《人行行測(cè)知識(shí)專項(xiàng)》第3章數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)計(jì)算命題形式、答題

技巧及常見(jiàn)題型

-一、命題形式

數(shù)學(xué)運(yùn)算題主要考查應(yīng)試者的運(yùn)算能力。這類試題難易程度差異

較大，有的只需心算就能完成，有的則要經(jīng)過(guò)演算才能正確作答。

數(shù)學(xué)運(yùn)算題的出題方式有兩種：

1.算式計(jì)算，即給出一個(gè)四則運(yùn)算的數(shù)學(xué)算式，直接要求考生

在最短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果，并判斷所計(jì)算的結(jié)果與備選項(xiàng)中哪

一項(xiàng)相同。

2.算術(shù)應(yīng)用題，即給出一段表述數(shù)量關(guān)系的文字，要求考生迅

速、準(zhǔn)確地計(jì)算出試題要求的結(jié)果，并判斷所計(jì)算的結(jié)果與備選項(xiàng)中

哪一項(xiàng)相同。

二、答題技巧

1.掌握一些常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧、方法和規(guī)律，尤其是一些數(shù)

學(xué)運(yùn)算公式，盡量多用簡(jiǎn)便算法。

2.正確理解和分析文字表達(dá)，正確把握題意，切忌被題中一些

枝節(jié)所誘導(dǎo)，落入出題者的圈套中。

3.熟練掌握一定的題型及解題方法。

4.加強(qiáng)訓(xùn)練，增強(qiáng)對(duì)數(shù)字的敏感程度，并熟記一些基本數(shù)字。

5.學(xué)會(huì)使用排除法來(lái)提高命中率。在時(shí)間緊張而又找不出其他

解題捷徑的情況下，可對(duì)部分選項(xiàng)進(jìn)行排除，尤其是一些計(jì)算量大的

題目，可以根據(jù)選項(xiàng)中數(shù)值的大小、尾數(shù)、位數(shù)等方面來(lái)排除，提高

答對(duì)的概率。

三、常見(jiàn)題型

（一）首尾數(shù)估算法

[例題1]425+683+544+828的值是（）。

A.2488B.2486

C.2484D.2480

【答案】D

【師說(shuō)解析】在四則運(yùn)算中，如果幾個(gè)數(shù)的數(shù)值較大，又似乎沒(méi)

有什么規(guī)律可循，可以先利用個(gè)位進(jìn)行運(yùn)算得到尾數(shù)，再與選項(xiàng)中的

尾數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如果有惟一的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，就可立即找到答案。該題中各

項(xiàng)的個(gè)位數(shù)相加等于5+3+4+8=20,尾數(shù)為0,4個(gè)選項(xiàng)中只有一

個(gè)尾數(shù)也為0,故正確選項(xiàng)為D。

【例題2】158,93+75,62-11,475的值是（）。

A.203.075B.213.075

C.222.075D.223,075

【答案】D

【師說(shuō)解析】本題只需計(jì)算整數(shù)部分，因?yàn)?個(gè)選項(xiàng)的尾數(shù)都

相同。經(jīng)過(guò)計(jì)算可以知道本題的正確答案為D。有些比較復(fù)雜的小數(shù)

點(diǎn)計(jì)算問(wèn)題，其實(shí)題意是要求對(duì)小數(shù)點(diǎn)部分進(jìn)行運(yùn)算，這樣利用排除

法就可以直接選出答案。

（二）湊整法

【例題1】12,5X0,25X0,5義32的值是（）。

A.50B.100

C.50.25D.25

【答案】A

【師說(shuō)解析】“湊整法”是簡(jiǎn)便運(yùn)算中最常用的方法，即根據(jù)交

換律、結(jié)合律把可以湊成整數(shù)的數(shù)放在一起運(yùn)算，從而提高運(yùn)算速度。

這道題是“湊整法”的典型習(xí)題，首先把32拆開成為4X8,再運(yùn)用

交換率和結(jié)合率，使12.5X8結(jié)果為整100,0.25X4的結(jié)果為整1,

心算就可得出答案為50o

【例題2】2.2+12.6+5.8+7.4的值是（）。

A.29B.28

C.30D.29.2

【答案】B

【師說(shuō)解析】本題根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律，使（2.2+5.8）的

結(jié)果為整8.0,（12.6+7.4）的結(jié)果為整20.0,顯然計(jì)算起來(lái)快捷方

便。（三）基準(zhǔn)數(shù)法

【例題1】1997+1998+1999+2000+2001的值是（）。

A.9993B.9994

C.9995D.9996

【答案】C

【師說(shuō)解析】當(dāng)遇到兩個(gè)以上的數(shù)相加，且他們的值相互接近時(shí)，

可以取一個(gè)中間數(shù)作為基準(zhǔn)，然后再加上每個(gè)加數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差，從

而求得它們的和。在該題中，可以選取2000作為基準(zhǔn)數(shù)，其他數(shù)分

別比2000少3,少2,少1,和多1。故5個(gè)數(shù)的和為9995。這種解

題方法還可以用于求幾個(gè)相近數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。

【例題2】207+326+197+191的值是（）。

A.919B.921

C.923D.925

【答案】B

【師說(shuō)解析】將207分解為200+7,326分解為300+26,197

分解為200—3,191分解為200—9,心算就可得到結(jié)果為921。

（四）運(yùn)用數(shù)學(xué)公式求解

【例題1】25.2+1-23.2的值是（）。

A.96B.97

C.98D.99

【答案】B

【師說(shuō)解析】這道題運(yùn)用平方差公式就很容易得到正確答案為

Bo因此，考生應(yīng)熟記一些基本公式，并能熟練運(yùn)用。

【例題2】982+4X98+4的值是（）。

A.10000B.1000

C.100000D.9000

【答案】A

【師說(shuō)解析】本題有98的平方，又有4=2,,中間的數(shù)可以視為

4X98=22X98,所以上式即成為982+22X98+22=（100）2=10000,

故正確答案應(yīng)該是A。

（五）求比值型

【例題1】有兩個(gè)數(shù)a和b,其中a的（13）是b的5倍，那么

a:b的值是（）。

A.（115）B.15

C.5D.（13）

【答案】B

【師說(shuō)解析】由題意可知（13）a=5b,從中直接可以得出（ab）=15,

故正確答案是B。

（六）比較大小問(wèn)題

（七）對(duì)分問(wèn)題

（八）比例分配型

【例題1】有一筆資金，想用1：2：3的比例來(lái)分，已知第三個(gè)

