中考數(shù)學一輪總復習重難考點強化訓練-專題01 平移與軸對稱（知識串講+9大考點）（全國版）解析版

專題01平移與軸對稱考點類型知識一遍過（一）圖形的平移（1）定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．確定平移的兩大要素是方向和距離．（2）性質(zhì)：①經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對應(yīng)角相等．②平移改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大?。ǘ﹫D形的軸對稱（1）定義：①軸對稱：兩個圖形沿著一條直線折疊后能夠互相重合，我們就說這兩個圖形是成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中重合的點叫做對應(yīng)點，重合的線段叫做對應(yīng)線段.②軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．（2）性質(zhì)：①成軸對稱的兩個圖形全等，②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱．那么連接對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分，③兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．考點一遍過考點1：利用平移的性質(zhì)求解典例1：（2024上·廣東深圳·八年級深圳外國語學校?？计谀┰凇渡钪械钠揭片F(xiàn)象》的數(shù)學討論課上，小明和小紅先將一塊三角板描邊得到△ABC，后沿著直尺BC方向平移3cm，再描邊得到△DEF，連接AD．如圖，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)△ABC的周長為16cm，則四邊形ABFD的周長為（A．16cm B．22cm C．20cm【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF=AC，然后得到四邊形ABFD的周長等于△ABC的周長與AD、CF的和，代入數(shù)據(jù)計算即可求解，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF∴DF=AC，AD=CF=3cm∴四邊形ABFD的周長=△ABC的周長+AD+CF=16+3+3=22cm故選：B．【變式1】（2023下·廣東潮州·七年級校考期中）如圖，在△ABC中，點I為∠A的平分線和∠B的平分線的交點，AB=4，AC=3，BC=2，將∠ACB平移使其頂點與A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)及角平分線的定義等知識，熟練掌握角平分線的定義是關(guān)鍵．連接AI、BI，因為點I是∠A和∠B平分線的交點，所以AI是∠CAB的平分線，由平行的性質(zhì)和等角對等邊可得：AD=DI，同理BE=EI，所以圖中陰影部分的周長就是邊AB的長．【詳解】解：如圖，連接AI、BI，∵點I為∠A的平分線和∠B的平分線的交點，∴∠CAI=∠BAI，由平移的性質(zhì)可知：DI∥AC，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴DA=DI，∴陰影部分的周長=DI+EI+DE=DA+DE+BE=AB=4，故選：B．【變式2】（2023上·云南昭通·八年級校考階段練習）如圖，將△ABC沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，平移距離為7，AB=13，DO=6，則圖中陰影部分的面積為（

）

A．70 B．48 C．84 D．96【答案】A【分析】由平移的性質(zhì)可得DE=AB=13，BE=CF=7，S△ABC=S△DEF，從而得出OE=7，再由【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得：DE=AB=13，BE=CF=7，S△ABC∵DO=6，∴OE=DE?OD=13?6=7，∵S∴S故選：A．【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握平移不改變圖形的形狀和大小，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段相等是解此題的關(guān)鍵．【變式3】（2023上·河南南陽·九年級校考階段練習）如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′

A．12cm B．2+24cm C．1【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合陰影部分是平行四邊形，△A′HA與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設(shè)A【詳解】解：設(shè)AC交A′B′于H，A′C

