2025屆云南省三校高三上學(xué)期高考備考聯(lián)考卷數(shù)學(xué)試題（五）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省三校2025屆高三上學(xué)期高考備考實用性聯(lián)考卷（五）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，可得，解得，即集合，且所以.故選：B．2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.5 C. D.2【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡可得，所以，則.故選：C．3.已知向量，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，因為，所以，則，解得，所以，又，則向量與的夾角為，故選：B.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，又，所以，故，，又，解得，故選：B.5.已知圓錐的母線長為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，在中，，所以，如圖，取的中點，連接，則有，所以，又由，可得，則，故圓錐的體積為.故選：A．6.某市人民政府新招聘進(jìn)名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，每人只去一個部門，每個部門必須有人，若甲部門必須安排人，則不同的方案數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，甲部門必須安排人有種，剩余個人分配到乙、丙、丁三個部門有種，故由分步乘法計數(shù)原理得，故選：A.7.已知M是雙曲線左支上的一個點，，是雙曲線的焦點，，的面積為8，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為∶∶∶1∶，所以∶∶∶∶，設(shè)，由可得，因為，解得，所以，解得，所以離心率，故選：C．8.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)是奇函數(shù)，，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱D.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點，記為，則【答案】D【解析】對于選項A：因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以選項A正確；對于選項B：令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項B正確；對于選項C：由選項B可知是奇函數(shù)，所以，兩邊同時求導(dǎo)可得，即，所以關(guān)于直線對稱，所以選項C正確；對于選項D：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點關(guān)于點對稱，因此，所以選項D錯誤.故選：D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.設(shè)正實數(shù)，滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，因為正實數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A正確；對于B，設(shè)，則，代入得，解之得或，又正實數(shù)，，，所以，則矛盾，即不會有取的可能，故B錯誤；對于C，因為正實數(shù)，滿足，所以且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即，時取“”），C正確；對于D，由，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值為，D正確.故選：ACD．10.已知，其中相鄰兩個極值點的距離為，且經(jīng)過點，則（）A. B.C.時，的值域為 D.時，與的交點數(shù)為個【答案】AB【解析】A選項：由已知相鄰兩個極值點的距離為，可得，又，可得，A選項正確；B選項：由函數(shù)經(jīng)過點，則，即，又，可得，B選項正確；C選項：，當(dāng)時，，則，所以，C選項錯誤；D選項：因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有個交點，D選項錯誤；故選：AB.11.已知動點到定點的距離有它到直線距離的比是常數(shù)，點的軌跡稱為曲線，直線y=kxk≠0與曲線交于、兩點．則下列說法正確的是（）A.曲線的方程B.C.為曲線上不同于、的一點，且直線、的斜率分別為，，則D.為坐標(biāo)原點，的最大值為【答案】ABD【解析】對于A選項，設(shè)Px,y，則，即，即，化簡得，故曲線的方程為，A對；對于B選項，由題意可知，曲線為橢圓，且，，，設(shè)橢圓另一個焦點為，如圖，由為和中點可知四邊形為平行四邊形，所以，所以，B對；對于C選項，設(shè)點、Ax1,y因為點在曲線上，則，可得，同理，所以，C錯；對D，由定義知動點到定點與它到定直線距離滿足，所以，其中為點到直線的距離，即求橢圓上一點到與到直線距離和的最大值，如下圖所示：顯然當(dāng)在橢圓左頂點時，和同時取得最大值，所以，，D對，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則______．【答案】【解析】記等比數(shù)列公比為，則.因，故．13.已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為______．【答案】【解析】圓心與的焦點重合，由可得由點斜式方程可得：即：，原點到的距離．14.費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點．當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為．如圖，已知和都是正三角形，，，且，，三點共線，設(shè)點是內(nèi)的任意一點，則的最小值為______．【答案】【解析】如圖，由題設(shè)有，而，，由余弦定理可得，所以，故是直角三角形，且，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線時等號成立，此時，，即為費馬點時，取最小值，法一：幾何法因為，，所以，，故當(dāng)且僅當(dāng)為費馬點時，取最小值且最小值為．