人分到了450元，那么總共有多少錢？（）。

A.1250元B.1000元

C.900元D.750元

【答案】C

【師說(shuō)解析】由題意中得知第三個(gè)人分到的是

（31+2+3）=（36）=（12）,即整個(gè)資金的一半，那么整個(gè)資金應(yīng)該是450

X2=900元，故正確答案是C。

（九）路程問(wèn)題

【例題】有一架飛機(jī)，來(lái)往于甲城與乙城之間，由于受風(fēng)速的影

響，來(lái)時(shí)為4小時(shí)，回去為5小時(shí)，已知甲、乙兩城之間距離為1000

千米，那么風(fēng)速為多少？（）o

A.22.5千米/小時(shí)B.25千米/小時(shí)

C.20千米/小時(shí)D.3千米/小時(shí)

【答案】B

【師說(shuō)解析】這是一道有阻礙的路程問(wèn)題，即由于一些客觀因

素的存在，使飛機(jī)在前進(jìn)中受到了影響。題中舉出了距離和時(shí)間，兩

個(gè)時(shí)間之差是因?yàn)橛酗L(fēng)，導(dǎo)致了飛機(jī)的速度不一樣。其中4小時(shí)是順

風(fēng)的時(shí)候的時(shí)間，5小時(shí)是逆風(fēng)的時(shí)候的時(shí)間，這樣這道題就成了一

道二元一次方程問(wèn)題了。經(jīng)計(jì)算可以知道正確答案為B。

（十）工程問(wèn)題

【例題1】有一個(gè)工程甲單獨(dú)完成需要3天，乙單獨(dú)完成需要6

天，那么兩個(gè)人合作完成這個(gè)工程則需要多少天？（）。

A.1天B.2天

C.5天D.3夭

【答案】B

【師說(shuō)解析】這是一道典型的工程問(wèn)題。由分析可知甲每天可

以完成（13）,乙可以完成（16）,那么要想完成整個(gè)工程，則需要

（1（13）+（16））二（1（12））二2天，故答案是B。

（十一）預(yù)算問(wèn)題

【例題1】有一個(gè)市開會(huì)，預(yù)算用一筆錢來(lái)做經(jīng)費(fèi)，發(fā)每個(gè)與會(huì)

者的生活補(bǔ)助用了20%的錢，大會(huì)資料的準(zhǔn)備用了1000元，還有其

他一些經(jīng)費(fèi)用了30%,還剩下5000元，那么原預(yù)算數(shù)額是多少元？

()o

A.6000元B.12000元

C.3000元D.8000元

【答案】B

【師說(shuō)解析】這是一道計(jì)算預(yù)算的題，但經(jīng)過(guò)分析的話，可以

知道這種類型的題與比例問(wèn)題是相通的，可以假設(shè)題中的原預(yù)算為a

元，那么根據(jù)題意可以知道a-0.2a-1000-0.3a=5000,經(jīng)過(guò)計(jì)算可以

得出a=12000,故正確答案應(yīng)該是12000元，即B。

(十二)栽樹問(wèn)題

【例題1】有一條路，現(xiàn)在想在路的一邊立電線桿，已知路長(zhǎng)為

100米，且每隔10米立一個(gè)電線桿，那么一共需要多少個(gè)電線桿？

()。

A.9個(gè)B.10個(gè)

C.11個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【師說(shuō)解析】這是一道栽樹問(wèn)題，即給你一段路，在路的一旁

或兩邊種樹(或其他一些事物)。其實(shí)原理跟小學(xué)數(shù)學(xué)中的線段中標(biāo)點(diǎn)

一樣，在做題時(shí)也可以畫一個(gè)線段，然后數(shù)一下自己所標(biāo)的點(diǎn)的數(shù)量

就可以了。按這種方法計(jì)算，可以知道本題的正確答案是11,即C。

【例題2】在圓形的花壇周圍種樹，已知周長(zhǎng)為50米，如果每

隔5米種一棵樹的話，一共可以種多少？（）o

A.9棵B.10棵

C.11棵D.12棵

【答案】B

【師說(shuō)解析】這也是一道標(biāo)點(diǎn)類型問(wèn)題，仔細(xì)的考生可以發(fā)現(xiàn)

這題與上題的區(qū)別，即上題是在沒(méi)有封閉的一個(gè)幾何圖形上標(biāo)點(diǎn)，而

這題是在完全封閉的圖形上標(biāo)點(diǎn)。其數(shù)量也很容易想到，即一個(gè)線段

圈成一個(gè)封閉的幾何圖形的話，其中的起點(diǎn)與終點(diǎn)重疊在一起，即比

原來(lái)少了一個(gè)點(diǎn)，在未封閉的圖形中的點(diǎn)的數(shù)量是比分段的個(gè)數(shù)多一

個(gè)，比如有ns米的線段，在每隔s米點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，那么一共有n+1個(gè)