由平移的性質(zhì)知AC∥A′C∴四邊形A′∵由正方形的性質(zhì)可得：∠A=45°，∠D=90°=∠AA∴△A同理，△HCB設(shè)AA′=x，則陰影部分的底長為x∴x2?x∴x=2±即AA故選：D．【點睛】此題考查解一元二次方程、平行四邊形的判定及性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，根據(jù)平移的性質(zhì)得到四邊形A′考點2：坐標系中的平移典例2：（2023上·安徽滁州·八年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，將點A?1,0先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度得到點B，則點BA．?2,2 B．?2,?2 C．?4,2 D．?4,?2【答案】D【分析】左平移橫坐標減，下平移，縱坐標減，得新點坐標．【詳解】解：左平移3個單位長度，橫坐標變?yōu)?1?3=?4，向下平移2個單位長度，縱坐標變?yōu)??2=?2，點B的坐標為(?4,?2)；故選：D【點睛】本題考查直角坐標系平移與坐標變化；掌握平移方向與坐標加減的法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·浙江紹興·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD中，AC，BD相交于點M（M為AC、BD的中點），頂點A、B、C的坐標分別為1,3、1,1、3,1，規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位為一次變換”，則連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，點M的坐標為（）A．2023,2 B．2024,?2 C．2025,2 D．2025,?2【答案】D【分析】此題考查翻折變換，掌握對稱與平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由正方形ABCD，頂點A(1,3),B(1,1),C(3,1)，根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的對角線交點M的對應(yīng)點的坐標，可得規(guī)律：第n次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為：當n為奇數(shù)時為(2+n,?2)，當n為偶數(shù)時為(2+n,2)，求得把正方形ABCD連續(xù)經(jīng)過2023次這樣的變換得到正方形ABCD的對角線交點M的坐標．【詳解】解：∵正方形ABCD，頂點A(1,3),B(1,1),C(3,1)，∴對角線交點M的坐標為(2,2)，根據(jù)題意得：第1次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為(2+1,?2)，即(3,?2)，第2次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為：(2+(2+2,2)，即(4,2)，第3次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為(2+3,?2)，即(5,?2)，第n次變換后的點M的對應(yīng)點的坐標為：當n為奇數(shù)時為(2+n,?2)，當n為偶數(shù)時為(2+n,2)，∴連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形ABCD的對角線交點M的坐標變?yōu)?2025,?2)．故選：D．【變式2】（2023下·四川南充·七年級統(tǒng)考期末）如圖，第四象限正方形ABCD，且Aa,b+3，Ca+2,b，將正方形ABCD平移，使A、C兩點分別落在兩條坐標軸上，則平移后點

A．?2,0或0,?3 B．2,0或0,?3C．2,0或0,3 D．?2,0或(0,3)【答案】B【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：當平移后點A的對應(yīng)點在x軸上，點C的對應(yīng)點在y軸上時；當平移后點A的對應(yīng)點在y軸上，點C的對應(yīng)點在x軸上時；分別根據(jù)x軸、y軸上點的坐標特征解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論如下：當平移后點A的對應(yīng)點在x軸上，點C的對應(yīng)點在y軸上時，則平移后點A的縱坐標為0，點C的橫坐標為0，∵在第四象限正方形ABCD中，Aa,b+3，C∴a>0,b+3<0,a+2>0,b<0，∴由點A的縱坐標由b+3到平移后為0，可知向上平移了?b+3個單位；由點C的橫坐標由a+2到平移后為0，可知向左平移了a+2∴平移后點C的對應(yīng)點的縱坐標是b+?b?3∴平移后點C的對應(yīng)點的坐標是0,?3；當平移后點A的對應(yīng)點在y軸上，點C的對應(yīng)點在x軸上時，則平移后點A的橫坐標為0，點C的縱坐標為0，∵在第四象限正方形ABCD中，Aa,b+3，C∴a>0,b+3<0,a+2>0,b<0，∴由點A的橫坐標a可知向左平移了a個單位，由點C的縱坐標b可知向上平移了?b個單位，∴平移后點C的對應(yīng)點的橫坐標是a+2?a=2，∴平移后點C的對應(yīng)點的坐標是2,0；綜上所示，平移后點C的對應(yīng)點的坐標是2,0或0,?3，故選：B．【點睛】本題主要考查圖形的平移及平移特征，圖形的平移與圖形上某點的平移規(guī)律相同，解題的關(guān)鍵是掌握平移中點的變化規(guī)律：橫坐標右移加，左移減，縱坐標上移加，下移減．【變式3】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段AB平移后得到線段CD，已知點A和D是對應(yīng)點，點A、B、C、D的坐標分別為A(3,a)，B(2,2)，C(b,3)，D(8,6)，則a+b的值為（

