2010年高考數(shù)學試卷（文）（大綱版Ⅰ全國Ⅰ卷）（解析卷）

第頁|共頁2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（大綱版Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）cos300°=（）A． B．﹣ C． D． 【考點】GO：運用誘導(dǎo)公式化簡求值．【專題】11：計算題．【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，將300°角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)求值．【解答】解：∵．故選：C．【點評】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識．2．（5分）設(shè)全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，則N∩（?UM）=（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5} 【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】根據(jù)補集意義先求CUM，再根據(jù)交集的意義求N∩（CUM）．【解答】解：（CUM）={2，3，5}，N={1，3，5}，則N∩（CUM）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．故選：C．【點評】本小題主要考查集合的概念、集合運算等集合有關(guān)知識，屬容易題．3．（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．1 【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=x﹣2y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值即可．【解答】解：畫出可行域（如圖），z=x﹣2y?y=x﹣z，由圖可知，當直線l經(jīng)過點A（1，﹣1）時，z最大，且最大值為zmax=1﹣2×（﹣1）=3．故選：B．【點評】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，則a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D． 【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則有a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10．【解答】解：a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故選：A．【點評】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．5．（5分）（1﹣x）4（1﹣）3的展開式x2的系數(shù)是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 【考點】DA：二項式定理．【分析】列舉（1﹣x）4與可以出現(xiàn)x2的情況，通過二項式定理得到展開式x2的系數(shù)．【解答】解：將看作兩部分與相乘，則出現(xiàn)x2的情況有：①m=1，n=2；②m=2，n=0；系數(shù)分別為：①=﹣12；②=6；x2的系數(shù)是﹣12+6=﹣6故選：A．【點評】本小題主要考查了考生對二項式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項的系數(shù)與其二項式系數(shù)，同時也考查了考生的一些基本運算能力．6．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90° 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】1：常規(guī)題型．【分析】延長CA到D，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，而三角形A1DB為等邊三角形，可求得此角．【解答】解：延長CA到D，使得AD=AC，則ADA1C1為平行四邊形，∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，則三角形A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B=60°故選：C．【點評】本小題主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞） 【考點】34：函數(shù)的值域；3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；4O：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【專題】11：計算題．【分析】由已知條件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一個增函數(shù)，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，則lga=﹣lgb，再化簡整理即可求解；或采用線性規(guī)劃問題處理也可以．【解答】解：（方法一）因為f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨設(shè)0＜a＜b，則0＜a＜1＜b，∴l(xiāng)ga=﹣lgb，lga+lgb=0∴l(xiāng)g（ab）=0∴ab=1，又a＞0，b＞0，且a≠b∴（a+b）2＞4ab=4∴a+b＞2故選：C．（方法二）由對數(shù)的定義域，設(shè)0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，整理得線性規(guī)劃表達式為：，因此問題轉(zhuǎn)化為求z=x+y的取值范圍問題，則z=x+y?y=﹣x+z，即求函數(shù)的截距最值．根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，函數(shù)圖象過點（1，1）時z有最小為2（因為是開區(qū)域，所以取不到2），∴a+b的取值范圍是（2，+∞）．故選：C．【點評】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，根據(jù)條件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時取等號）列出關(guān)系式（a+b）2＞4ab=4，進而解決問題．8．（5分）已知F1、F2為雙曲線C：x2﹣y2=1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則|PF1|?|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8 【考點】HR：余弦定理；KA：雙曲線的定義；KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】解法1，利用余弦定理及雙曲線的定義，解方程求|PF1|?|PF2|的值．解法2，由焦點三角形面積公式和另一種方法求得的三角形面積相等，解出|PF1|?|PF2|的值．【解答】解：法1．由雙曲線方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|?|PF2|=4．法2；由焦點三角形面積公式得：∴|PF1|?|PF2|=4；故選：B．