點(diǎn)，但是在封閉的圖形中則是n個(gè)點(diǎn)，這與圖形的形狀是沒(méi)有關(guān)系的。

在解這一類型的題時(shí)，只要注意一下有沒(méi)有封閉，然后的具體計(jì)算就

比較簡(jiǎn)單了。由此可見(jiàn)，該題的正確答案是B。

（十三）日歷計(jì)算問(wèn)題

【例題】已知昨天是星期一，那么過(guò)200天以后是星期幾？

（）o

A.星期一B.星期二

C.星期六D.星期四

【答案】C

【師說(shuō)解析】這是一道日歷計(jì)算問(wèn)題，其計(jì)算原理是一個(gè)星期以

7天為周期，不斷循環(huán)。題中說(shuō)昨天是星期一，所以今天是星期二,

從今天起數(shù)200天，那么在200天里有多少個(gè)7天，200：7=28…4,

故還剩4天，所以200天后是星期二開始過(guò)4天之后的星期，即星期

六，故答案為C。這種題型也可以隨意改動(dòng)所給的日期或以后再過(guò)的

日數(shù)，但原理是不變的。

（十四）跳井問(wèn)題

【例題1】有一只青蛙在井底，每天爬上4米，又滑下3米，這

井有9米深，那么它爬上這口井一共需要多少天？（）。

A.2天B.6天

C.4天D.7天

【答案】B

【師說(shuō)解析】這是一道跳井類型的問(wèn)題，在答題時(shí)有人還誤認(rèn)為每

天爬上4米后又滑下3米，兩者之間的差額就是每天能爬上去的

量，這樣一算，井有9米深，共需要9天。但這是一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)?/p>

青蛙爬到5米之后，后一天再爬上4米的話，就可以到井頂了，所

以一共需要6天，即答案為B。在解這種類型的題目時(shí)，應(yīng)該畫一

個(gè)初步的解析圖，這有利于對(duì)題目的正確地理解和解答。

數(shù)學(xué)運(yùn)算解題技巧

1.比例分配問(wèn)題

例題：一所學(xué)校一、二、三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)450人，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生比例

2:3：4,問(wèn)學(xué)生人數(shù)最多的年級(jí)有多少人？

A.100B.150C.200D.250

答案為C。解答這種題，可以把總數(shù)看作包括了234=9份，其中人數(shù)最多的

肯定是占4/9的三年級(jí)，所以答案是200人。

2.路程問(wèn)題

例題：某人從甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，離中點(diǎn)還有2.5公里。

問(wèn)甲乙兩地距離多少公里？

A.15B.25C.35D.45

答案為B。全程的中點(diǎn)即為全程的2.5/5處，離2/5處為0.5/5,這段路有2.5

公里，因此很快可以算出全程為25公里。

3.工程問(wèn)題

例題：一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做，15天完成；乙隊(duì)單獨(dú)做，10天完成。兩隊(duì)

合作，幾天可以完成？

A.5天B.6天C.7.5天D,8天

答案為Bo此題是一道工程問(wèn)題。

工程問(wèn)題一般的數(shù)量關(guān)系及結(jié)構(gòu)是：

工作總量

二工作時(shí)間

工作效率

我們可以把全工程看作'V.工作要n天完成推知其工作效率為1/n,兩組

共同完成的工作效率為根據(jù)這個(gè)公式很快可以得到答案為6天。另外,

工程問(wèn)題還可以有許多變式，如水池灌水問(wèn)題等等，都可以用這種思路來(lái)解題。

4.植樹問(wèn)題

例題：若一米遠(yuǎn)栽一棵樹，問(wèn)在345米的道路上栽多少喋樹？

A.343B.344C.345D.346

答案為Do這種題目要注意多分析實(shí)際情況，如本題要考慮到起點(diǎn)和終點(diǎn)兩

處都要栽樹，所以答案為346。

巧解數(shù)學(xué)運(yùn)算七大方法

數(shù)量運(yùn)算是最耗時(shí)的題目，也是一些令教學(xué)比較差的同學(xué)頭

痛，其實(shí)這部分規(guī)律性還是很強(qiáng)的，我這里當(dāng)然不是去講那部分

內(nèi)容，我是跟大家講技巧性的東西。綜合考慮到大家的情況，我

附上我認(rèn)為總結(jié)的比較的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的資料，覺(jué)的基礎(chǔ)不牢固

的朋友可以學(xué)習(xí)下。在此強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，大家在掌握我這幾種方法的

同時(shí)一定要去掌握一下數(shù)量關(guān)系的規(guī)律，規(guī)律就那么幾個(gè)，數(shù)學(xué)

差的掌握一下也問(wèn)題不大。

關(guān)于這部分我講一下怎么看書，就是在我們掌握了規(guī)律之

后，做一下這部分的題目體會(huì)一下規(guī)律，題目不需要太多，你覺(jué)

的會(huì)使用了就行，然后大家可以多去看看規(guī)律，而不要一直做

題，那樣即省時(shí)間有更有效果，那接下來(lái)就講一下我的實(shí)戰(zhàn)方法

了。

第一、代入排除法

“代入排除法”作為數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一大思想，根源于數(shù)學(xué)運(yùn)

算試題的“客觀選擇”特性，有很多題目正面求解相當(dāng)困難，但

結(jié)合選項(xiàng)來(lái)看卻相當(dāng)容易，四個(gè)答案選項(xiàng)是試題的重要組成部

分，能排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)先排除，剩下的選項(xiàng)再代入，就能夠大大

的提高昨天速度。代入排除法是數(shù)學(xué)運(yùn)算最常用的方法，廣泛應(yīng)

用于不定方程問(wèn)題，多位數(shù)問(wèn)題，周期問(wèn)題，整除問(wèn)題，時(shí)間問(wèn)

