《人行行測知識專項》第3章數(shù)量關系

數(shù)學計算命題形式、答題

技巧及常見題型

-一、命題形式

數(shù)學運算題主要考查應試者的運算能力。這類試題難易程度差異

較大，有的只需心算就能完成，有的則要經過演算才能正確作答。

數(shù)學運算題的出題方式有兩種：

1.算式計算，即給出一個四則運算的數(shù)學算式，直接要求考生

在最短時間內準確地計算出結果，并判斷所計算的結果與備選項中哪

一項相同。

2.算術應用題，即給出一段表述數(shù)量關系的文字，要求考生迅

速、準確地計算出試題要求的結果，并判斷所計算的結果與備選項中

哪一項相同。

二、答題技巧

1.掌握一些常用的數(shù)學運算技巧、方法和規(guī)律，尤其是一些數(shù)

學運算公式，盡量多用簡便算法。

2.正確理解和分析文字表達，正確把握題意，切忌被題中一些

枝節(jié)所誘導，落入出題者的圈套中。

3.熟練掌握一定的題型及解題方法。

4.加強訓練，增強對數(shù)字的敏感程度，并熟記一些基本數(shù)字。

5.學會使用排除法來提高命中率。在時間緊張而又找不出其他

解題捷徑的情況下，可對部分選項進行排除，尤其是一些計算量大的

題目，可以根據選項中數(shù)值的大小、尾數(shù)、位數(shù)等方面來排除，提高

答對的概率。

三、常見題型

（一）首尾數(shù)估算法

[例題1]425+683+544+828的值是（）。

A.2488B.2486

C.2484D.2480

【答案】D

【師說解析】在四則運算中，如果幾個數(shù)的數(shù)值較大，又似乎沒

有什么規(guī)律可循，可以先利用個位進行運算得到尾數(shù)，再與選項中的

尾數(shù)進行對比，如果有惟一的對應項，就可立即找到答案。該題中各

項的個位數(shù)相加等于5+3+4+8=20,尾數(shù)為0,4個選項中只有一

個尾數(shù)也為0,故正確選項為D。

【例題2】158,93+75,62-11,475的值是（）。

A.203.075B.213.075

C.222.075D.223,075

【答案】D

【師說解析】本題只需計算整數(shù)部分，因為4個選項的尾數(shù)都

相同。經過計算可以知道本題的正確答案為D。有些比較復雜的小數(shù)

