2025屆山東省新高考聯(lián)合質量測評高三9月開學考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省新高考聯(lián)合質量測評2025屆高三9月開學考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.無數(shù)個【答案】B【解析】根據(jù)題意可知表示的是在函數(shù)上的點的集合，且它們的縱坐標不小于橫坐標；易知的定義域為；畫出函數(shù)與的圖象，如下圖所示：兩函數(shù)圖象橫坐標較大的點的坐標為，因此在上，共有三個點坐標滿足題意，所以中有3個元素.故選：B2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】由，可得，即，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.3.已知為等差數(shù)列，是其前項和，若，且，則當取得最小值時，（）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】因為為等差數(shù)列，若，且，則，即，又，即，故公差，當取得最小值時，．故選：C．4.已知關于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式的解集為，可知1和是方程的兩個實數(shù)根，且，由韋達定理可得，即可得，所以.當且僅當時，即時等號成立；即可得.故選：D.5.已知函數(shù)，，若曲線在點處的切線方程為，則函數(shù)在內的單調遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，所以且，曲線在點處的切線方程，即，因為曲線在點處的切線方程為，所以，可得，令，可得，即，解得，所以函數(shù)在內的單調遞減區(qū)間是.故選：A.6.若使不等式成立的任意一個，都滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】C【解析】因為不等式的解集為或由題可知不等式的解集是解集的子集，不等式，即，①當時，不等式的解集為，滿足或；②當時，不等式的解集為，若或；，則，所以；③當時，不等式的解集為，滿足或；則，所以綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．故選：C．7.若函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：．令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以當時函數(shù)有極大值，當x=1時函數(shù)有極小值，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：B．8.設，用表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列滿足，，若，數(shù)列的前項和為，則（）A.4956 B.4965 C.7000 D.8022【答案】B【解析】數(shù)列滿足，，故當時，，相減得：，即，所以，故當時，，當時，，則當時，為常數(shù)列，所以，故又符合上式，則；所以，則當時，；當時，；當時，；當時，；又數(shù)列的前項和為，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知正實數(shù)a，b，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，且，，當且僅當時取“”，故A正確；因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確；，當且僅當時取“”，由B選項可知，，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；，當時，有最小值，即，故C錯誤.故選：ABD10.記為正項等比數(shù)列的前項和，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.不是等比數(shù)列 D.，，，…成等比數(shù)列【答案】BCD【解析】由題意可得，所以等比數(shù)列an的公比所以，對于A，當時，易知數(shù)列an單調遞減，故A錯誤；對于B，令，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即是等比數(shù)列，故B正確；對于C，當時，，此時數(shù)列是等差數(shù)列；當且時，，因為不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，故C正確；對于D，因為，，所以，所以，，，…成等比數(shù)列，故D正確.故選：BCD.11.已知，，且，.若，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由函數(shù)，可得，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，可得，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，所以，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，對于A中，要證，即證，因為函數(shù)在上單調遞減，所以，因為，即證，即證，設，可得，令，可得φ'x所以φx單調遞增，且，所以，即h'x所以hx在上單調減，所以，即，所以，所以A正確；對于C中，注意到，又由，所以，因為，且在上單調遞減，所以，所以，所以C正確；對于B中，由，可得，所以，又由，且在上單調遞增，所以，所以，所以B不正確；對于D中，要證，即證，因為在上單調遞增，即證gd>g-c，因為，即證即證，設，可得，令，可得φ'x所以φx單調遞增，且，所以，即h'x所以hx在上單調增，所以，這與hx>0矛盾，所以不成立，所以D不正確故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，且“，（，且）”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】，故，若則，，此時“，（，且）”是真命題，故舍去；若，則，，此時“，（，且）”是假命題，符合要求；故.13.等比數(shù)列的前項和記為，若，，則__________.【答案】【解析】等比數(shù)列an的前項和記為,，顯然.則，化簡得，解得,則，.當時,，當時,，.故答案為：.14.