2025屆四川省名校聯(lián)盟高三12月聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省名校聯(lián)盟2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.已知單位向量滿足，則（）A.8 B.3 C. D.【答案】D【解析】由于，故.所以，這就得到，所以.故選：D.3.已知命題：，，命題：，，則（）A.命題與均為真命題 B.命題與均為真命題C.命題與均為真命題 D.命題與均為真命題【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，所以命題為真命題，則為假命題，因為，當且僅當時取等號，所以命題為假命題，則為真命題.故選：B.4.已知平行四邊形的頂點，邊所在直線方程是，對角線的交點為，邊所在直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，可設且，又對角線的交點為，關于對稱，則，由點在直線上，故，所以.故選：A5.設為兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列說法一定成立的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若與所成角相等，則【答案】C【解析】對于A，若，但直線在平面內(nèi)，則條件滿足，但顯然沒有，故A錯誤；對于B，若是一個長方體的某一個頂點引出的三個側面，則它們兩兩垂直，此時并沒有，故B錯誤；對于C，由于，且，故，而，所以一定有，故C正確；對于D，若是內(nèi)的兩條相交直線，則和所成角均為，但相交，從而不平行，故D錯誤.故選：C.6.點在邊長為的正三角形的外接圓上，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設外接圓圓心為，則，.①一方面，我們有.故一定有②另一方面，當時，有，故在的外接圓上，此時.綜合①②兩個方面，可知的最大值是.故選：A.7.已知實數(shù)a滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由題設，易知或時，，時，，所以在上遞增，在上遞減，且，，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，，故，所以，又趨向時趨向，趨向時趨向，綜上，共有3個零點故選：C8.已知函數(shù)，設，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，令，則，由，故為偶函數(shù)，當時，在上遞增，，因為，且，所以，所以，所以,所以即.故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.為了研究某校高三年級學生的性別和身高是否低于的關聯(lián)性，研究小組從該校高三學生中獲取容量為500的有放回簡單隨機樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：單位：人性別身高合計低于不低于女14060200男120180300合計260240500附：，其中．α小組成員甲用該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進行獨立性檢驗，小組成員乙將該列聯(lián)表中的所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的后再進行獨立性檢驗，則下列說法正確的是（）A.依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員甲可以認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)B.依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員甲不能認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)C.小組成員甲、乙計算出的值相同，依據(jù)的獨立性檢驗，他們得出的結論也相同D.小組成員甲、乙計算出的值不同，依據(jù)的獨立性檢驗，他們得出的結論也不同【答案】AD【解析】由題設，零假設該中學高三年級學生的性別與身高沒有關聯(lián)，對于成員甲有，對于成員乙有，依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員甲可認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)；依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員乙不能認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)；小組成員甲、乙計算出的值不同，他們得出的結論也不同.故選：AD10.已知數(shù)列為無窮等差數(shù)列，公差為，前項和為，則下列說法正確的是（）A.若，d<0，則，B.若且互不相等，則C.若，，，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，此時有，從而.因為，故，所以A正確；對于B，有，同理，所以B正確；對于C，若，則是無窮等差數(shù)列，但，故C錯誤；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.當時，函數(shù)與的圖象恰有5個交點C.當時，函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形D.當時，記函數(shù)的最小值為，則【答案】ACD【解析】由，而，所以，A對；令，可得，，若，即，結合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得等式兩側對應函數(shù)圖象如下，由圖知，它們的交點為4個，B錯；，即當時，函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形，C對；，當時，即，當，設，則，令，所以且，當，則，故，得；當，則，故，得；所以，即，其中也滿足，所以，D對.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上）12.已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點，則橢圓C的標準方程為______．【答案】【解析】由題意，設橢圓為且，根據(jù)所過點易知，所以橢圓標準方程為.故答案為：13.已知棱長為1的正四面體，分別為的中點，若以的中點為球心的球與該正四面體的棱有公共點，則球半徑的最大值為______．【答案】【解析】由于正四面體總可以由一個正方體的兩兩不相鄰的四個頂點構成，故我們可以設有一個正方體.該正方體每個面的對角線長都是，所以棱長為.此時，注意到是該正方體的一對對面的中心，所以的中點一定是正方體的中心.這就說明，從而是的外接球球心.從而在球與的棱有公共點的情況下，球最大的情況顯然就是成為外接球的情況，所以半徑的最大值就是.故答案為：.14.