題等各類問(wèn)題。

［例題］1999年，一個(gè)青年說(shuō)：“今年我的生日已經(jīng)過(guò)了，

我現(xiàn)在的年齡正好是我出生的年份的4個(gè)數(shù)字之和”，這個(gè)青年是

哪年出生的？（）

A.1975B.1976

C.1977D.1798

【師說(shuō)解析】此題直接求不知道如何下手，采用代入法就很

快能夠知道答案選Bo

第二、整除法

【例題】甲乙共有圖書260本，其中甲有專業(yè)書13%,乙有專

業(yè)書12.5%,那么甲的非專業(yè)書有多少本？（）

A.75B.87

C.174D.67

【師說(shuō)解析】根據(jù)“整除”的思想，甲的非專業(yè)書為87%,應(yīng)

被87整除，鎖定B和Cc乙的書的總量應(yīng)該被8整除（12.5%就

是1/8）,如果甲的非專業(yè)書有174本，甲有200本書，乙的書只

有60本不被8整除，所以選Bo

第三、倍數(shù)法

［例題］鋪設(shè)一條自來(lái)水管道，甲對(duì)單獨(dú)鋪設(shè)8天可以完

成，而乙對(duì)每天可鋪設(shè)50米。如果甲乙兩隊(duì)同時(shí)鋪設(shè)，4天可以

完成全長(zhǎng)的2/3,這條管道全長(zhǎng)是多少米？（）

A.1000B.1100

C.1200D.1300

【師說(shuō)解析】此題一般的人會(huì)用方程法，如果我們也用方程

法，那我們也是一般人，公務(wù)員不是選一般人的。此題用倍數(shù)法

很快，我來(lái)看一下，“4天完成全長(zhǎng)的2/3”說(shuō)明全長(zhǎng)是3的倍數(shù)，

利用答案應(yīng)該滿足3的倍數(shù)特征結(jié)合選項(xiàng)直接選Co

第四、數(shù)字大小法

【例題】去年，甲的年齡是乙的年齡的5倍。明年，甲的年齡

是乙的4倍。問(wèn)甲乙兩人今年的年齡分別是多少歲？（）

A.31歲，7歲B.32歲，8歲

C.30歲，6歲D.29歲，5歲

【師說(shuō)解析】根據(jù)常識(shí)我們知道隨著年齡的增大兩個(gè)的年齡的

比例越來(lái)越小。我舉個(gè)例子，假如你1歲的時(shí)候你爸爸26歲，你爸

爸的歲數(shù)跟你的歲數(shù)比例是26:1。但你2歲的時(shí)候你爸爸27歲

了。你爸爸的歲數(shù)跟你的歲數(shù)比例是27:2,明顯小于26:1,因?yàn)?/p>

2X26=52o知道這個(gè)原理這個(gè)題目就好辦了。

今年甲乙兩人的年齡之比應(yīng)該在4和5之間，只能選A。

第五、因數(shù)法

【例題】一個(gè)商場(chǎng)搞促銷，晚上八點(diǎn)以后全場(chǎng)商品在原來(lái)折

扣基礎(chǔ)上再打9.5折，付款滿400元再減100元，已知一個(gè)鞋柜

全場(chǎng)8.5折，一個(gè)人晚上九點(diǎn)多去改鞋柜買了一雙鞋，享受所以

折扣，花了484.5元，問(wèn)這雙鞋的原來(lái)為多少錢？（）

A.550元B.600元

C.650元D.700元

【師說(shuō)解析】計(jì)算量比較大，而只要注意到分子484.5中含

有因數(shù)3.而因數(shù)3沒(méi)有被分母約掉，所以必然保留到最后的結(jié)果

中，而四個(gè)選項(xiàng)中只有B能夠被3整除，所以答案選B。

第六、奇偶法

［例題］有甲乙兩個(gè)項(xiàng)目組，乙組任務(wù)臨時(shí)加重時(shí)，從甲組

抽調(diào)四分之一的組員，此后甲組任務(wù)有所加重，于是又從乙組調(diào)

回了重組后乙組人數(shù)的十分之一。此時(shí)甲組和乙組的人數(shù)相等。

由此可以得出結(jié)論（）。

A.甲組原有16人，乙組原有11人

B.甲乙兩組原組員之比為16:11

C.甲組原有16人，乙組原有11人

D.甲乙兩組原組員的人數(shù)之比為11：16

【師說(shuō)解析】最終甲組和乙組的人數(shù)相等，說(shuō)明甲乙兩組人

數(shù)之和為偶數(shù)，排除B,D,從甲組抽調(diào)四分之一的組員后又從乙

組調(diào)回了重組后乙組的人數(shù)的十分之一，甲組和乙組的人數(shù)相

等。依據(jù)常識(shí)可以知道最初甲組的人數(shù)較多。所以選B。

第七、估算法

有些題目我們不用算，我們只要通過(guò)畫圖或者通過(guò)大概的估算就

知道答案的范圍，如果只有一個(gè)答案在這個(gè)范圍內(nèi)，那我們不就知道

答案了嗎？還有一種就是我們發(fā)現(xiàn)題目比較難算，出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，我們這

時(shí)候在算的時(shí)候就可以做一個(gè)估算，算出跟哪個(gè)答案更接近，就選哪

個(gè)。

關(guān)于多項(xiàng)式展開項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題

之經(jīng)驗(yàn)分享

首先，我想說(shuō)的就是，通過(guò)這題，對(duì)這題的掌握，可以使不懂插

板法的朋友，多少對(duì)插板法有點(diǎn)印象。

下面說(shuō)的多項(xiàng)式展開項(xiàng)數(shù)就用到插板法這個(gè)原理。

要說(shuō)用到插板法，就先必須講講什么情況可以用到（）：

插板法就是在n個(gè)元素間的(n-1)個(gè)空中插入若干個(gè)(b)個(gè)

板，可以把n個(gè)元素分成(b+1)組的方法。

應(yīng)用插板法必須滿足三個(gè)條件：

(1)這n個(gè)元素必須互不相異。

(2)所分成的每一組至少分得一個(gè)元素。

(3)分成的組別彼此相異。

插板法的條件可以簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化一種說(shuō)法，即：

(1)數(shù)量多的元素相同。

(2)數(shù)量少的元素不同。

(3)數(shù)量少的每個(gè)元素至少要有一個(gè)數(shù)量多的元素。

舉個(gè)很普通的例子來(lái)說(shuō)明

把8個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)，問(wèn)

有幾種情況？

2

問(wèn)題的題干滿足條件(1)(2),適用插板法，C7=21o

接下來(lái)看例題：

(X+Y+Z)［。的項(xiàng)數(shù)是多少?