已知曲線，，若曲線，恰有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】曲線，，若曲線，恰有一個交點.即的零點一個，，當時，，所以當x∈0,1時，f'x>0，當x∈1,+∞時，f'所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；則當時，；即（后面?zhèn)溆茫?當時，，在上，f'x>0，單調遞增；在上，f'x<0，單調遞減；又，由得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，f'x>0，單調遞增；在上，f'x<0，單調遞減；此時，由得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為0,+∞四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解關于的不等式：.解：原不等式可化為，即，也即.當時，不等式可化為，解得.若，則，當時，且，解得或.當時，且，解得.當時，且，解得.當時，原不等式可化為，解集為.綜上所述：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.16.在數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和的最小值.（1）證明：因為，，整理得，，通分，，.，，而，則，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，則，，，所以.因為數(shù)列遞增，則，所以數(shù)列的最小值為.17.如圖，一海島O離岸邊最近點B的距離是120km，在岸邊距點B300km的點A處有一批藥品要盡快送達海島.已知A和B之間有一條快速路，現(xiàn)要用海陸聯(lián)運的方式運送這批藥品，若汽車時速為90km，快艇時速為60km.設海運起點C到點B的距離為.（參考數(shù)據(jù)：）（1）寫出運輸時間關于的函數(shù)；（2）當點選在何處時運輸時間最短？解：（1）由題意知，，.（2）.令，得，當時，，當時，，所以時取最小值.所以當點選在距點105.6km時運輸時間最短.18.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)，求函數(shù)極值點的個數(shù)；（3）當時，若在上恒成立，求證：.（1）解：的定義域為，，，所以，，所以曲線在處的切線方程為.（2）解：，，對于方程，，①當時，，，此時沒有極值點；②當時，方程的兩根為，，不妨設，則，，，當或時，，當時，，此時，是函數(shù)的兩個極值點；③當時，方程的兩根為，，且，，故，，當時，，故沒有極值點；綜上，當時，函數(shù)有兩個極值點；當時，函數(shù)沒有極值點.（3）證明：由在上恒成立，得在上恒成立，設，，當時，，在上單調遞增，此時顯然不恒成立.當時，若，則，在上單調遞增，若，則，在上單調遞減，所以，所以.要證成立，因為，即證明.因為，令，，，令得，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，所以，所以成立.19.已知數(shù)列的首項為2，為數(shù)列的前項和，，其中，.（1）若是和的等差中項，求數(shù)列的通項公式；（2）設雙曲線的離心率為，且，證明：；（3）在（1）的條件下，記集合，，若將所有元素從小到大依次排列構成一個新數(shù)列，為數(shù)列的前項和，求使得成立的的最小值.（1）解：由①知，當時②，兩式相減可得，所以從第二項開始是公比為的等比數(shù)列，當時，代入可得，即，所以是公比為的等比數(shù)列，又是和的等差中項，所以，即，解得或（舍去），所以.（2）證明：由雙曲線的性質可知，，由（1）知是首項為2，公比為的等比數(shù)列，故，得，故，則，則.（3）解：，，則新數(shù)列為，由上可得規(guī)律：①新數(shù)列中元素2前只有1個元素，且到之間有1個元素，到之間有2個元素，到之間有4個元素，到之間有8個元素，到之間有16個元素，依次類推，②數(shù)列中、、、、、……外，其它元素均來自集合B，由上，元素之前（含），新數(shù)列共有元素個數(shù)為38個，其中32個來自B，6個來自A，則，元素之前（含），新數(shù)列共有元素個數(shù)為21個，其中16個來自B，5個來自A，則，所以成立的的最小值出現(xiàn)在到之間的某個位置，其中間元素有則，而，，綜上，，而，所以使得成立的的最小值為27.山東省新高考聯(lián)合質量測評2025屆高三9月開學考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.無數(shù)個【答案】B【解析】根據(jù)題意可知表示的是在函數(shù)上的點的集合，且它們的縱坐標不小于橫坐標；易知的定義域為；畫出函數(shù)與的圖象，如下圖所示：兩函數(shù)圖象橫坐標較大的點的坐標為，因此在上，共有三個點坐標滿足題意，所以中有3個元素.故選：B2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】由，可得，即，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.3.已知為等差數(shù)列，是其前項和，若，且，則當取得最小值時，（）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】因為為等差數(shù)列，若，且，則，即，又，即，故公差，當取得最小值時，．故選：C．4.已知關于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式的解集為，可知1和是方程的兩個實數(shù)根，且，由韋達定理可得，即可得，所以.當且僅當時，即時等號成立；即可得.故選：D.5.已知函數(shù)，，若曲線在點處的切線方程為，則函數(shù)在內的單調遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，所以且，曲線在點處的切線方程，即，因為曲線在點處的切線方程為，所以，可得，令，可得，即，解得，所以函數(shù)在內的單調遞減區(qū)間是.故選：A.6.若使不等式成立的任意一個，都滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】C【解析】因為不等式的解集為或由題可知不等式的解集是解集的子集，不等式，即，①當時，不等式的解集為，滿足或；②當時，不等式的解集為，若或；，則，所以；③當時，不等式的解集為，滿足或；則，所以綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．