法二：解析法如圖，以點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，且A-2,0，，由費馬點的定義知點滿足，故在以為弦且半徑為的劣弧上，設(shè)圓心為，而，故，故，故圓，同理也在以為弦且半徑為的劣弧上，其方程為，由，可得，再代入其中一式解得，（，舍），所以取最小值時，，，取最小值為．法三：代數(shù)法設(shè)，則，由費馬點的性質(zhì)可得，（），由正弦定理可得且，故，整理得到，解得，即，，此時，而，同理，故的最小值為．四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前n項和為S，且有，數(shù)列bn滿足，且，前11項和為220．（1）求數(shù)列，bn的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：．解：（1），故當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足上式，所以，.又，，數(shù)列為等差數(shù)列，令其前項和為，則，，公差，，.（2）由（1）知：，故，；．16.如圖，在梯形中，，，，且，現(xiàn)將沿翻折至，使得．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明：，且，易得翻折后，又，，平面，平面，平面，，，，，，即，又，，平面，平面；（2）解：連接，在梯形中，易得，，，如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則為平面一個法向量，結(jié)合（1）易知平面，所以取平面的法向量，所以，即平面與平面所成角的余弦值為，平面與平面所成角的正弦值為.17.如圖，已知，點P在圓上運(yùn)動，線段PQ的垂直平分線交線段PM于點N，設(shè)動點N的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）過點0,4且斜率為k的直線l與曲線C交于D，E兩點，求面積的最大值（O為原點）．解：（1）如圖，易知圓的圓心為，半徑為4，由題得，，所以動點N的軌跡是以M、Q為焦點的橢圓，不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距為，其中，所以的方程為（2）由題意得直線，由，，令，所以，即或．設(shè)，則，點到直線的距離所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以面積的最大值為．18.設(shè)．（1）求在處的切線方程；（2）證明：時，；（3）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)都有，求的最小值．（1）解：已知，則，則，又，所以切線方程為，即；（2）證明：，，，令，解得，可知當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（3）解：由（2）可知當(dāng)時：，即：，令可得，從而，即，當(dāng)，，所以，即的最小值為.19.有一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有3個紅球和3個白球，這些球除顏色外完全相同，游戲規(guī)定：每位參與者進(jìn)行次摸球，每次從袋中一次性摸出兩個球，如果每次摸出的兩個球顏色相同即為中獎，顏色不同即為不中獎，有兩種摸球方式：一是每次摸球后將球均不放回袋中，直接進(jìn)行下一次摸球，中獎次數(shù)記為；二是每次摸球后將球均放回袋中，再進(jìn)行下一次摸球，中獎次數(shù)記為.（1）求第一次摸球就中獎的概率；（2）若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若，函數(shù)隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望.解：（1）記“第一次摸球就中獎”為事件，則即第一次摸球就中獎的概率為.（2）若，且第一次摸球后將球均不放回袋中，直接進(jìn)行第二次摸球，則的可能取值為.則則的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為（3）若，且每次摸球后均將球放回袋中，再進(jìn)行下一次摸球，則每次中獎相互獨立,且由(1)知每次中獎概率均為，所以.此時的可能取值為.的可能取值為當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，.因為，所以又，所以.所以.即的數(shù)學(xué)期望為.云南省三校2025屆高三上學(xué)期高考備考實用性聯(lián)考卷（五）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，可得，解得，即集合，且所以.故選：B．2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.5 C. D.2【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡可得，所以，則.故選：C．3.已知向量，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，因為，所以，則，解得，所以，又，則向量與的夾角為，故選：B.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，又，所以，故，，又，解得，故選：B.5.已知圓錐的母線長為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，在中，，所以，如圖，取的中點，連接，則有，所以，又由，可得，則，故圓錐的體積為.故選：A．6.某市人民政府新招聘進(jìn)名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，每人只去一個部門，每個部門必須有人，若甲部門必須安排人，則不同的方案數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，甲部門必須安排人有種，剩余個人分配到乙、丙、丁三個部門有種，故由分步乘法計數(shù)原理得，故選：A.7.已知M是雙曲線左支上的一個點，，是雙曲線的焦點，，的面積為8，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為∶∶∶1∶，所以∶∶∶∶，設(shè)，由可得，因為，解得，所以，解得，所以離心率，故選：C．