）

A．8 B．9 C．12 D．11【答案】C【分析】根據(jù)點A、D橫坐標判定出AB向右平移了5個單位，從而可由點B、C坐標求出b；根據(jù)點B、C縱坐標判定出AB向上平移了1個單位，從而可由點A、D縱坐標求出a；然后代入計算即可．【詳解】解：∵將線段AB平移后得到線段CD，A(3,a)，B(2,2)，C(b,3)，D(8,6)，∴將線段AB向右平移了5個單位，向上平移了1個單位后得到線段CD，∴a+1=6，2+5=b，∴a=5，b=7，∴a+b=5+7=12，故選：C．【點睛】本題考查根據(jù)平移后點的坐標，判定平移方式，再根據(jù)平移方式確定平移后點的坐標，熟練掌握平移坐標變換規(guī)律“左減右加，上加下減”是解題的關(guān)鍵．考點3：平移的綜合典例3：（2023下·湖南長沙·七年級校考期中）在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x,y)，若點Q的坐標為ax+y,x+ay，則稱點Q是點P的“a階華益點”（其中a為常數(shù)，且a≠0）．例如：點P(1,4)的“2階華益點”為點Q(2×1+4,1+2×4)，即點2的坐標為(6,9)．(1)若點P的坐標為(?1,5)，求它的“3階華益點”的坐標；(2)若點Pc+1,2c?1先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點P1，點P1的“?3階華益點”P(3)已知A(2,0)、B(0,2)，在第一象限內(nèi)是否存在橫、縱坐標均為整數(shù)的點P(x,y)，它的“m階華益點（m為正整數(shù)）”Q使得四邊形AOBQ的面積為6？如果存在，請求出m的值和P點坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)2,14(2)P2的坐標為0,?16或(3)存在，m=1時，P的坐標為1,2或2,1，m=2時，P的坐標為1,1【分析】（1）根據(jù)點Q是點P的“a階華益點”求解即可；（2）根據(jù)點P1的“?3階華益點”P（3）P的“m階華益點（m為正整數(shù)）”Q的坐標為mx+y,x+my，根據(jù)四邊形AOBQ的面積為6，構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）解：由題可得：3×?1+5=2，∴點P的“3階華益點”的坐標為2,14．（2）解：∵點Pc+1,2c?1先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到P∴P1∴?3c?1+2c=?c+3，∴P1的“?3階華益點”P2的坐標為?c+3,?5c?1，又∵P2∴?c+3=0或?5c?1=0，∴c=3或c=?1∴P2的坐標為0,?16或16（3）：設(shè)P的“m階華益點”Q的坐標為mx+y,x+my，過點Q作MN∥AB，分別交x軸、y軸于N，

∵S四邊形∴S△ABQ又∵S△ABM∴根據(jù)三角形的等積變形原理得：S△ABQ∴△ABO斜邊AB上的高?1為2，△MNO斜邊MN上的高?2為設(shè)等腰直角三角形△MNO的直角邊ON為n，∴S∴1解之得：n=6，∴M0,6，N∴S△OQM∴12∴mx+y+x+my=6，∴m+1x+y又∵m，x，y均為正整數(shù)，∴①當m+1=2，即m=1時，x+y=3，則x=1y=2或x=2∴P1,2，②當m+1=3，即m=2時，x+y=2，則x=1y=1∴P1,1綜上所述，m=1時，P的坐標為1,2或2,1，m=2時，P的坐標為1,1．【點睛】本題考查坐標與圖形變化-平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式1】（2023上·重慶九龍坡·八年級重慶市育才中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A?2,4，B?4,?1，C1,0，若將三角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，點A的對應(yīng)點A1