點計算問題，其實題意是要求對小數(shù)點部分進行運算，這樣利用排除

法就可以直接選出答案。

（二）湊整法

【例題1】12,5X0,25X0,5義32的值是（）。

A.50B.100

C.50.25D.25

【答案】A

【師說解析】“湊整法”是簡便運算中最常用的方法，即根據交

換律、結合律把可以湊成整數(shù)的數(shù)放在一起運算，從而提高運算速度。

這道題是“湊整法”的典型習題，首先把32拆開成為4X8,再運用

交換率和結合率，使12.5X8結果為整100,0.25X4的結果為整1,

心算就可得出答案為50o

【例題2】2.2+12.6+5.8+7.4的值是（）。

A.29B.28

C.30D.29.2

【答案】B

【師說解析】本題根據加法的交換律和結合律，使（2.2+5.8）的

結果為整8.0,（12.6+7.4）的結果為整20.0,顯然計算起來快捷方

便。（三）基準數(shù)法

【例題1】1997+1998+1999+2000+2001的值是（）。

A.9993B.9994

C.9995D.9996

【答案】C

【師說解析】當遇到兩個以上的數(shù)相加，且他們的值相互接近時，

可以取一個中間數(shù)作為基準，然后再加上每個加數(shù)與基準數(shù)的差，從

而求得它們的和。在該題中，可以選取2000作為基準數(shù)，其他數(shù)分

別比2000少3,少2,少1,和多1。故5個數(shù)的和為9995。這種解

題方法還可以用于求幾個相近數(shù)的算術平均數(shù)。

【例題2】207+326+197+191的值是（）。

A.919B.921

C.923D.925

【答案】B

【師說解析】將207分解為200+7,326分解為300+26,197

分解為200—3,191分解為200—9,心算就可得到結果為921。

（四）運用數(shù)學公式求解

【例題1】25.2+1-23.2的值是（）。

A.96B.97

C.98D.99

【答案】B

【師說解析】這道題運用平方差公式就很容易得到正確答案為

Bo因此，考生應熟記一些基本公式，并能熟練運用。

【例題2】982+4X98+4的值是（）。

A.10000B.1000

C.100000D.9000

【答案】A

【師說解析】本題有98的平方，又有4=2,,中間的數(shù)可以視為

4X98=22X98,所以上式即成為982+22X98+22=（100）2=10000,

故正確答案應該是A。

（五）求比值型

【例題1】有兩個數(shù)a和b,其中a的（13）是b的5倍，那么

a:b的值是（）。

A.（115）B.15

C.5D.（13）

【答案】B

【師說解析】由題意可知（13）a=5b,從中直接可以得出（ab）=15,

故正確答案是B。

（六）比較大小問題

（七）對分問題

（八）比例分配型

【例題1】有一筆資金，想用1：2：3的比例來分，已知第三個

人分到了450元，那么總共有多少錢？（）。

A.1250元B.1000元

C.900元D.750元

【答案】C

【師說解析】由題意中得知第三個人分到的是

（31+2+3）=（36）=（12）,即整個資金的一半，那么整個資金應該是450

X2=900元，故正確答案是C。

（九）路程問題

【例題】有一架飛機，來往于甲城與乙城之間，由于受風速的影

響，來時為4小時，回去為5小時，已知甲、乙兩城之間距離為1000

千米，那么風速為多少？（）o

A.22.5千米/小時B.25千米/小時

C.20千米/小時D.3千米/小時

【答案】B

【師說解析】這是一道有阻礙的路程問題，即由于一些客觀因

素的存在，使飛機在前進中受到了影響。題中舉出了距離和時間，兩

個時間之差是因為有風，導致了飛機的速度不一樣。其中4小時是順

風的時候的時間，5小時是逆風的時候的時間，這樣這道題就成了一

道二元一次方程問題了。經計算可以知道正確答案為B。

（十）工程問題

【例題1】有一個工程甲單獨完成需要3天，乙單獨完成需要6

天，那么兩個人合作完成這個工程則需要多少天？（）。

A.1天B.2天

C.5天D.3夭

【答案】B

【師說解析】這是一道典型的工程問題。由分析可知甲每天可

以完成（13）,乙可以完成（16）,那么要想完成整個工程，則需要

（1（13）+（16））二（1（12））二2天，故答案是B。

（十一）預算問題

【例題1】有一個市開會，預算用一筆錢來做經費，發(fā)每個與會

者的生活補助用了20%的錢，大會資料的準備用了1000元，還有其

他一些經費用了30%,還剩下5000元，那么原預算數(shù)額是多少元？

()o

A.6000元B.12000元

C.3000元D.8000元

【答案】B

【師說解析】這是一道計算預算的題，但經過分析的話，可以

知道這種類型的題與比例問題是相通的，可以假設題中的原預算為a

元，那么根據題意可以知道a-0.2a-1000-0.3a=5000,經過計算可以

得出a=12000,故正確答案應該是12000元，即B。

(十二)栽樹問題

【例題1】有一條路，現(xiàn)在想在路的一邊立電線桿，已知路長為

100米，且每隔10米立一個電線桿，那么一共需要多少個電線桿？

()。

A.9個B.10個

C.11個D.12個

【答案】C

【師說解析】這是一道栽樹問題，即給你一段路，在路的一旁

或兩邊種樹(或其他一些事物)。其實原理跟小學數(shù)學中的線段中標點

一樣，在做題時也可以畫一個線段，然后數(shù)一下自己所標的點的數(shù)量

就可以了。按這種方法計算，可以知道本題的正確答案是11,即C。

【例題2】在圓形的花壇周圍種樹，已知周長為50米，如果每

隔5米種一棵樹的話，一共可以種多少？（）o

A.9棵B.10棵

C.11棵D.12棵

【答案】B

【師說解析】這也是一道標點類型問題，仔細的考生可以發(fā)現(xiàn)

