2013年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)Ⅱ）（解析卷）

第頁|共頁2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，則M∩N=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算；73：一元二次不等式及其應(yīng)用．【專題】11：計(jì)算題．【分析】求出集合M中不等式的解集，確定出M，找出M與N的公共元素，即可確定出兩集合的交集．【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，則z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給的等式兩邊同時(shí)除以1﹣i，得到z的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡形式，得到結(jié)果．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)形式的除法運(yùn)算，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目若出現(xiàn)一定是一個(gè)送分題目，注意數(shù)字的運(yùn)算．3．（5分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到，解出即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．4．（5分）已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β．直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（）A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 【考點(diǎn)】LJ：平面的基本性質(zhì)及推論；LQ：平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由題目給出的已知條件，結(jié)合線面平行，線面垂直的判定與性質(zhì)，可以直接得到正確的結(jié)論．【解答】解：由m⊥平面α，直線l滿足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．由直線m，n為異面直線，且m⊥平面α，n⊥平面β，則α與β相交，否則，若α∥β則推出m∥n，與m，n異面矛盾．故α與β相交，且交線平行于l．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查了平面的基本性質(zhì)及推論，考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中x2的系數(shù)為+a?=5，由此解得a的值．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）展開式中x2的系數(shù)為+a?=5，解得a=﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．6．（5分）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】27：圖表型．【分析】從賦值框給出的兩個(gè)變量的值開始，逐漸分析寫出程序運(yùn)行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能．【解答】解：框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i賦值，S=0+1=1，k=1+1=2；判斷k＞10不成立，執(zhí)行S=1+，k=2+1=3；判斷k＞10不成立，執(zhí)行S=1++，k=3+1=4；判斷k＞10不成立，執(zhí)行S=1+++，k=4+1=5；…判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=，k=10+1=11；判斷i＞10成立，輸出S=．算法結(jié)束．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．7．（5分）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L7：簡單空間圖形的三視圖．【專題】11：計(jì)算題；13：作圖題．【分析】由題意畫出幾何體的直觀圖，然后判斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．【解答】解：因?yàn)橐粋€(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個(gè)正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為：故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的三視圖的判斷，根據(jù)題意畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．8．（5分）設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c 【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】11：計(jì)算題．【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），化簡a，b，c然后比較log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因?yàn)閍=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因?yàn)閥=log2x是增函數(shù)，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知a＞0，實(shí)數(shù)x，y滿足：，若z=2x+y的最小值為1，則a=（）A．2 B．1 C． D． 【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定a的值即可．【解答】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，（陰影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時(shí)z最?。?x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵點(diǎn)C也在直線y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．10．（5分）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．?x0∈R，f（x0）=0 B．函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形 C．若x0是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（﹣∞，x0）單調(diào)遞減 D．若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x0）=0 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出f′（x），分△＞0與△≤0討論，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．（1）當(dāng)△=4a2﹣12b＞0時(shí)，f′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x1＜x2，列表如下x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表格可知：①x2是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，但是f（x）在區(qū)間（﹣∞，x2）不具有單調(diào)性，故C不正確．②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，=，∵+f（x）=，∴點(diǎn)P為對(duì)稱中心，故B正確．③由表格可知x1，x2分別為極值點(diǎn)，則，故D正確．④∵x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?xα∈R，f（xα）=0，故A正確．（2）當(dāng)△≤0時(shí)，，故f（x）在R上單調(diào)遞增，①此時(shí)不存在極值點(diǎn)，故D正確，C不正確；②B同（1）中②正確；③∵x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x0∈R，f（x0）=0，故A正確．綜上可知：錯(cuò)誤的結(jié)論是C．由于該題選擇錯(cuò)誤的，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、中心得出的定義、單調(diào)性與極值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，考查了分類討論的思想方法等基本方法．11．（5分）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），則C的方程為（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x 【考點(diǎn)】K7：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)拋物線方程算出|OF|=，設(shè)以MF為直徑的圓過點(diǎn)A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=．再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關(guān)系式，從而得到關(guān)于p的方程，解之得到實(shí)數(shù)p的值，進(jìn)而得到拋物線C的方程．【解答】解：∵拋物線C方程為y2=2px（p＞0），∴焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（，0），可得|OF|=，∵以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），∴設(shè)A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點(diǎn)，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．故選：C．方法二：∵拋物線C方程為y2=2px（p＞0），∴焦點(diǎn)F（，0），設(shè)M（x，y），由拋物線性質(zhì)|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為=，由已知圓半徑也為，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)（0，2），故圓心縱坐標(biāo)為2，則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，即M（5﹣，4），代入拋物線方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點(diǎn)（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)，屬于中檔題．12．（5分）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D． 【考點(diǎn)】%H：三角形的面積公式；I1：確定直線位置的幾何要素；IT：點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5B：直線與圓．【分析】解法一：先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（﹣，0），由﹣≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得＜b＜；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．解法二：考查臨界位置時(shí)對(duì)應(yīng)的b值，綜合可得結(jié)論．【解答】解：解法一：由題意可得，三角形ABC的面積為=1，由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（﹣，0），由直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故﹣≤0，故點(diǎn)M在射線OA上．設(shè)直線y=ax+b和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=ax+b，求得a=b=．②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，此時(shí)b＞，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則b＜，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)﹣＜﹣1，求得b＞a．設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|=，即（1﹣b）?|﹣|=，化簡可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此時(shí)b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化簡可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得b的取值范圍應(yīng)是，故選：B．解法二：當(dāng)a=0時(shí)，直線y=ax+b（a＞0）平行于AB邊，由題意根據(jù)三角形相似且面積比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趨于最?。捎赼＞0，∴b＞1﹣．當(dāng)a逐漸變大時(shí)，b也逐漸變大，當(dāng)b=時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)（0，），再根據(jù)直線平分△ABC的面積，故a不存在，故b＜．