(1)直接寫出a，b的值及點C1的坐標，畫出平移后的三角形A(2)若點D在x軸上，且三角形ACD的面積是三角形A1B1【答案】(1)a=1,b=?3,C(2)D(12.5,0)或(?10.5,0)【分析】（1）根據(jù)點A到點A1，點B到點B（2）根據(jù)割補法求解求出SA1B1C1，再根據(jù)【詳解】（1）解：∵A?2,4，B?4,?1，點A的對應(yīng)點A1的坐標是a,2，點B的對應(yīng)點B1的坐標是可知將三角形ABC平移后得到三角形A1∴A∴a=1,b=?3,平移后的三角形A1

（2）解：S△S△ACD設(shè)點D的坐標為(t,0)，當t>1時，CD=t?1，S△ACD解得t=12.5，即D(12.5,0)；當t<1時，CD=1?t，S△ACD解得t=?10.5，D(?10.5,0)，故點D的坐標為D(12.5,0)或(?10.5,0)【點睛】本題考查了平移變換的性質(zhì)，熟練掌握平移變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿AB的方向平移得到△DEF，連接CD,FB,CF

(1)當點D移至什么位里時，四邊形CDBF是菱形，并加以證明．(2)在（1）的條件下，四邊形CDBF能否為正方形？若能，請說明理由；若不能，請給△ABC添加一個條件，使四邊形CDBF為正方形，并寫出推理過程．【答案】(1)當點D移至AB的中點時，四邊形CDBF是菱形，詳見解析(2)不能，詳見解析【分析】（1）當D移至AB的中點時，四邊形CDBF是菱形；根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知CD=12AB，BF=12DE．所以AD=CD=BD=CF，又由（2）不能為正方形，添加條件：AC=BC時，四邊形CDBF為正方形．根據(jù)有一內(nèi)角為直角的菱形是正方形來添加條件．【詳解】（1）解：當D移至AB的中點時，四邊形CDBF是菱形．證明如下：∵∠ACB=∠DFH=90°，D是AB的中點，∴CD=12AB∵AB=DE，∴CD=BD=BF=BE，∵CF=BE，∴CD=BD=BF=CF，∴四邊形CDBF是菱形；（2）解：不能為正方形，添加條件：AC=BC時，四邊形CDBF為正方形．證明：∵AC=BC，D是AB的中點．∴CD⊥AB，即∠CDB=90°，∵四邊形CDBF為菱形，∴四邊形CDBF是正方形．【點睛】本題是幾何變換綜合題型，主要考查了平移變換的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線．（1）難度稍大，根據(jù)三角形斜邊上的中線推知CD=BD=BF=BE是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是由小正方形組成的7×7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，線段AB的兩個端點A，B都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．（畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）．

(1)請建立合適的平面直角坐標系，使A，B兩點的坐標分別是A?1,?2，B(2)在（1）的條件下，平移線段AB到CD，使A點的對應(yīng)點為格點C0,1，B點的對應(yīng)點為D①請畫出線段CD，并寫出點D坐標______；②連接AC，AD，格點G1,0在AD上．請在線段CD上找點M，使得GM③請在給定的網(wǎng)格內(nèi)找格點H，使三角形AGH與ACG的面積相等，則滿足條件的點H有______個．（點C除外）【答案】(1)見解析．(2)①線段CD見解析；D(4,3)；②見解析；③11【分析】（1）根據(jù)A?1,?2，B（2）①由A點、C點的坐標可確定平移規(guī)律，根據(jù)平移規(guī)律可得出點D的坐標；②利用平移找到線段AC的對應(yīng)線段GQ，GQ與CD的交點即為點M；③根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得出滿足條件的點．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：①線段CD如圖所示：

由A?1,?2、C0,1得：線段故點D(4,3)．②由圖可知：將點A向右平移2個單位長度，向上平移2個單位長度可得到點G；按照同樣的平移規(guī)律，可得到點C的對應(yīng)點Q由平移的性質(zhì)可得：GQ∥AC故GQ與CD的交點即為點M．