A.55B.66

C.78D.91

這道題，很多朋友對(duì)這題可能會(huì)想到高中時(shí)的多項(xiàng)式分解，的確，

那樣做可以，但今天在這里要講的就是，還有更簡(jiǎn)便的方法。

我們先看看這第一種方法：

(x+y+z)1O=CO1O*(x+y)1O+C110*(x+y)-9*z+???+C9

10*(x+y)*z"9+C1010*z"10

(x+y)"10有11項(xiàng)

(x+y)-9*z有10項(xiàng)

一起有11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66項(xiàng)

在這里，可以簡(jiǎn)單利用插板法，直接G22二66

但為什么是用插板法呢？

(A+B+C+D+……+N)-M括號(hào)里面有N項(xiàng)

下面是我歸納的公式：C[(M+N-1),(N-1)]

用任何項(xiàng)數(shù)和任何次方去代，都是可以。

看到這里我們是不是看到有點(diǎn)像是插板法的感覺(jué)了呢？

但為什么就是插板法呢？

繼續(xù)以例題為列子：

(A+B+C)10,展開的項(xiàng)數(shù)的多少？

這時(shí)，N=3,M=10

A、B、C相當(dāng)于是不同的盤子，而10次方相當(dāng)于是10個(gè)相同的

蘋果

于是這題可以轉(zhuǎn)化成，有10個(gè)相同的蘋果，放到3個(gè)不同的盤

子里，有幾種方法？

而這距離插板法的第三點(diǎn)條件“至少一個(gè)”還差了點(diǎn)，因此，這

題還得用軍團(tuán)云淡的“蘋果法”將其轉(zhuǎn)變

假設(shè)原來(lái)的3個(gè)盤子里已經(jīng)有了3個(gè)和外面10個(gè)相同的蘋果了,

所以此時(shí)的蘋果總數(shù)變成了10+3二13個(gè)

現(xiàn)在已經(jīng)滿足了“至少一個(gè)”的條件，所以已經(jīng)符合插板法的全

部條件

因此我們看，13個(gè)相同的蘋果放到3個(gè)不相同的盤子里，每個(gè)

盤子至少放一個(gè)蘋果，有幾種方法？

13個(gè)蘋果有12個(gè)空，用2塊板可以將其分成3堆，也就是分放

2

到3個(gè)盤子里，因此就是：C12=66

所以，多項(xiàng)式次方的展開項(xiàng)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化成插板法來(lái)做。

“中國(guó)剩余定理”算理及其應(yīng)用

為什么這樣解呢？因?yàn)?0是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。

21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公信數(shù)，且除

以7余1。（任何一個(gè)一次同余式組，只要根據(jù)這個(gè)規(guī)律求出那幾個(gè)

關(guān)鍵數(shù)字，那么這個(gè)一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這

三個(gè)數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個(gè)積加起來(lái)是233,符合題意，

但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，

剩下的差就是最小的一個(gè)答案。

用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三

個(gè)數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)家又研究了這個(gè)

問(wèn)題，運(yùn)用了像上面分析的方法那樣進(jìn)行解答。

例1:一個(gè)數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個(gè)數(shù)最小

是幾？

題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔4,5〕=20;(3,5〕=15;(3,4]=12；(3,4,5〕二60。

為了使20被3除余1,用20X2=40；

使15被4除余1,用15X3=45;

使12被5除余1,用12X3=36o

然后，40X1+45X2+36X4=274,

因?yàn)椋?74>60,所以，274-60X4=34,就是所求的數(shù)。

例2:一個(gè)數(shù)被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個(gè)數(shù)最小

是幾？

題中3、7、8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

貝”〔7,8〕二56;(3,8〕=24；〔3,7〕=21；[3,7,8〕二168。

為了使56被3除余1,用56X2=112;

使24被7除余1,用24X5=120。

使21被8除余1,用21X5=105;

然后，112X2+120X4+105X5=1229,

因?yàn)椋?229>168,所以，1229-168X7=53,就是所求的數(shù)。

例3:一個(gè)數(shù)除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條

件的最小的自然數(shù)。

題中5、8、11三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔8,11〕=88;[5,11];55;（5,8〕二40；〔5,8,11]=440o

為了使88被5除余1,用88X2=176;

使55被8除余1,用55X7=385;

使40被11除余1,用40X8=320。

然后，176X4+385X3+320X2=2499,

因?yàn)椋?499>440,所以，2499-440X5=299,就是所求的數(shù)。

例4：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1

人，每5人一排多2人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人？（幸福123老

師問(wèn)的題目）

題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔7,5〕=35;〔9,5〕二45;〔9,7〕=63;[9,7,5〕二315。

為了使35被9除余1,用35X8=280;

使45被7除余1,用45X5=225;

使63被5除余1,用63X2=126。

然后，280X5+225X1+126X2=1877,

因?yàn)椋?877>315,所以，1877-315X5=302,就是所求的數(shù)。

例5:有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2

人，每5人一排多3人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人？（澤林老師的

題目）

題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔7,5〕二35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;[9,7,5〕二315。

為了使35被9除余1,用35X8=280;

使45被7除余1,用45X5=225;

使63被5除余1,用63X2=126。

然后，280X6+225X2+126X3=2508,

因?yàn)椋?508>315,所以，2508-315X7=303,就是所求的數(shù)。

（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個(gè)余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相