綜上可得，1﹣＜b＜，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查確定直線的要素，點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考察運(yùn)算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則?=2．【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得要求的式子為（）?（），再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則=0，故=（）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．14．（5分）從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n=8．【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】列出從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的所有取法種數(shù)，求出和等于5的種數(shù)，根據(jù)取出的兩數(shù)之和等于5的概率為列式計(jì)算n的值．【解答】解：從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，取出的兩數(shù)之和等于5的情況有：（1，4），（2，3）共2種情況；從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的所有不同取法種數(shù)為，由古典概型概率計(jì)算公式得：從n個(gè)正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，取出的兩數(shù)之和等于5的概率為p=．所以，即，解得n=8．故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了組合數(shù)公式，解答此題時(shí)既可以按有序取，也可以按無序取，問題的實(shí)質(zhì)是一樣的．此題是基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)θ為第二象限角，若tan（θ+）=，則sinθ+cosθ=﹣．【考點(diǎn)】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；GP：兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】16：壓軸題；56：三角函數(shù)的求值．【分析】已知等式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出tanθ的值，再根據(jù)θ為第二象限角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinθ與cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos2θ==，∵θ為第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，則sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．16．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為﹣49．【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】16：壓軸題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡已知兩等式，聯(lián)立求出首項(xiàng)a1與公差d的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出nSn的最小值．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，∴a1=﹣3，d=，∴Sn=na1+d=n2﹣n，∴nSn=n3﹣n2，令nSn=f（n），∴f′（n）=n2﹣n，∴當(dāng)n=時(shí)，f（n）取得極值，當(dāng)n＜時(shí)，f（n）遞減；當(dāng)n＞時(shí)，f（n）遞增；因此只需比較f（6）和f（7）的大小即可．f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，故nSn的最小值為﹣49．故答案為：﹣49．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟：17．（12分）△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B為三角形的內(nèi)角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，則△ABC面積的最大值為××=××（2+）=+1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．18．（12分）如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計(jì)算題；14：證明題；5G：空間角．【分析】（Ⅰ）通過證明BC1平行平面A1CD內(nèi)的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）證明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)，又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF，因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因?yàn)橹崩庵鵄BC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，設(shè)AB=2，則AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，過D作DF⊥A1C于F，∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．19．（12分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．（Ⅰ）將T表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若x∈[100，110））則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率，求T的數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖；BE：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）由題意先分段寫出，當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，和利潤值，最后利用分段函數(shù)的形式進(jìn)行綜合即可．（Ⅱ）由（I）知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤x≤150．再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，利用樣本估計(jì)總體的方法得出下一個(gè)銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值．（Ⅲ）利用利潤T的數(shù)學(xué)期望=各組的區(qū)間中點(diǎn)值×該區(qū)間的頻率之和即得．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000，當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=500×130=65000，∴T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤x≤150．由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7．（Ⅲ）依題意可得T的分布列如圖，T45000530006100065000p0.10.20.30.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布及識(shí)圖的能力，求解的重點(diǎn)是對(duì)題設(shè)條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個(gè)小矩形的面積的意義，是中檔題．20．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：（a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線x+y﹣=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．【考點(diǎn)】IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】16：壓軸題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）把右焦點(diǎn)（c，0）代入直線可解得c．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)P（x0，y0），利用“點(diǎn)差法”即可得到a，b的關(guān)系式，再與a2=b2+c2聯(lián)立即可得到a，b，c．（Ⅱ）由CD⊥AB，可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長|CD|．把直線x+y﹣=0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長|AB|，利用S四邊形ACBD=即可得到關(guān)于t的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦點(diǎn)（c，0）代入直線x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)P（x0，y0），則，，相減得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．聯(lián)立得，解得，∴M的方程為．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，聯(lián)立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直線CD與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．聯(lián)立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交點(diǎn)為A（0，），B，∴|AB|==．∴S四邊形ACBD===，∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，四邊形ACBD面積的最大值為，滿足（*）．∴四邊形ACBD面積的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、四邊形的面積計(jì)算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0．【考點(diǎn)】5C：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】16：壓軸題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．求出當(dāng)m=2時(shí)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在（﹣1，0）上有唯一零點(diǎn)x0，則當(dāng)x=x0時(shí)函數(shù)取得最小值，借助于x0是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f（x0）＞0，從而結(jié)論得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴，解得m=1．所以函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域?yàn)椋ī?，+∞）．∵．設(shè)g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)，又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（﹣m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈（﹣1，0）．當(dāng)x∈（﹣2，x0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵，是難題．選考題：（第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答．請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一部分評(píng)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)）22．（10分）【選修4﹣1幾何證明選講】如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC?AE=DC?AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓．（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；（2）若DB=BE=EA，求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．【考點(diǎn)】NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】5B：直線與圓．【分析】（1）已知CD為△ABC外接圓的切線，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC?AE=DC?AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．利用B、E、F、C四點(diǎn)共圓，可得∠CFE=∠DBC，進(jìn)而得到∠CFE=∠AFE=90°即可證明CA是△ABC外接圓的直徑；（2）要求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外