③分別過點H、點C作直線AG的平行線，如圖所示：

根據(jù)“平行線間的距離處處相等”可知，滿足條件的點【點睛】本題考查了平移、平行線間的距離處處相等知識點．根據(jù)對應(yīng)點得到平移規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．考點4：軸對稱圖形的識別典例4：（2023上·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形定義與中心對稱圖形定義逐一判斷，即得．軸對稱圖形定義，如果一個平面圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形定義，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．本題主要考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形定義與中心對稱圖形定義．【詳解】A.，不是軸對稱圖形是中心對稱圖形；B.，不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形；C.，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；D.，是軸對稱圖形不是中心對稱圖形．故選：C．【變式1】（2023·湖南·九年級專題練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【變式2】（2023上·河南商丘·七年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了中心對稱和軸對稱圖形的概念，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；C不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；D既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．故選D．【變式3】（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義．在平面內(nèi)，一個圖形經(jīng)過中心對稱能與原來的圖形重合，這個圖形叫做叫做中心對稱圖形；一個圖形以某條直線對折，圖形的兩部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．直接根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義逐項分析．【詳解】解：A．既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：C．考點5：利用軸對稱性質(zhì)求解典例5：（2023上·河北滄州·八年級校考期中）如圖，△ABC和△AB′C′關(guān)于直線1對稱，下列結(jié)論：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點不一定在l上．其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵△ABC和△AB′C′關(guān)于直線l對稱，∴（1）△ABC≌△AB′C′，正確．（2）∠BAC′=∠B′AC，正確．（3）直線l垂直平分CC′，正確．（4）直線BC和B′C′的交點一定在直線l上，錯誤．故選：B．【變式1】（2019下·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點A在直線l上，△ABC與△AB′C′關(guān)于直線l對稱，連接BB′，分別交AC，AC′于點D，D′，連接CC′A．∠BAC=∠B′AC′ B．CC′∥BB′C．BD=B′D′ D．AD=DD′【答案】D【分析】利用軸對稱的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：∵△ABC與△AB′C′關(guān)于直線l對稱，∴△ABC?△AB′C′，BB′⊥l，CC′⊥l，AB=AB′，AC=AC′，∴∠BAC=∠B′AC′，CC′∥BB′，即選項A、B正確；由軸對稱的性質(zhì)得：OD=OD′,OB=OB′，∴OB?OD=OB′?OD′，即BD=B′D′，選項C正確；由軸對稱的性質(zhì)得：AD=AD′，但AD不一定等于故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD沿直線l對折后重合，如果AD//BC，則結(jié)論①AB//CD；②AB=CD；③AB⊥BC；④AO=OC中正確的是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】分析已知條件，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形對題中小問題的條件進行分析，選出正確答案，其中③是無法證明是正確的．【詳解】解：如圖所示：∵直線l是四邊形ABCD的對稱軸，∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD，故①正確；∴四邊形ABCD是菱形；∴AB=CD，故②正確；∵四邊形ABCD是菱形；∴AO=OC，故④正確．∵當四邊形ABCD是菱形時，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，但是AB與BC不一定垂直，故③錯誤；故選：C．【點睛】主要考查了軸對稱的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)與判定；證明四邊形是菱形是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023上·山東德州·八年級德州市第十中學校考期中）如圖，△ABC中，D點在BC上，將D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，并連接AE、AF，根據(jù)圖中標示的角度，∠EAF的度數(shù)為（

）A．126° B．128° C．130°【答案】D【分析】此題考查軸對稱的性質(zhì)，連接AD，利用軸對稱的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AD，∵D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=52°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°?62°?52°=66°，∴∠EAF=2∠BAC=132°，故選：D．考點6：坐標系中的軸對稱求解典例6：（2024上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若原來點A的坐標是a,b，則經(jīng)過第2019次變換后，所得A點的坐標是（