整數(shù)的商（其中）稱為有理數(shù)，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)可以化為整數(shù)的商（其中）的形式，則______（寫成的形式，m與n為互質(zhì)的具體正整數(shù)）；若，，構成數(shù)列，令，為數(shù)列的前項和，則______．【答案】;.【解析】（1）則循環(huán)可以寫成.（2）觀察數(shù)列規(guī)律，可得，，，，，所以，，所以故答案為：；.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，向量，，且．（1）求角；（2）如圖，的平分線交于，，求的取值范圍．解:（1）由可知，故，且顯然有.故，從而，解得，而，所以.（2）設，，則，且，故有.但由于AD平分，故有，這里.所以，得，故，從而，.故，.而，故，即.此時.又因為，故，所以.從而，，b，c相等時取等號，最后，對任意滿足的實數(shù)，令，，.則此時a,b,c構成一個滿足條件的，且.綜上，的取值范圍是.16.已知圓，圓經(jīng)過點，且與圓C相切于點．（1）求圓的標準方程；（2）已知直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線l的方程．解:（1）圓的圓心，半徑為3，設圓的圓心坐標為，半徑為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）若直線斜率不存在，此時：，，解得，此時弦長為，符合題意，若直線直線斜率存在，設：，因為弦長為，所以圓心到直線的距離，因為，所以，解得，所以直線的方程為，即，綜上：直線的方程為或.17.已知函數(shù)，．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：．解:（1）此時，.故對有，對有，從而fx在上遞增，在上遞減.故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）的結論，可知對，有；對，有.設，則對有，對有.故在上遞增，在上遞減，故對有；對，有.從而對均有，即.再設，則對有，所以在上單調(diào)遞增，從而對有，即.這就得到對，有.而對，有.對，有..綜上，有.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，且，側面是正三角形，側面底面，E為中點，作交于F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在平面內(nèi)是否存在點Q．使得，若存在，求動點Q的軌跡長度；若不存在，請說明理由．解:（1）由側面底面，側面底面，面，又底面是直角梯形，，故，所以面，面，則，由側面是正三角形，E為中點，則，而且都在面內(nèi)，則面，面，所以面面，而，面面，面，所以平面.（2）依題意，可構建如下圖示的空間直角坐標系，，所以，，令是面的一個法向量，則，令，則，令是面的一個法向量，則，令，則，所以平面與平面的夾角的余弦值.（3）由，即，故點在以為直徑的球體與平面的交線上，又，其中點坐標為，則，由（1）（2）知，是面的一個法向量，所以到面的距離，所以以為直徑的球體與平面不相交，故不存在使.19.定義：如果在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B坐標分別為，那么稱為A，B兩點間的曼哈頓距離；為A，B兩點間的歐幾里得距離．（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，點在函數(shù)圖象上，點在函數(shù)圖象上，且，點A，B有的最小值為4，求實數(shù)a的取值．解:（1）令，則，故軌跡如下，當時，軌跡為，當時，軌跡為，當時，軌跡為，當時，軌跡為，所以軌跡的圖形如下，頂點在坐標軸上且邊長為的正方形，根據(jù)圖形，則.（2）令，則，即，所以在以原點為圓心，半徑為2的圓上，而，令，同（1）分析軌跡如下，當時，軌跡為，當時，軌跡為，當時，軌跡為，當時，軌跡為，對于點的曼哈頓距離，的軌跡為正方形，所以，只需研究在上述兩種情況下，軌跡交點到的曼哈頓距離范圍，如下圖示，位于圓的右上方，則只需確定直線與該圓相切時參數(shù)的范圍，若與相切時，有，可得，滿足題設，所以，即最大值為；（3）由題意，令，則，若，則，對于，定義域為，且，，當時，，遞增，當時，，遞減，綜上，與的大致圖象如下圖示，在的左上方位置，令，討論軌跡如下，當時，軌跡為，當時，軌跡為，當時，軌跡為，當時，軌跡為，問題化為上僅有一點，上僅有一點，使，首先，求平行于且與相切于點直線，由，則，可得（正值舍），故，所以，所求切線為，其次，保證，即恰好與相切，求，此時，若切點，則，即，故，綜上，，最后，令且，則，時，在上遞增，時，在上遞減，所以最大值，故，綜上，時滿足題設要求.四川省名校聯(lián)盟2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.已知單位向量滿足，則（）A.8 B.3 C. D.【答案】D【解析】由于，故.所以，這就得到，所以.故選：D.3.已知命題：，，命題：，，則（）A.命題與均為真命題 B.命題與均為真命題C.命題與均為真命題 D.命題與均為真命題【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，所以命題為真命題，則為假命題，因為，當且僅當時取等號，所以命題為假命題，則為真命題.故選：B.4.已知平行四邊形的頂點，邊所在直線方程是，對角線的交點為，邊所在直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知，可設且，又對角線的交點為，關于對稱，則，由點在直線上，故，所以.故選：A5.設為兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列說法一定成立的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若與所成角相等，則【答案】C【解析】對于A，若，但直線在平面內(nèi)，則條件滿足，但顯然沒有，故A錯誤；對于B，若是一個長方體的某一個頂點引出的三個側面，則它們兩兩垂直，此時并沒有，故B錯誤；對于C，由于，且，故，而，所以一定有，故C正確；對于D，若是內(nèi)的兩條相交直線，則和所成角均為，但相交，從而不平行，故D錯誤.故選：C.6.點在邊長為的正三角形的外接圓上，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設外接圓圓心為，則，.①一方面，我們有.故一定有②另一方面，當時，有，故在的外接圓上，此時.綜合①②兩個方面，可知的最大值是.故選：A.7.已知實數(shù)a滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由題設，易知或時，，時，，所以在上遞增，在上遞減，且，，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，，故，所以，又趨向時趨向，趨向時趨向，綜上，共有3個零點故選：C8.已知函數(shù)，設，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，令，則，由，故為偶函數(shù)，當時，在上遞增，，因為，且，所以，所以，所以,所以即.