【點評】本題主要考查雙曲線定義、幾何性質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，查考生的綜合運用能力及運算能力．9．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】MI：直線與平面所成的角；MK：點、線、面間的距離計算．【專題】5G：空間角．【分析】正方體上下底面中心的連線平行于BB1，上下底面中心的連線與平面ACD1所成角，即為BB1與平面ACD1所成角，直角三角形中，利用邊角關(guān)系求出此角的余弦值．【解答】解：如圖，設(shè)上下底面的中心分別為O1，O，設(shè)正方體的棱長等于1，則O1O與平面ACD1所成角就是BB1與平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故選：D．【點評】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出D到平面ACD1的距離是解決本題的關(guān)鍵所在，這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，屬于中檔題．10．（5分）設(shè)a=log32，b=ln2，c=，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【考點】4M：對數(shù)值大小的比較．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】根據(jù)a的真數(shù)與b的真數(shù)相等可取倒數(shù)，使底數(shù)相同，找中間量1與之比較大小，便值a、b、c的大小關(guān)系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，綜上c＜a＜b，故選：C．【點評】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用．11．（5分）已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為（）A． B． C． D． 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；JF：圓方程的綜合應(yīng)用．【專題】5C：向量與圓錐曲線．【分析】要求的最小值，我們可以根據(jù)已知中，圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，結(jié)合切線長定理，設(shè)出PA，PB的長度和夾角，并將表示成一個關(guān)于x的函數(shù)，然后根據(jù)求函數(shù)最值的辦法，進行解答．【解答】解：如圖所示：設(shè)OP=x（x＞0），則PA=PB=，∠APO=α，則∠APB=2α，sinα=，==×（1﹣2sin2α）=（x2﹣1）（1﹣）==x2+﹣3≥2﹣3，∴當且僅當x2=時取“=”，故的最小值為2﹣3．故選：D．【點評】本小題主要考查向量的數(shù)量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法﹣﹣判別式法，同時也考查了考生綜合運用數(shù)學知識解題的能力及運算能力．12．（5分）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（）A． B． C． D． 【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；ND：球的性質(zhì)．【專題】11：計算題；15：綜合題；16：壓軸題．【分析】四面體ABCD的體積的最大值，AB與CD是對棱，必須垂直，確定球心的位置，即可求出體積的最大值．【解答】解：過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，設(shè)點P到CD的距離為h，則有，當直徑通過AB與CD的中點時，，故．故選：B．【點評】本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質(zhì)、異面直線的距離，通過球這個載體考查考生的空間想象能力及推理運算能力．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}．【考點】7E：其他不等式的解法．【分析】本題是解分式不等式，先將分母分解因式，再利用穿根法求解．【解答】解：：，數(shù)軸標根得：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}故答案為：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}【點評】本小題主要考查分式不等式及其解法，屬基本題．14．（5分）已知α為第二象限角，sinα=，則tan2α=．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】由已知求出cosα，進一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．【解答】解：∵α為第二象限角，且sinα=，∴cosα=，則tanα=．∴tan2α===．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15．（5分）某學校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有30種．（用數(shù)字作答）【考點】D5：組合及組合數(shù)公式．【專題】11：計算題；16：壓軸題；32：分類討論．【分析】由題意分類：（1）A類選修課選1門，B類選修課選2門，確定選法；（2）A類選修課選2門，B類選修課選1門，確定選法；然后求和即可．【解答】解：分以下2種情況：（1）A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C31C42種不同的選法；（2）A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C32C41種不同的選法．所以不同的選法共有C31C42+C32C41=18+12=30種．故答案為：30【點評】本小題主要考查分類計數(shù)原理、組合知識，以及分類討論的數(shù)學思想．16．（5分）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且，則C的離心率為．【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合．【分析】由橢圓的性質(zhì)求出|BF|的值，利用已知的向量間的關(guān)系、三角形相似求出D的橫坐標，再由橢圓的第二定義求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立關(guān)于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如圖，，作DD1⊥y軸于點D1，則由，得，所以，，即，由橢圓的第二定義得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案為：．【點評】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，設(shè)S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，求Sn．【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】34：方程思想．