同，所不同的就是最后兩步。）

關(guān)于“中國(guó)剩余定理”類型題目的另外解法：

“中國(guó)剩余定理”解的題目其實(shí)就是“余數(shù)問(wèn)題”，這種題目，

也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。小學(xué)奧賽考試時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)，也用過(guò),

現(xiàn)在把方法寫出來(lái)。

選了一本小學(xué)奧賽的書上的題目，講下：

例一，一個(gè)數(shù)被5除余2,被6除少2,被7除少3,這個(gè)數(shù)最

小是多少？

解法：題目可以看成，被5除余2,被6除余4,被7除余4o

看到那個(gè)“被6除余4,被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求

出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4,就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7

+4=46O下面一步試下46能不能滿足第一個(gè)條件“一個(gè)數(shù)被5除余

2”。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42,一直加到能

滿足“一個(gè)數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍

數(shù)，再怎么加都會(huì)滿足

“被6除余4,被7除余4”的條件。

46+42=88

46+42+42=130

46+42+42+42=172

這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況。

例二，一個(gè)班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五

人就多三人，每組七人就多四人，問(wèn)這個(gè)班有多少學(xué)生？

解法：題目可以看成，除3余2,除5余3,除7余4。沒(méi)有同余

的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找

出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加4,直到所得的數(shù)除5余

3o得出數(shù)為18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35,

直到滿足“除3余2”

4+7=11

11+7=18

18+35=53

這種方法也可以解“中國(guó)剩余定理”解的題目。比“中國(guó)剩余定

理，，更好理解，速度上會(huì)比那個(gè)繁瑣的公式化的解題更快。

往返平均速度公式及其應(yīng)用

2

某人以速度a從A地到達(dá)B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的

2ab

v=-------

平均速度

證明：設(shè)A、B兩地相距S,則

SS

往返總路程2S,往返總共花費(fèi)時(shí)間ab

2s2ab

V==

故ab

下面舉例說(shuō)明這一公式的應(yīng)用。

例L一架飛機(jī)所帶燃料最多可用6小時(shí)，飛機(jī)順風(fēng)，每小時(shí)可飛1500千

米，飛回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)可飛1200千米，這架飛機(jī)最多飛出——千

米，就需往回飛？

2x1500x1200_4000

解：飛機(jī)往返的平均速度為1500+12003~千米/時(shí)

往返總路程為竿血'°。。千米

故這架飛機(jī)最多飛出限4。。。千米,就需往回飛.

例2.張師傅駕駛一輛載重汽車從縣城到省城送貨，到達(dá)省城后馬上卸貨

并隨即沿原路返回。他駕駛這輛汽車去時(shí)每小時(shí)行56千米，返回時(shí)每小時(shí)行

64千米，往返一趟共用去12小時(shí)（在省城卸貨所用時(shí)間略去不計(jì)）。張師傅

在省城和縣城之間往返一趟共行多少千米？

解：張師傅往返一趟共行

2x64x56

x12=716.8

64+56千米

答：張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行716.8千米。

植樹與方陣問(wèn)題基礎(chǔ)習(xí)題

基礎(chǔ)習(xí)題

1.一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是150米，每隔3米栽種一棵樹.

問(wèn)：共需樹苗多少株？

2.有一條2000米的公路，在路兩邊每相隔50米埋設(shè)一根路燈桿，

從頭到尾需要埋設(shè)路燈桿多少根？

3.某大學(xué)從校門口的門柱到教學(xué)樓墻根，有一條1000米的甬路，

每邊相隔8米栽一棵白楊，可以栽白楊多少棵？

4.有一正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四個(gè)角各種1棵，共

種樹多少棵？

5.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時(shí)從路的一端的某

一棵樹出發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時(shí)，乙剛走到從乙那

邊數(shù)的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問(wèn)：甲每分鐘走多少米？

6.有一個(gè)等邊三角形的花壇，邊長(zhǎng)20米。每個(gè)頂點(diǎn)都要栽一棵

月季花，每相隔2米再栽一棵月季花，花壇一周能栽多少棵月季花？

7.有一個(gè)正方形水池，外沿邊長(zhǎng)40米。沿著外沿圍一圈鐵欄桿，

每個(gè)角上都要埋一根豎鐵管，每相隔2米再埋一根豎鐵管，可埋豎鐵

管多少根？（請(qǐng)用不同的方法解答）

8.馬路的每邊相隔7米有一棵國(guó)槐，小軍乘無(wú)軌電車3分看到馬

路的一邊有國(guó)槐151棵，無(wú)軌電車每小時(shí)行多少千米？（1千米=1000

米）

9.慶祝建國(guó)40周年，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共52輛，每輛車

長(zhǎng)4米，前后每輛車相隔6米，車隊(duì)每分行駛105米。這列車隊(duì)要通

過(guò)536米長(zhǎng)的檢閱場(chǎng)地，需要多少分？

習(xí)題答案

1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)二段數(shù)，150箕3二50（棵）。

2.41根。20004-50+1=41（根）。

3.248棵。（1000：8-1）X2=124X2=248（棵）。

4.提示：在正方形操場(chǎng)邊上栽樹.正方形邊長(zhǎng)都相等，四個(gè)角上

栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1二16

（棵），共栽：（177）X4=64（棵）。答：共栽樹64棵。

5.解：甲走到第22棵樹時(shí)走過(guò)了227=21（個(gè)）棵距.同樣乙走

過(guò)了10-1=9（個(gè)）棵距.乙走到第10棵樹，所用的時(shí)間為（9X棵距

4-36）,這個(gè)時(shí)間也是甲走過(guò)21個(gè)棵距的時(shí)間，甲的速度為：21X棵

距；（9X棵距：36）=84米/分。答：甲的速度是每分鐘84米。

6.30棵。20X3+2=30（棵）。

7.80根。解法1:40X4：2=160：2=80（根）。解法2：（404-

2+1）X2+（404-2-1）X2=21X2+19X2=42+38=80（根）。解法3:

