（寒假）2024-2025年高二數(shù)學 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第07課 直線與圓的位置關系（原卷版）

第第頁第07課直線與圓的位置關系1.圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2.點與圓的位置關系(1)理論依據(jù)：點與圓心的距離與半徑的大小關系．(2)三種情況圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點在圓內(nèi)．3.常用結論(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.直線與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系(1)三種位置關系：相交、相切、相離．相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀點deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r(2)圓的切線方程的常用結論①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2；②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.考向一圓的方程【例1】(1)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長為6，則圓C的方程為_________；(2)已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)，則該圓的方程是________________________；(3)若一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2eq\r(7)，則該圓的方程為___________________．【變式1-1】已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且截直線x－y－3＝0所得的弦長為eq\r(6)，則圓C的方程為________.方法總結：求圓的方程的方法：(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設出圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值.考向二與圓有關的最值問題【例2】（1）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．（2）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求eq\f(y,x)的最大值和最小值．（3）已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．【變式2-1】若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)eq\f(y,x－4)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.【變式2-2】已知點，點，R是圓上動點，則的最小值為__________．方法總結：(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法：一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結合求解．(2)與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．考向三與圓有關的軌跡問題【例3】已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．【變式3-1】已知點P為直線上一動點，過點P作圓的切線，切點分別為A、B，且，則動點P的軌跡的長度為____________．【變式3-2】在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長為2eq\r(3)．(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．方法總結：求與圓有關的軌跡問題的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．考向四直線與圓的位置關系【例4】直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關系為()A.相交、相切或相離B.相交或相切C.相交D.相切【變式4-1】已知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則（）A.且與圓相交B.且與圓相離C.且與圓相離D.且與圓相交方法總結：判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題.考向五圓的弦長問題【例5】(1)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()A.6B.2eq\r(11)C.12D.16(2)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【變式5-1】直線與圓交于、兩點，則（）A. B. C. D.【變式5-2】若斜率為的直線與軸交于點，與圓相交于點兩點，若，則______.【變式5-3】已知P，Q為圓上的兩個動點，點，且，則坐標原點О到直線PQ的距離的最大值為（）A. B. C. D.2方法總結：弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關系，根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).考向六圓的切線問題【例6】已知點P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，點M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長.【變式6-1】在平面直角坐標系中，過直線上任一點做圓的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是（）A.四邊形為正方形時，點的坐標為B.四邊形面積的最小值為1C.不可能為鈍角D.當為等邊三角形時，點的坐標為【變式6-2】已知圓：，過直線：上的一點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）A. B. C. D.方法總結：求圓的切線方程應注意的問題求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程.若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意斜率不存在的切線.直線與圓的位置關系隨堂檢測1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是()A．eq\f(1,4)<m<1B．m<eq\f(1,4)或m>1C．m<eq\f(1,4)D．m>12、圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(2,3)，3B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，eq\r(13)3.“”是“點在圓外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4.直線l：x－y＋1＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置關系是()A.相離B.相切C.相交且過圓心D.相交但不過圓心5.過點P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝06.若直線是圓的一條對稱軸，則A． B． C．1 D．7.若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．8.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則A