故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.為了研究某校高三年級學生的性別和身高是否低于的關聯(lián)性，研究小組從該校高三學生中獲取容量為500的有放回簡單隨機樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：單位：人性別身高合計低于不低于女14060200男120180300合計260240500附：，其中．α小組成員甲用該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進行獨立性檢驗，小組成員乙將該列聯(lián)表中的所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的后再進行獨立性檢驗，則下列說法正確的是（）A.依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員甲可以認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)B.依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員甲不能認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)C.小組成員甲、乙計算出的值相同，依據(jù)的獨立性檢驗，他們得出的結論也相同D.小組成員甲、乙計算出的值不同，依據(jù)的獨立性檢驗，他們得出的結論也不同【答案】AD【解析】由題設，零假設該中學高三年級學生的性別與身高沒有關聯(lián)，對于成員甲有，對于成員乙有，依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員甲可認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)；依據(jù)的獨立性檢驗，小組成員乙不能認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)；小組成員甲、乙計算出的值不同，他們得出的結論也不同.故選：AD10.已知數(shù)列為無窮等差數(shù)列，公差為，前項和為，則下列說法正確的是（）A.若，d<0，則，B.若且互不相等，則C.若，，，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，此時有，從而.因為，故，所以A正確；對于B，有，同理，所以B正確；對于C，若，則是無窮等差數(shù)列，但，故C錯誤；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.當時，函數(shù)與的圖象恰有5個交點C.當時，函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形D.當時，記函數(shù)的最小值為，則【答案】ACD【解析】由，而，所以，A對；令，可得，，若，即，結合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得等式兩側對應函數(shù)圖象如下，由圖知，它們的交點為4個，B錯；，即當時，函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形，C對；，當時，即，當，設，則，令，所以且，當，則，故，得；當，則，故，得；所以，即，其中也滿足，所以，D對.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上）12.已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點，則橢圓C的標準方程為______．【答案】【解析】由題意，設橢圓為且，根據(jù)所過點易知，所以橢圓標準方程為.故答案為：13.已知棱長為1的正四面體，分別為的中點，若以的中點為球心的球與該正四面體的棱有公共點，則球半徑的最大值為______．【答案】【解析】由于正四面體總可以由一個正方體的兩兩不相鄰的四個頂點構成，故我們可以設有一個正方體.該正方體每個面的對角線長都是，所以棱長為.此時，注意到是該正方體的一對對面的中心，所以的中點一定是正方體的中心.這就說明，從而是的外接球球心.從而在球與的棱有公共點的情況下，球最大的情況顯然就是成為外接球的情況，所以半徑的最大值就是.故答案為：.14.整數(shù)的商（其中）稱為有理數(shù)，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)可以化為整數(shù)的商（其中）的形式，則______（寫成的形式，m與n為互質(zhì)的具體正整數(shù)）；若，，構成數(shù)列，令，為數(shù)列的前項和，則______．【答案】;.【解析】（1）則循環(huán)可以寫成.（2）觀察數(shù)列規(guī)律，可得，，，，，所以，，所以故答案為：；.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，向量，，且．（1）求角；（2）如圖，的平分線交于，，求的取值范圍．解:（1）由可知，故，且顯然有.故，從而，解得，而，所以.（2）設，，則，且，故有.但由于AD平分，故有，這里.所以，得，故，從而，.故，.而，故，即.此時.又因為，故，所以.從而，，b，c相等時取等號，最后，對任意滿足的實數(shù)，令，，.則此時a,b,c構成一個滿足條件的，且.綜上，的取值范圍是.16.已知圓，圓經(jīng)過點，且與圓C相切于點．（1）求圓的標準方程；（2）已知直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線l的方程．解:（1）圓的圓心，半徑為3，設圓的圓心坐標為，半徑為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）若直線斜率不存在，此時：，，解得，此時弦長為，符合題意，若直線直線斜率存在，設：，因為弦長為，所以圓心到直線的距離，因為，所以，解得，所以直線的方程為，即，綜上：直線的方程為或.17.已知函數(shù)，．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：．解:（1）此時，.故對有，對有，從而fx在上遞增，在上遞減.故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）的結論，可知對，有；對，有.設，則對有，對有.故在上遞增，在上遞減，故對有；對，有.從而對均有，即.再設，則對有，所以在上單調(diào)遞增，從而對有，即.這就得到對，有.而對，有.對，有..綜上，有.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，且，側面是正三角形，側面底面，E為中點，作交于F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在平面內(nèi)是否存在點Q．使得，若存在，求動點Q的軌跡長度；若不存在，請說明理由．解:（1）由側面底面，側面底面，面，又底面是直角梯形，，故，所以面，面，則