(40X24-2+1)+(40X2:27)=41+39=80(根)。

8.21千米。先求出無(wú)軌電車3分行駛的路程，再求每分行駛的路

程，最后求每小時(shí)行的路程。7X(1517);3X60：1000=7X150：

3X60+1000=21(千米)?；?XX(60+3)+1000=7X150

義20：1000=21(千米)。

9.10分。車隊(duì)行駛的路程等于檢閱場(chǎng)地的長(zhǎng)度與車隊(duì)長(zhǎng)度的和。

[4X52+6X(52-1)+536]4-105=(208+306+536)05=10504-105

=10(分)。

數(shù)學(xué)運(yùn)算習(xí)題訓(xùn)練

1.甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，并在A,B兩地間不斷往返

行駛.已知甲車的速度是15千米/小時(shí)，乙車的速度是每小時(shí)35千

米，甲、乙兩車第三次相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)相差100千米.求

A、B兩地的距離.

A.200千米B.250千米

C.300千米D.350千米

【師說(shuō)解析】：V甲：V乙二3:7,把全程看成10分，當(dāng)甲第三

次相遇時(shí)走了3+2*6=15份，在中點(diǎn)位置，當(dāng)?shù)谒拇蜗嘤鰰r(shí)甲走了21

分，在離A點(diǎn)1份位置，第三次離第四次相遇差4份。AB=100/4*10=250

千米。

2.A、B兩地相距207千米，甲、乙兩車8:00同時(shí)從A地出發(fā)到

B地，速度分別為60千米/小時(shí)，54千米/小時(shí)，丙車8:30從B地

出發(fā)到A地，速度為48千米/小時(shí).丙車與甲、乙兩車距離相等時(shí)是

幾點(diǎn)幾分？

A.9點(diǎn)36分B.9點(diǎn)48分

C.10點(diǎn)12分D.10點(diǎn)24分

【師說(shuō)解析兒假設(shè)有輛車X跟甲乙同時(shí)出發(fā)速度是57,那么在

任何時(shí)候X都在甲乙兩車的中間位置。當(dāng)X與丙相遇用的時(shí)間，(207-

57/2)/(57+48)=1.7小時(shí)。相遇的時(shí)刻為8.5+1.7=10.2小時(shí)即10點(diǎn)、

12分。

3.同樣走100米，小明要走180步，父親要走120步.父子同時(shí)

同方向從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果每走一步所用的時(shí)間相同，那么父親走

出450米后往回走，還要走多少步才能遇到小明？

A.108B.116

C.124D.132

【師說(shuō)解析兒父子倆共走450X2=900米。其中父親走的路程為

900X180/(180+120)=540米。父親往回走的路程540-450=90米，

還要走120X90/100=108步。

4.小明步行從甲地出發(fā)到乙地，李剛崎摩托車同時(shí)從乙地出發(fā)到

甲地.48分鐘后兩人相遇，李剛到達(dá)甲地后馬上返回乙地，在第一次

相遇后16分鐘追上小明.如果李剛不停地往返于甲、乙兩地，那么當(dāng)

小明到達(dá)乙地時(shí)，李剛共追上小明幾次？

A.3B.4

C.5D.7

【師說(shuō)解析】：當(dāng)?shù)诙蜗嘤鰰r(shí)小明走了16份，李剛走了

48*2+16=112份，速度比為1:7,當(dāng)小明走了1個(gè)全程，李剛走了7

個(gè)全程，追上次數(shù)二(7-1)/2=3。

5.一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地。大轎車的速度是

小轎車速度的80%。已知大轎車比小轎車早出發(fā)17分鐘，但在兩地

中點(diǎn)停了5分鐘，才繼續(xù)駛往乙地；而小轎車出發(fā)后中途沒(méi)有停，直

接駛往乙地，最后小轎車比大轎車早4分鐘到達(dá)乙地。又知大轎車是

上午10時(shí)從甲地出發(fā)的。那么小轎車是在上午什么時(shí)候追上大轎車

的

A.11點(diǎn)05分B.11點(diǎn)10分

C.11點(diǎn)15分D.11點(diǎn)20分

【師說(shuō)解析兒還是比例法，V大：V小二4：5時(shí)間比為5:4,當(dāng)

小車到達(dá)乙地時(shí)，大車比小車晚17-5+4=16分，這里的時(shí)間指都在行

駛的時(shí)間，大車行完全程要80分，小車要64分。大車在中點(diǎn)出發(fā)時(shí)

時(shí)間80/2+5=45分，小車在中點(diǎn)時(shí)間64/2+17=49分，在中點(diǎn)是大車

比小車早出發(fā)4分鐘，根據(jù)時(shí)間比小車追上大車還要4*4=16分種。

所以追上大車時(shí)經(jīng)過(guò)了49+16二65分鐘，早上10點(diǎn)出發(fā)，追上時(shí)為11

點(diǎn)05分。

6.某人開汽車從A城到B城要行200千米，開始時(shí)他以56千米/

小時(shí)的速度行駛，但途中因汽車故障停車修理用去半小時(shí)，為了按時(shí)

至達(dá)，他必須把速度增加14千米/小時(shí)，跑完以后的路程，他修車的

地方距離A城多少千米？

A.60千米B.88千米

C.116千米D.72千米

【師說(shuō)解析】：V原：V提=56:70=4：5時(shí)間比二5:4相差1比

例點(diǎn)為1/2小時(shí)，后面提速的路程用原速走需要5/2小時(shí)，離A點(diǎn)距

離二200-56*5/2=60千米。

7.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，已知甲車速度與

乙車速度之比為4:3,C地在A、B之間，甲、乙兩車到達(dá)C地的時(shí)