故選：C．7.若函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：．令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以當時函數(shù)有極大值，當x=1時函數(shù)有極小值，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：B．8.設，用表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列滿足，，若，數(shù)列的前項和為，則（）A.4956 B.4965 C.7000 D.8022【答案】B【解析】數(shù)列滿足，，故當時，，相減得：，即，所以，故當時，，當時，，則當時，為常數(shù)列，所以，故又符合上式，則；所以，則當時，；當時，；當時，；當時，；又數(shù)列的前項和為，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知正實數(shù)a，b，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，且，，當且僅當時取“”，故A正確；因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確；，當且僅當時取“”，由B選項可知，，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；，當時，有最小值，即，故C錯誤.故選：ABD10.記為正項等比數(shù)列的前項和，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.不是等比數(shù)列 D.，，，…成等比數(shù)列【答案】BCD【解析】由題意可得，所以等比數(shù)列an的公比所以，對于A，當時，易知數(shù)列an單調遞減，故A錯誤；對于B，令，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即是等比數(shù)列，故B正確；對于C，當時，，此時數(shù)列是等差數(shù)列；當且時，，因為不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，故C正確；對于D，因為，，所以，所以，，，…成等比數(shù)列，故D正確.故選：BCD.11.已知，，且，.若，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由函數(shù)，可得，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，可得，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，所以，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，對于A中，要證，即證，因為函數(shù)在上單調遞減，所以，因為，即證，即證，設，可得，令，可得φ'x所以φx單調遞增，且，所以，即h'x所以hx在上單調減，所以，即，所以，所以A正確；對于C中，注意到，又由，所以，因為，且在上單調遞減，所以，所以，所以C正確；對于B中，由，可得，所以，又由，且在上單調遞增，所以，所以，所以B不正確；對于D中，要證，即證，因為在上單調遞增，即證gd>g-c，因為，即證即證，設，可得，令，可得φ'x所以φx單調遞增，且，所以，即h'x所以hx在上單調增，所以，這與hx>0矛盾，所以不成立，所以D不正確故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，且“，（，且）”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】，故，若則，，此時“，（，且）”是真命題，故舍去；若，則，，此時“，（，且）”是假命題，符合要求；故.13.等比數(shù)列的前項和記為，若，，則__________.【答案】【解析】等比數(shù)列an的前項和記為,，顯然.則，化簡得，解得,則，.當時,，當時,，.故答案為：.14.已知曲線，，若曲線，恰有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】曲線，，若曲線，恰有一個交點.即的零點一個，，當時，，所以當x∈0,1時，f'x>0，當x∈1,+∞時，f'所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；則當時，；即（后面?zhèn)溆茫?當時，，在上，f'x>0，單調遞增；在上，f'x<0，單調遞減；又，由得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，f'x>0，單調遞增；在上，f'x<0，單調遞減；此時，由得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為0,+∞四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解關于的不等式：.解：原不等式可化為，即，也即.當時，不等式可化為，解得.若，則，當時，且，解得或.當時，且，解得.當時，且，解得.當時，原不等式可化為，解集為.綜上所述：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.16.在數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和的最小值.（1）證明：因為，，整理得，，通分，，.，，而，則，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，則，，，所以.因為數(shù)列遞增，則，所以數(shù)列的最小值為.17.如圖，一海島O離岸邊最近點B的距離是120km，在岸邊距點B300km的點A處有一批藥品要盡快送達海島.已知A和B之間有一條快速路，現(xiàn)要用海陸聯(lián)運的方式運送這批藥品，若汽車時速為90km，快艇時速為60km.設海運起點C到點B的距離為.（參考數(shù)據(jù)：）（1）寫出運輸時間關于的函數(shù)；（2）當點選在何處時運輸時間最短？解：（1）由題意知，，.（2）.令，得，當時，，當時，，所以時取最小值.所以當點選在距點105.6km時運輸時間最短.18.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)，求函數(shù)極值點的個數(shù)；（3）當時，若在上恒