2012年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（重慶）（解析卷）

第頁|共頁試卷總評2012年高考重慶卷數(shù)學(xué)文理科的特點(diǎn)是"穩(wěn)中有降、梯度合理、試題親切、背景公平"。穩(wěn)中有降：1、整份試題繼承了去年試題的框架結(jié)構(gòu)，全面考查了《考試大綱》各部分的內(nèi)容，函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、圓錐曲線等仍是穩(wěn)定的主干考點(diǎn)；2、客觀題（選擇、填空）的壓軸題都較往年降低了難度，連接解答題的難度也略低于往年，試題面向全體考生，體現(xiàn)了向新課改主干知識平穩(wěn)過渡。梯度合理：整份試題層次分明，問題設(shè)置科學(xué)、合理，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)水平、數(shù)學(xué)能力不同的學(xué)生有著較好的區(qū)分度，部分試題設(shè)計巧妙，能考察學(xué)生綜合分析以及繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，不僅有利于優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)揮，也有利于數(shù)學(xué)中等生取得滿意的成績。試題親切：全卷試題表述清晰、富有數(shù)學(xué)美感，考生審題無文字障礙；淡化特殊技巧，回歸常態(tài)，運(yùn)算量適中；試題緊扣教材，對高中主干知識考察的明晰且突出，經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的重構(gòu)與改編所考察的數(shù)學(xué)思想與方法體現(xiàn)出了命題者的匠心獨(dú)用。背景公平：全卷無偏、難、怪、繁的試題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的一些題目選材自然、具有生活體驗，如學(xué)生輪流投籃勝負(fù)的探討、學(xué)校課表安排等題目，這些題目對城鄉(xiāng)學(xué)生的審題、分析以至于解題過程均體現(xiàn)出公平的認(rèn)知背景，同時也較好地體現(xiàn)了新課改中數(shù)學(xué)文化的滲透。值得一提的是，命題者注重文理科差異，命題具有針對性。(21道試題中有9道是同源題目，其他均采用了不同的試題，考察體現(xiàn)了文理科學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力差異)總之，整份試題應(yīng)該說是一份對如何考查雙基內(nèi)容作出了完美的詮釋的試題，不僅是一份有利于高校選拔人才的試卷，更對高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革起到了風(fēng)向標(biāo)的引領(lǐng)作用。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）命題“若p則q”的逆命題是（A）若q則p（B）若p則q（C）若則（D）若p則【答案】：A【解析】：根據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系可得：“若p，則q”的逆命題是“若q，則p”故選A．【考點(diǎn)定位】本題主要考查四種命題之間的關(guān)系．（2）不等式的解集是為（A）（B）（C）（-2，1）（D）∪（3）設(shè)A，B為直線與圓的兩個交點(diǎn)，則（A）1（B）（C）（D）2（4）的展開式中的系數(shù)為（A）-270（B）-90（C）90（D）270（5）（A）（B）（C）（D）【答案】：C【解析】：【考點(diǎn)定位】本題考查三角恒等變化，其關(guān)鍵是利用（6）設(shè)，向量且，則（A）（B）（C）（D）（7）已知，，則a,b,c的大小關(guān)系是（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】：，，則【考點(diǎn)定位】本題考查對數(shù)函數(shù)運(yùn)算．（8）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的圖象可能是【答案】：C【解析】：由函數(shù)在處取得極小值可知，，則；，則時，時【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．（9）設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】：A【解析】：，，，【考點(diǎn)定位】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，極限思想的應(yīng)用，是中檔題．．（10）設(shè)函數(shù)集合則為（A）（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。（11）首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項和【答案】：15【解析】：【考點(diǎn)定位】本題考查等比數(shù)列的前n項和公式（12）函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（14）設(shè)為直線與雙曲線左支的交點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，垂直于軸，則雙曲線的離心率【答案】：【解析】：由得又垂直于軸，所以則【考點(diǎn)定位】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、離心率，考查了兩條直線垂直的條件，考查了方程思想．（15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分））已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值?！敬鸢浮浚海á瘢á颍窘馕觥浚海海á瘢┰O(shè)數(shù)列的公差為d,由題意知解得所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可得因成等比數(shù)列，所以從而，即解得或（舍去），因此。17．（本小題滿分13分）已知函數(shù)在處取得極值為（1）求a、b的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值．【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：：（Ⅰ）因故由于在點(diǎn)處取得極值故有即，化簡得解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得當(dāng)時，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時，故在上為減函數(shù)當(dāng)時，故在上為增函數(shù)。由此可知在處取得極大值，在處取得極小值由題設(shè)條件知得此時，因此上的最小值為【考點(diǎn)定位】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，最值之間的關(guān)系，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)=0，，求出a，b的值．（1）根據(jù)函數(shù)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1先求出函數(shù)中的參數(shù)a，b的值，再令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)左正右負(fù)時有極大值，當(dāng)左負(fù)右正時有極小值．再代入原函數(shù)求出極大值和極小值．（2）列表比較函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，端點(diǎn)函數(shù)值與極大值中最大的為函數(shù)的最大值，端點(diǎn)函數(shù)值與極小值中最小的為函數(shù)的最小值．18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直每人都已投球3次時投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響。（Ⅰ）求乙獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率。19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）設(shè)函數(shù)（其中）在處取得最大值2，其圖象與軸的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為（=1\*ROMANI）求的解析式；（=2\*ROMANII）求函數(shù)的值域。【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：（Ⅰ）由題設(shè)條件知的周期，即，解得因在處取得最大值2，所以，從而，所以，又由得故的解析式為（Ⅱ）因，且故的值域為（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）已知直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)。（Ⅰ）求異面直線和的距離；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】：（Ⅰ）如答（20）圖1，因AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，故CDAB。又直三棱柱中，面，故，所以異面直線和AB的距離為（Ⅱ）：由故面，從而，故為所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知由三垂線定理的逆定理得從而，都與互余，因此，所以≌，因此得從而所以在中，由余弦定理得（21）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分）已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過作直線交橢圓于，，求△的面積【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）【解析】：：（Ⅰ）如答（21）圖，設(shè)所