間分別是上午8點(diǎn)和下午3點(diǎn)，問(wèn)甲、乙兩車相遇是什么時(shí)間？

A.10點(diǎn)B.10點(diǎn)30分

C.11點(diǎn)D.11點(diǎn)30分

解析：已知V甲：V乙二4：3,設(shè)甲車1小時(shí)走4份，乙車走3份，

甲車8點(diǎn)到達(dá)C地時(shí)，乙車距離C地=3*(12-8+3)=21份，相遇所用

時(shí)間=21/(4+3)=3小時(shí)，所以相遇的時(shí)間=8+3二11點(diǎn)鐘。

8.小明通?？偸遣叫猩蠈W(xué)，有一天他想鍛煉身體，前1/3路程快

跑，速度是步行速度的4倍，后一段的路程慢跑，速度是步行速度的

2倍.這樣小明比平時(shí)早35分到校，小明步行上學(xué)需要多少分鐘？

A.48分B.60分

C.72分D.140分

【師說(shuō)解析兒設(shè)步行到學(xué)校的時(shí)間為1份，跑步所用的時(shí)間

=1/3/4+2/3/2二1/12+1/3=5/12份，1份-5/12份二7/12份二35分所

以1份二60分，答案為Bo

9.一條船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度為9千

米/小時(shí)，平時(shí)逆行與順行所用時(shí)間的比為2：1。一天因下雨，水流

速度為原來(lái)的2倍，這條船往返共用10小時(shí)，問(wèn)甲、乙兩港相距多

少千米？

A.20B.25

C.30D.50

【師說(shuō)解析兒沒(méi)下雨前，V順：V逆二2：1V靜水速度為3/2比

例點(diǎn)為9,所以V水速為1/2比例點(diǎn)為3千米/小時(shí)；下雨時(shí)，V順

=9+2*3=15千米/小時(shí)，V逆二9-2*3=3千米/小時(shí)，V順：V逆=5:1,

時(shí)間比為1:5,順?biāo)脮r(shí)間二10/6小時(shí),甲乙距離二15*10/6=25千

米，選B。

10.甲、乙兩車先后離開學(xué)校以相同的速度開往博物館，已知8：

32分甲車與學(xué)校的距離是乙車與學(xué)校距離的3倍，8:39分甲車與學(xué)

校的距離是乙車與學(xué)校距離的2倍，求甲車離開學(xué)校的時(shí)間.

A.8點(diǎn)4分B.8點(diǎn)11分

C.8點(diǎn)18分D.8點(diǎn)25分

【師說(shuō)解析兒以8:32分為參照，S甲二3s乙，8:39分，速度

相同，7分鐘路程為A,則3S乙+A=2*（S乙+A）,S乙二A二7分鐘的

路程。S甲二3A二21分鐘的路程，所以甲車離開學(xué)校時(shí)間二8：32分-21

分二8點(diǎn)：11分。

11.快車以60千米/小時(shí)的速度從甲站向乙站開出，1.5小時(shí)后,

慢車以40千米/小時(shí)的速度從乙站行甲站開出，。兩車相遇時(shí)，相遇

點(diǎn)離兩站的中點(diǎn)70千米。甲、乙兩站相距多少千米？

A.270B.290

C.340D.370

解析，方法一：相遇點(diǎn)離兩站的中點(diǎn)70千米得快車比慢車多行

了140千米，但快車先行了60*1.5=90千米，得實(shí)際多行了140-

90=50千米，兩車同行了50/(60-40)=2.5小時(shí)則兩地相距90+

(60+40)*2.5=340千米。方法二：設(shè)路程為S,S/2-(S-90)*40/100=70

解S=340,選C。

12.在一條長(zhǎng)12米的電線上，黃甲蟲在8:20從右端以每分鐘15

厘米的速度向左端爬去；8:30紅甲蟲和藍(lán)甲蟲從左端分別以每分鐘

13厘米和11厘米的速度向右端爬去，紅甲蟲在什么時(shí)刻恰好在藍(lán)甲

蟲和黃甲蟲的中間？

A.8:55B.9:05

C.9:15D.9:25

【師說(shuō)解析】：(1200-10*15)/(15+15)=35分。相遇時(shí)間二8:

30+35分=9:05,選B。

13.在一條筆直的公路上，甲、乙兩地相距600米，A每小時(shí)走

4千米，B每小時(shí)走5千米。上午8時(shí)，他們從甲、乙兩地同時(shí)相向

出發(fā)，1分鐘后，他們都調(diào)頭向相反的方向走，就是依次按照1,3,

5,7……連續(xù)奇數(shù)分鐘的時(shí)候調(diào)頭走路。他們?cè)趲讜r(shí)幾分相遇？

A.8:08B.8:15

C.8:24D.8:35

【師說(shuō)解析】：都不掉頭，需要0.6/(4+5)=1/15小時(shí)二4分鐘1-

3+5-7+9=5,所以應(yīng)該在那個(gè)9分鐘里相遇，比9少1分，1+3+5+7+8=24

分，答案是8:24,選C。

14.甲、乙兩物體沿環(huán)形跑道相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從相距150米(環(huán)形跑道

上小弧的長(zhǎng))的兩點(diǎn)出發(fā)，如果沿小弧運(yùn)動(dòng)，甲和乙第10秒相遇，

如果沿大弧運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)14秒相遇。已知當(dāng)甲跑完環(huán)形跑道一圈時(shí)，

乙只跑90米。求甲、乙兩物體運(yùn)動(dòng)的速度？

A.8米/秒，2米/秒B.12米/秒，3米/秒

C.16米/秒，4米/秒D.20米/秒，5米/秒

【師說(shuō)解析】：甲乙速度和：150/10=15米/秒，大弧長(zhǎng)是：

15*14=210米，環(huán)形跑道的周長(zhǎng)是150+210=360米。由360：90得甲

乙速度比是4