）A．a(chǎn),?b B．?a,?b C．?a,b D．a(chǎn),b【答案】C【分析】本題考查了軸對稱的坐標變換，點的坐標變換規(guī)律探究，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2019除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點A所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：點A第一次關(guān)于x軸對稱后在第四象限，所得A點的坐標是a,?b；點A第二次關(guān)于y軸對稱后在第三象限，所得A點的坐標是?a,?b；點A第三次關(guān)于x軸對稱后在第二象限，所得A點的坐標是?a,b；點A第四次關(guān)于y軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，所得A點的坐標是a,b；所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2019÷4=504余3，∴經(jīng)過第2019次變換后所得的A點與第三次變換的位置相同，在第二象限，坐標為?a,b．故選：C．【變式1】（2024上·甘肅張掖·八年級?？计谀┤酎cP1,3關(guān)于y軸的對稱點在一次函數(shù)y=3k+2x?1A．23 B．?23 C．2【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出關(guān)于k的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．由點P的坐標，可找出點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可列出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【詳解】解：點P(1,3)關(guān)于y軸的對稱點為(?1,3)．∵點(?1,3)在一次函數(shù)y=(3k+2)x?1的圖象上，∴3=?(3k+2)?1,解得：k=?2，故選：D．【變式2】（2024上·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A?2,1，B3,4，連接OA、OB、AB，P是y軸上的一個動點，當PB?PA取最大值時，點P的坐標為（A．0,?5 B．1,0 C．0,2.2 D．0,?【答案】A【分析】此題考查關(guān)于y軸對稱的點的坐標特點，線段最值問題，一次函數(shù)與y軸交點，正確理解最值問題并作出點P是解題的關(guān)鍵．作點A關(guān)于y軸的對稱點N，連接BN交y軸于一點，即為點P，此時PB?PA值最大，設(shè)直線BN的解析式為y=kx+b，將N2,1，B【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點N，連接BN交y軸于一點，即為點P，此時PB?PA值最大，∵A?2,1∴N2,1設(shè)直線BN的解析式為y=kx+b，將N2,1，B3,4代入得：解得k=3b=?5∴直線BN的解析式為y=3x?5，當x=0時，y=?5，∴P0,?5故選：A．【變式3】（2023上·江蘇常州·八年級校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，點A2,4與點Bm,n關(guān)于y軸對稱，則m+n的值為（A．6 B．?6 C．2 D．?2【答案】C【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化——軸對稱，熟知關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)求出m、n的值，然后代值計算即可．【詳解】解：∵點A2,4與點Bm,n關(guān)于∴m=?2,n=4，∴m+n=?2+4=2，故選C．考點7：坐標系中的軸對稱作圖典例7：（2024上·河北廊坊·八年級校聯(lián)考期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A0,1，B2,0，(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC，以及與△ABC關(guān)于y軸對稱的△DEF；(2)△ABC的面積是______；(3)已知P為x軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．【答案】(1)圖見詳解；(2)4；(3)P點坐標為?6,0或10,0；【分析】本題考查了作軸對稱圖形及格點三角形面積問題：（1）先利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征得到D、E、F的坐標，然后描點即可；（2）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△ABC的面積；（3）設(shè)P點坐標為t,0，利用三角形面積公式得到12×t?2×1=4，然后求出【詳解】（1）解：由題意可得，如圖，△ABC和△DEF為所作，（2）解：由題意可得，S=4×3?1故答案為：4；（3）解：設(shè)P點坐標為t,0，∵△ABP的面積為4，∴12解得：t=?6或10，∴P點坐標為?6,0或10,0．【變式1】（2024上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A1，1，B(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B(2)在x軸上存在一點P，使點P到A、B兩點的距離之和最小，請直接寫出P點的坐標．