2025屆陜西省教育聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,，所以，故選：B．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：A.3.已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線方程為，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，故雙曲線方程為，故選：A4.“四書(shū)五經(jīng)”是我國(guó)9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱(chēng)．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書(shū)五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先排《中庸》《孟子》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，共有種排法；再?gòu)?個(gè)空位中選3個(gè)，排《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》這3次講座，有種排法，故總共有種排法；故選：D.5.已知，，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.6.為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從，據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，所以測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為．故選：A．7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f-1=2，則（）A. B.-2 C.4 D.2【答案】B【解析】因?yàn)榍襢-1=2，可得，由，可得，所以函數(shù)的一個(gè)周期為，則.故選：B.8.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在直三棱柱中，平面，故為三棱錐的高，設(shè)，，則，由，得，故，則，故，故當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積有最大值．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B若與互斥，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若與相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】因?yàn)椋裕蔄錯(cuò)誤；若與互斥．則，故B正確；因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立．故C正確：因與相互獨(dú)立．所以．所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為-1，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的所有零點(diǎn)之和是6 B.C. D.【答案】AB【解析】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，最終經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得的圖象，如圖所示，則函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，令，因?yàn)楹瘮?shù)最小的零點(diǎn)為，且，故當(dāng)時(shí)，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則或，由，可得或，設(shè)的四個(gè)根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，所以的所有零點(diǎn)之和是6，故A正確；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和，由韋達(dá)定理，得，，所以B正確，C?D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知曲線的方程為是以點(diǎn)為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.曲線過(guò)點(diǎn)C.若直線被所截得的線段的中點(diǎn)在上，則的值為D.若曲線在的上方，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，由曲線，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，點(diǎn)代入圓的方程得，所以圓過(guò)點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)被所截得的線段為，中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，故，所以，代入，可得，解得，所以C正確；對(duì)于D中如圖所示，曲線在的上方時(shí)，拋物線和圓無(wú)交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．【答案】50【解析】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12個(gè)數(shù)據(jù)，，第9，10個(gè)數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．13.在中，已知，為線段的中點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】根據(jù)題意，在中，已知，則，由于為線段的中點(diǎn)，則，又，、不共線，故，，所以．14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)有__________個(gè)，【答案】6【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，即，又因?yàn)椋?，因?yàn)樵谳S右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為所以，解得，所以，畫(huà)出與在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖可知曲線與的交點(diǎn)有6個(gè).故答案為：6.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的長(zhǎng).解：（1）由，可得，因?yàn)樗?，又由正弦定理得，根?jù)余弦定理得，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，可得，所以，由余弦定理可知，所以.16.已知函數(shù)在點(diǎn)1,f1處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)1,f1處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因?yàn)?，所以，令，解得或，令f'x<0得或，令f'x列表如下：3f0+0↘極小值↗極大值↘故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.17.如圖，已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)均相等，平面，為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由平行六面體的性質(zhì)可得：，所以.又因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以.（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，則四邊形是正方形，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則，，，，所以，，，.設(shè)平面一個(gè)法向量為m=x,y,z，則令，可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=a,b,c則，令，可得.設(shè)平面與平面夾角為，則.所以，即平面與平面的夾角的正弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是上兩點(diǎn)（點(diǎn)，不同于點(diǎn)），直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知F1-1,0，由題意可知直線的斜率不為0，否則位于軸同側(cè)，，不符合題意；設(shè)的方程為，代入，得，由，設(shè)，則，所以，，直線的方程為，令，得，故，同理可得，所以，由，得，即，所以，所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).19.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來(lái)臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問(wèn)題引起了人們高度關(guān)注，國(guó)際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長(zhǎng)度也不同，其中RSA的密鑰長(zhǎng)度較長(zhǎng)，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱(chēng)p，q互素.對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為.（1）試求，的值；（2）設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用p，k表示（），并探究與和的關(guān)系；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），求該數(shù)列的前m項(xiàng)的和.解：（1）易得，不超過(guò)9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，不超過(guò)7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，不超過(guò)21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，所以，.（2）在不大于的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不與互素，而p的倍數(shù)有個(gè)，因此.由p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，得，，在不超過(guò)的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有個(gè)，q的倍數(shù)有個(gè)，于是，所以.（3）根據(jù)（2）得，所以，，兩式相減，得，所以，故.陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,，所以，故選：B．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：A.3.已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線方程為，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，故雙曲線方程為，故選：A4.“四書(shū)五經(jīng)”是我國(guó)9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱(chēng)．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書(shū)五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先排《中庸》《孟子》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，共有種排法；再?gòu)?個(gè)空位中選3個(gè)，排《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》這3次講座，有種排法，故總共有種排法；故選：D.5.已知，，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.6.為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從，據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，所以測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為．故選：A．7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f-1=2，則（）A. B.-2 C.4 D.2【答案】B【解析】因?yàn)榍襢-1=2，可得，由，可得，所以函數(shù)的一個(gè)周期為，則.故選：B.8.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在直三棱柱中，平面，故為三棱錐的高，設(shè)，，則，由，得，故，則，故，故當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積有最大值．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B若與互斥，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若與相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】因?yàn)椋裕蔄錯(cuò)誤；若與互斥．則，故B正確；因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立．故C正確：因與相互獨(dú)立．所以．所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為-1，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的所有零點(diǎn)之和是6 B.C. D.【答案】AB【解析】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，最終經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得的圖象，如圖所示，則函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，令，因?yàn)楹瘮?shù)最小的零點(diǎn)為，且，故當(dāng)時(shí)，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則或，由，可得或，設(shè)的四個(gè)根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，所以的所有零點(diǎn)之和是6，故A正確；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和，由韋達(dá)定理，得，，所以B正確，C?D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知曲線的方程為是以點(diǎn)為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.曲線過(guò)點(diǎn)C.若直線被所截得的線段的中點(diǎn)在上，則的值為D.若曲線在的上方，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，由曲線，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，點(diǎn)代入圓的方程得，所以圓過(guò)點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)被所截得的線段為，中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，故，所以，代入，可得，解得，所以C正確；對(duì)于D中如圖所示，曲線在的上方時(shí)，拋物線和圓無(wú)交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．【答案】50【解析】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12個(gè)數(shù)據(jù)，，第9，10個(gè)數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．13.在中，已知，為線段的中點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】根據(jù)題意，在中，已知，則，由于為線段的中點(diǎn)，則，又，、不共線，故，，所以．14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)有__________個(gè)，【答案】6【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谳S右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為所以，解得，所以，畫(huà)出與在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖可知曲線與的交點(diǎn)有6個(gè).故答案為：6.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的長(zhǎng).解：（1）由，可得，因?yàn)樗?，又由正弦定理得，根?jù)余弦定理得，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，可得，所以，由余弦定理可知，所以.16.已知函數(shù)在點(diǎn)1,f1處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)1,f1處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因?yàn)?，所以，令，解得或，令f'x<0得或，令f'x列表如下：3f0+0↘極小值↗極大值↘故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.17.如圖，已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)均相等，平面，為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則.因?yàn)椋裕?因?yàn)槠矫?，平面，所以，由平行六面體的性質(zhì)可得：，所以.又因?yàn)椋矫?，所以平?又平面，所以.（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，則四邊形是正方形，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則，，，，所以，，，.設(shè)平面一個(gè)法向量為m=x,y,z，則令，可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=a,b,c則，令，可得.設(shè)平面與平面夾角為，則.所以，即平面與平面的夾角的正弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)