自由振動教學目標：掌握剛度法和柔度法建立自由振動微分方程理解頻率方程和振型等概念掌握自振頻率、振型的計算教學內容：剛度法和柔度法建立自由振動微分方程自由振動微分方程的解、特征方程及自振頻率、振型振型的正交性Freevibrationof2-DOFsystem

1.剛度法列自由振動方程轉換為靜力問題剛度法：發(fā)生位移、需要多大的力？柔度法：、作用下產生多大的位移？①②1①②1

1.剛度法列自由振動方程自由振動方程：①②①②111.剛度法列自由振動方程求剛度系數(shù)：

1.剛度法列自由振動方程層間側移剛度層間側移剛度：層間發(fā)生單位相對側移時所需的力（層間剪力）自由振動方程自由振動方程的解設其中一個解的形式為兩個質點的位移在數(shù)值上隨時間變化，但二者的比值始終保持不變，即兩個質點具有相同的頻率ω和相位角α特點：

1.剛度法列自由振動方程頻率方程（特征方程）FrequencyEquation雙自由度體系有兩個自振頻率：較小的圓頻率，稱為第一（圓）頻率或基本（圓）頻率；另一個（圓）頻率稱為第二（圓）頻率。振幅方程AmplitudeEquation

1.剛度法列自由振動方程第一振型或基本振型第二振型代表第m個質點的振動代表第n階頻率下

1.剛度法列自由振動方程第一主振型基本頻率ω1

第二主振型基本頻率ω2

1.剛度法列自由振動方程兩個自由度體系的自由振動可看作是兩種頻率及其主振型的組合振動?？傻米杂烧駝臃匠痰娜猓河沙跏紬l件來確定。

1.剛度法列自由振動方程特別地，當初位移或初速度與某振型成比例時，多自由度體系將按該振型作自由振動。解：

1.剛度法列自由振動方程例：如圖所示雙自由度體系，質點1和2質量分別為和，層間高度為和，層間抗彎剛度為和，忽略系統(tǒng)阻尼，試求該結構體系的自振頻率及對應振型。第一層的層間剛度為第二層的層間剛度為結構剛度系數(shù)為

若

1.剛度法列自由振動方程當，

當時，得結構第一頻率和第二頻率第一振型：第二振型：

1.剛度法列自由振動方程當，

,得結構第一頻率和第二頻率第一振型：第二振型：第i個質點：拓展——n自由度體系自由振動方程：

1.剛度法列自由振動方程寫成矩陣形式：即：多自由度體系的自由振動方程

1.剛度法列自由振動方程振幅方程頻率方程求出頻率注意：自振頻率應按照由小到大的順序排列，最小的為第一階（基本）頻率振幅向量對應的為振型

1.剛度法列自由振動方程自振頻率個數(shù)=自由度的個數(shù)；每個自振頻率都對應各自的主振型；自振頻率、主振型是體系本身的固有性質，只與體系本身的質量、剛度有關，與外荷載無關。多自由度體系自振頻率的特點：

1.剛度法列自由振動方程

2.柔度法列自由振動方程思路：質量

、的位移

、

等于體系在慣性力、作用下所產生的靜位移。

11自由振動方程：自由振動方程自由振動方程的解同樣地，設其中一個解為

2.柔度法列自由振動方程代入得12振幅

、等于體系在對應主振型的慣性力幅值作用下所引起的靜位移頻率方程令，求得

2.柔度法列自由振動方程振幅方程頻率第一振型第二振型（較小的頻率）

2.柔度法列自由振動方程例1：試求圖所示截面外伸梁自振頻率和主振型，假定集中質量

2.柔度法列自由振動方程解：（1）柔度系數(shù)。

2.柔度法列自由振動方程（2）求結果自振頻率。

結構兩個自振頻率為求結構主振型

2.柔度法列自由振動方程例2驗證圖所示結構體系主振型的正交性。。

解：根據計算有滿足主振型正交性。正對稱反對稱拓展——應用對稱性作振型圖

2.柔度法列自由振動方程第一振型第二振型第一振型第二振型正對稱：

2.柔度法列自由振動方程第三振型第四振型

2.柔度法列自由振動方程反對稱：

求剛度矩陣和