【答案】(1)作圖見解析，B(2)P【分析】本題考查了作圖，軸對稱變換，求一次函數(shù)解析式，掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）分別作出三個頂點關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接，得到答案．（2）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′，與x軸交于點P，設(shè)BA′所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+b，由A′1,?1，B4,2，得到【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下：∴△A由圖像得：B1的坐標為?4,2（2）如圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′，與x∴A′1,?1，由兩點之間線段最短得：當點A′，P，B共線時，P設(shè)BA′所在直線的函數(shù)解析式為將A′1,?1，k+b=?14k+b=2解得k=1b=?2∴BA′所在直線的函數(shù)解析式為當y=0時，x=2，即點P的坐標為2,0．【變式2】（2024上·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A?1,5，B?1,0，(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（其中A1，B1，(2)直接寫出A1，B1，A1(_____，_____)，B1(_____，_____)，(3)△ABC的面積=________．【答案】(1)見詳解(2)1，5；1，0；4，3(3)15【分析】本題考查了作圖形的軸對稱的圖形，點的坐標，三角形的面積；（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可求解；（2）根據(jù)（1）中的圖，寫出坐標即可求解；（3）根據(jù)三角形面積公式即可求解；掌握軸對稱性質(zhì)，能根據(jù)軸對稱性質(zhì)作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖∴△A（2）解：由（1）圖得A11,5，B故答案：1，5；1，0；4，3；（3）解：由題意得S=15故答案：152【變式3】（2024上·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的6×6的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點A、B、C均在格點上．(1)探究一：如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A(2)探究二：如圖2，在直線m上作一點P，使△ACP的周長最小．（不寫作法步驟，僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）；(3)探究三：如圖3，請嘗試運用構(gòu)造全等三角形法，作出格點△ABC邊AC上的高BE．（不寫作法步驟，僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查做出軸對稱圖形，全等三角形判定及性質(zhì)．（1）根據(jù)點坐標到直線m的距離即可得出△A（2）作點A關(guān)于直線m對稱點A″，連接A″C，交m（3）延長AC交BF于點E，則BE即為所求，再利用全等三角形判定及性質(zhì)即可求出．【詳解】（1）解：根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點直接作出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A（2）作點A關(guān)于直線m對稱點A″，連接A″C，交m則△ACP的周長=AC+CP+PA=AC+PC+P∴點P即為所求；（3）解：延長AC交BF于點E，則BE即為所求，如圖所示：∵∠ADC=∠BGF=90°．AD=BG=3，∴△ACD≌△BFGSAS∴∠CAD=∠FBG，∵∠BCE=∠ACD，∴∠BEC=∠ADC=90∴BE⊥AC．BE即為所求△ABC邊上的高．考點8：利用軸對稱求最值典例8：（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，P是長方形ABCD內(nèi)部的動點，AB=4，BC=8，△PBC的面積等于12，則點P到B、C兩點距離之和PB＋PC的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】先根據(jù)三角形的面積求出△PBC中BC邊上的高，過P作BC的平行線l，找點B關(guān)于直線l的對稱點B′，推出PB+PC的最小值即為B【詳解】解：設(shè)△PBC中BC邊上的高是?．∵S△PBC=12∴12∴?=3，∴動點P在與BC平行且與BC的距離是3的直線l上，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接B′C交直線l于點P′，連接則PB+PC=PB∴PB+PC的最小值就是B′∵B與B′關(guān)于直線l∴BB∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵BC=8，B′B=6，∴B′C=B故選：C．【點睛】本題考查軸對稱?最短路線問題，解答時涉及三角形的面積、軸對稱的性質(zhì)、線段和最短問題，將兩條線段和最短的問題轉(zhuǎn)化為一條線段的長是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=9，BD是△ABC的角平分線，點P、點N分別是線段BD和邊AC上的動點，點M在邊BC上，且BM=2，則PM+PN的最小值是（