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比數(shù)列，可得a22=2a1（a3+1），結(jié)合s3=12，可列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1，d，進而求出前n項和sn．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得，解得或，∴sn=n（3n﹣1）或sn=2n（5﹣n）．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，同時注意方程思想的應(yīng)用．18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B及其對邊a，b滿足a+b=acotA+bcotB，求內(nèi)角C．【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；HP：正弦定理．【專題】11：計算題．【分析】先利用正弦定理題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化角的正弦，化簡整理求得sin（A﹣）=sin（B+），進而根據(jù)A，B的范圍，求得A﹣和B+的關(guān)系，進而求得A+B=，則C的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA?+sinB?=cosA+cosB，∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB∴sin（A﹣）=sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+=π，∴A+B=，C=π﹣（A+B）=【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題過程中關(guān)鍵是利用了正弦定理把邊的問題轉(zhuǎn)化為角的問題．19．（12分）投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0.3．各專家獨立評審．（Ⅰ）求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；（Ⅱ）求投到該雜志的4篇稿件中，至少有2篇被錄用的概率．【考點】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CA：n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率．【分析】（1）投到該雜志的1篇稿件被錄用包括稿件能通過兩位初審專家的評審或稿件恰能通過一位初審專家的評審又能通過復(fù)審專家的評審兩種情況，這兩種情況是互斥的，且每種情況中包含的事情有時相互獨立的，列出算式．（2）投到該雜志的4篇稿件中，至少有2篇被錄用的對立事件是0篇被錄用，1篇被錄用兩種結(jié)果，從對立事件來考慮比較簡單．【解答】解：（Ⅰ）記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評審；D表示事件：稿件被錄用．則D=A+B?C，P（A）=0.5×0.5=0.25，P（B）=2×0.5×0.5=0.5，P（C）=0.3，P（D）=P（A+B?C）=P（A）+P（B?C）=P（A）+P（B）P（C）=0.25+0.5×0.3=0.40．（2）記4篇稿件有1篇或0篇被錄用為事件E，則P（E）=（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3=0.1296+0.3456=0.4752，∴=1﹣0.4752=0.5248，即投到該雜志的4篇稿件中，至少有2篇被錄用的概率是0.5248．【點評】本題關(guān)鍵是要理解題意，實際上能否理解題意是一種能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生數(shù)學思維情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度．20．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）證明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大?。究键c】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（Ⅰ）連接BD，取DC的中點G，連接BG，作BK⊥EC，K為垂足，根據(jù)線面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分別求出SE與EB的長，從而得到結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)邊長的關(guān)系可知△ADE為等腰三角形，取ED中點F，連接AF，連接FG，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大?。窘獯稹拷猓海á瘢┻B接BD，取DC的中點G，連接BG，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC為直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K為垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．SB=，DE=EB=所以SE=2EB（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知AE==1，又AD=1．故△ADE為等腰三角形．取ED中點F，連接AF，則AF⊥DE，AF=．連接FG，則FG∥EC，F(xiàn)G⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．連接AG，AG=，F(xiàn)G=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小為120°．【點評】本題主要考查了與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．21．（12分）求函數(shù)f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】先求函數(shù)的極值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，則x=﹣1或x=1，經(jīng)驗證x=﹣1和x=1為極值點，即f（1）=﹣2為極小值，f（﹣1）=2為極大值．又因為f（﹣3）=﹣18，f（3）=18，所以函數(shù)f（x）的最大值為18，最小值為﹣18．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)的最值，當然如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值，屬于基礎(chǔ)題．22．（12分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K（﹣1，0）的直線l與C相交于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D．（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；（Ⅱ）設(shè)，求△BDK的內(nèi)切圓M的方程．【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角；IP：恒過定點的直線；J1：圓的標準方程；K8：拋物線的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