8.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)是奇函數(shù)，，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對稱D.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點，記為，則【答案】D【解析】對于選項A：因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以選項A正確；對于選項B：令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項B正確；對于選項C：由選項B可知是奇函數(shù)，所以，兩邊同時求導(dǎo)可得，即，所以關(guān)于直線對稱，所以選項C正確；對于選項D：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點關(guān)于點對稱，因此，所以選項D錯誤.故選：D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.設(shè)正實數(shù)，滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，因為正實數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A正確；對于B，設(shè)，則，代入得，解之得或，又正實數(shù)，，，所以，則矛盾，即不會有取的可能，故B錯誤；對于C，因為正實數(shù)，滿足，所以且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即，時取“”），C正確；對于D，由，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值為，D正確.故選：ACD．10.已知，其中相鄰兩個極值點的距離為，且經(jīng)過點，則（）A. B.C.時，的值域為 D.時，與的交點數(shù)為個【答案】AB【解析】A選項：由已知相鄰兩個極值點的距離為，可得，又，可得，A選項正確；B選項：由函數(shù)經(jīng)過點，則，即，又，可得，B選項正確；C選項：，當(dāng)時，，則，所以，C選項錯誤；D選項：因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有個交點，D選項錯誤；故選：AB.11.已知動點到定點的距離有它到直線距離的比是常數(shù)，點的軌跡稱為曲線，直線y=kxk≠0與曲線交于、兩點．則下列說法正確的是（）A.曲線的方程B.C.為曲線上不同于、的一點，且直線、的斜率分別為，，則D.為坐標(biāo)原點，的最大值為【答案】ABD【解析】對于A選項，設(shè)Px,y，則，即，即，化簡得，故曲線的方程為，A對；對于B選項，由題意可知，曲線為橢圓，且，，，設(shè)橢圓另一個焦點為，如圖，由為和中點可知四邊形為平行四邊形，所以，所以，B對；對于C選項，設(shè)點、Ax1,y因為點在曲線上，則，可得，同理，所以，C錯；對D，由定義知動點到定點與它到定直線距離滿足，所以，其中為點到直線的距離，即求橢圓上一點到與到直線距離和的最大值，如下圖所示：顯然當(dāng)在橢圓左頂點時，和同時取得最大值，所以，，D對，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則______．【答案】【解析】記等比數(shù)列公比為，則.因，故．13.已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為______．【答案】【解析】圓心與的焦點重合，由可得由點斜式方程可得：即：，原點到的距離．14.費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點．當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為．如圖，已知和都是正三角形，，，且，，三點共線，設(shè)點是內(nèi)的任意一點，則的最小值為______．【答案】【解析】如圖，由題設(shè)有，而，，由余弦定理可得，所以，故是直角三角形，且，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線時等號成立，此時，，即為費馬點時，取最小值，法一：幾何法因為，，所以，，故當(dāng)且僅當(dāng)為費馬點時，取最小值且最小值為．法二：解析法如圖，以點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，且A-2,0，，由費馬點的定義知點滿足，故在以為弦且半徑為的劣弧上，設(shè)圓心為，而，故，故，故圓，同理也在以為弦且半徑為的劣弧上，其方程為，由，可得，再代入其中一式解得，（，舍），所以取最小值時，，，取最小值為．法三：代數(shù)法設(shè)，則，由費馬點的性質(zhì)可得，（），由正弦定理可得且，故，整理得到，解得，即，，此時，而，同理，故的最小值為．四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前n項和為S，且有，數(shù)列bn滿足，且，前11項和為220．（1）求數(shù)列，bn的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：．解：（1），故當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足上式，所以，.又，，數(shù)列為等差數(shù)列，令其前項和為，則，，公差，，.（2）由（1）知：，故，；．16.如圖，在梯形中，，，，且，現(xiàn)將沿翻折至，使得．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明：，且，易得翻折后，又，，平面，平面，平面，，，，，，即，又，，平面，平面；（2）解：連接，在梯形中，易得，，，如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則為平面一個法向量，結(jié)合（1）易知平面，所以取平面的法向量，所以，即平面與平面所成角的余弦值為，平面與平面所成角的正弦值為.17.如圖，已知，點P在圓上運(yùn)動，線段PQ的垂直平分線交線段PM于點N，設(shè)動點N的軌跡為曲線C．