）A．3 B．23 C．3 D．【答案】D【分析】本題主要考查了最短路線問題，作點M關(guān)于BD的對稱點M′連接PM′，則PM′=PM，BM=BM′=2，當N，P，M【詳解】如圖所示，作點M關(guān)于BD的對稱點M′連接則PM′=PM∴PN+PM=PN+PM當N，P，M′在同一直線上，且M′N⊥AC時，PN+P在Rt△AM′∴M′∴PM+PN的最小值為3.5，故選：D．【變式2】（2023上·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，菱形ABCD的邊長為4，且∠A=60°,DE⊥BC于點E,P為BD上一點，且△PCE的周長最小，則△PCE的周長的最小值為（

）A．3+1 B．27+2 C．2【答案】B【分析】首先確定出△PCE的周長的最小值就是PE+PC的最小值+2，然后利用將軍飲馬問題的模型構(gòu)造出△PCE的周長的最小值A(chǔ)E，再利用勾股定理求出AE，進而解決問題．【詳解】解：連接AE交BD于點P，連接AC，PC，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°,∴對角線BD所在直線是其一條對稱軸，點A，點C關(guān)于直線BD對稱，△ABD與△CBD是等邊三角形，∴PC=PA，∵DE⊥BC，∵E是BC的中點，∴EC=EB=2，∵△PCE的周長=PC+PE+EC=PA+PE+2，∴要求△PCE的周長的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，而PA+PE的最小值就是AE的長，過點E作EF⊥AB，交AB的延長線于點F，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠DAB=60°，在Rt△BEFBF=BE?cos60°=1，在Rt△AEF∵AF=AB+BF=4+1=1，EF=3∴AE=A∴△PCE的周長的最小值為27故選：B．【點睛】本題考查軸對稱?最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，特殊值的三角函數(shù)，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和構(gòu)造出最短路線是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（

A．1.2 B．2.4 C．2 D．2.5【答案】B【分析】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，找到C點關(guān)于AD的對稱點，再由垂線段最短是求解的關(guān)鍵．作點Q關(guān)于AD的對稱點Q′，連接PQ′，CQ′，過點C【詳解】解：如圖，作點Q關(guān)于AD的對稱點Q′，連接PQ′，CQ′，過點C∵AD是△ABC的角平分線，Q與Q′關(guān)于AD∴點Q′在AB上，PC+PQ=PC+P∵AC=3，BC=4，AB=5，∴12∴CH=2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值為2.4．故選：B．考點9：軸對稱的綜合問題典例9：（2024上·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC，AB=8，點E在等邊三角形ABC的邊BC上，BE=5，射線CD⊥BC，垂足為點C，點P是射線CD上的一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+PF的直最小時，求【答案】11【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，作點E關(guān)于CD的對稱點E′，連接PE′，由軸對稱的性質(zhì)可得PE′=PE，CE′=CE，則當P、E′、F三點共線且【詳解】解：如圖所示，作點E關(guān)于CD的對稱點E′，連接P由軸對稱的性質(zhì)可得PE′=PE∴EP+PF=PE∴當P、E′、F三點共線且E′F⊥AB∵CD⊥BC，∴B、C、E∵在等邊三角形ABC中，AB=8，∴∠B=60°，∴∠E∴CE∴BE∴BF=1【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校聯(lián)考期末）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，A、B、C三點都在格點上．(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C(2)在y軸上找點D，使得AD+BD的值最小，并直接寫出點D的坐標；(3)直接寫出△ABC的面積．【答案】(1)圖形見解析(2)點D的位置見解析，D(3)5【分析】本題考查了作圖中軸對稱變換，最短路徑問題，理解幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點坐標的特征得到A1?2,4，B1（2）連接A1B交y軸于點D，根據(jù)題意可得當A1、D、B三點共線時，AD+BD的值最小，然后設(shè)直線A1B（3）利用三角形所在的矩形的面積減去三個直角三角形的面積，即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意得：A(2，4)，B(1∵△A1B1C∴A1?2,4，B畫出圖形，如下圖所示：（2）連接A1∵A(2，4)與∴A∴AD+BD=A即A1、D、B三點共線時，AD+BD設(shè)直線A1B的解析式為把A1?2,4，?2k+b=4∴直線A1B的解析式為當x=0時，y=2，∴當AD+BD的值最小時，點D（3）由A(2，4)，B(1，即SS【