這題與上題的區(qū)別，即上題是在沒有封閉的一個幾何圖形上標點，而

這題是在完全封閉的圖形上標點。其數(shù)量也很容易想到，即一個線段

圈成一個封閉的幾何圖形的話，其中的起點與終點重疊在一起，即比

原來少了一個點，在未封閉的圖形中的點的數(shù)量是比分段的個數(shù)多一

個，比如有ns米的線段，在每隔s米點一個點，那么一共有n+1個

點，但是在封閉的圖形中則是n個點，這與圖形的形狀是沒有關系的。

在解這一類型的題時，只要注意一下有沒有封閉，然后的具體計算就

比較簡單了。由此可見，該題的正確答案是B。

（十三）日歷計算問題

【例題】已知昨天是星期一，那么過200天以后是星期幾？

（）o

A.星期一B.星期二

C.星期六D.星期四

【答案】C

【師說解析】這是一道日歷計算問題，其計算原理是一個星期以

7天為周期，不斷循環(huán)。題中說昨天是星期一，所以今天是星期二,

從今天起數(shù)200天，那么在200天里有多少個7天，200：7=28…4,

故還剩4天，所以200天后是星期二開始過4天之后的星期，即星期

六，故答案為C。這種題型也可以隨意改動所給的日期或以后再過的

日數(shù)，但原理是不變的。

（十四）跳井問題

【例題1】有一只青蛙在井底，每天爬上4米，又滑下3米，這

井有9米深，那么它爬上這口井一共需要多少天？（）。

A.2天B.6天

C.4天D.7天

【答案】B

【師說解析】這是一道跳井類型的問題，在答題時有人還誤認為每

天爬上4米后又滑下3米，兩者之間的差額就是每天能爬上去的

量，這樣一算，井有9米深，共需要9天。但這是一個錯誤，因為

青蛙爬到5米之后，后一天再爬上4米的話，就可以到井頂了，所

以一共需要6天，即答案為B。在解這種類型的題目時，應該畫一

個初步的解析圖，這有利于對題目的正確地理解和解答。

數(shù)學運算解題技巧

1.比例分配問題

例題：一所學校一、二、三年級學生總人數(shù)450人，三個年級的學生比例

2:3：4,問學生人數(shù)最多的年級有多少人？

A.100B.150C.200D.250

答案為C。解答這種題，可以把總數(shù)看作包括了234=9份，其中人數(shù)最多的

肯定是占4/9的三年級，所以答案是200人。

2.路程問題

例題：某人從甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，離中點還有2.5公里。

問甲乙兩地距離多少公里？

A.15B.25C.35D.45

答案為B。全程的中點即為全程的2.5/5處，離2/5處為0.5/5,這段路有2.5

公里，因此很快可以算出全程為25公里。

3.工程問題

例題：一件工程，甲隊單獨做，15天完成；乙隊單獨做，10天完成。兩隊

合作，幾天可以完成？

A.5天B.6天C.7.5天D,8天

答案為Bo此題是一道工程問題。

工程問題一般的數(shù)量關系及結構是：

工作總量

二工作時間

工作效率

我們可以把全工程看作'V.工作要n天完成推知其工作效率為1/n,兩組

共同完成的工作效率為根據這個公式很快可以得到答案為6天。另外,

工程問題還可以有許多變式，如水池灌水問題等等，都可以用這種思路來解題。

4.植樹問題

例題：若一米遠栽一棵樹，問在345米的道路上栽多少喋樹？

A.343B.344C.345D.346

答案為Do這種題目要注意多分析實際情況，如本題要考慮到起點和終點兩

處都要栽樹，所以答案為346。

巧解數(shù)學運算七大方法

數(shù)量運算是最耗時的題目，也是一些令教學比較差的同學頭

痛，其實這部分規(guī)律性還是很強的，我這里當然不是去講那部分

內容，我是跟大家講技巧性的東西。綜合考慮到大家的情況，我

附上我認為總結的比較的數(shù)學運算部分的資料，覺的基礎不牢固

的朋友可以學習下。在此強調一點，大家在掌握我這幾種方法的

同時一定要去掌握一下數(shù)量關系的規(guī)律，規(guī)律就那么幾個，數(shù)學

差的掌握一下也問題不大。

關于這部分我講一下怎么看書，就是在我們掌握了規(guī)律之

后，做一下這部分的題目體會一下規(guī)律，題目不需要太多，你覺

的會使用了就行，然后大家可以多去看看規(guī)律，而不要一直做

題，那樣即省時間有更有效果，那接下來就講一下我的實戰(zhàn)方法

了。

第一、代入排除法

“代入排除法”作為數(shù)學運算的第一大思想，根源于數(shù)學運

算試題的“客觀選擇”特性，有很多題目正面求解相當困難，但

結合選項來看卻相當容易，四個答案選項是試題的重要組成部

分，能排除錯誤的選項先排除，剩下的選項再代入，就能夠大大

的提高昨天速度。代入排除法是數(shù)學運算最常用的方法，廣泛應

用于不定方程問題，多位數(shù)問題，周期問題，整除問題，時間問

題等各類問題。

［例題］1999年，一個青年說：“今年我的生日已經過了，

我現(xiàn)在的年齡正好是我出生的年份的4個數(shù)字之和”，這個青年是

哪年出生的？（）

A.1975B.1976

C.1977D.1798

【師說解析】此題直接求不知道如何下手，采用代入法就很

快能夠知道答案選Bo

第二、整除法

【例題】甲乙共有圖書260本，其中甲有專業(yè)書13%,乙有專

業(yè)書12.5%,那么甲的非專業(yè)書有多少本？（）

A.75B.87

C.174D.67

【師說解析】根據“整除”的思想，甲的非專業(yè)書為87%,應

被87整除，鎖定B和Cc乙的書的總量應該被8整除（12.5%就

是1/8）,如果甲的非專業(yè)書有174本，甲有200本書，乙的書只

有60本不被8整除，所以選Bo

第三、倍數(shù)法

［例題］鋪設一條自來水管道，甲對單獨鋪設8天可以完

成，而乙對每天可鋪設50米。如果甲乙兩隊同時鋪設，4天可以

完成全長的2/3,這條管道全長是多少米？（）

A.1000B.1100

C.1200D.1300

【師說解析】此題一般的人會用方程法，如果我們也用方程

法，那我們也是一般人，公務員不是選一般人的。此題用倍數(shù)法

很快，我來看一下，“4天完成全長的2/3”說明全長是3的倍數(shù)，

利用答案應該滿足3的倍數(shù)特征結合選項直接選Co

第四、數(shù)字大小法

【例題】去年，甲的年齡是乙的年齡的5倍。明年，甲的年齡

是乙的4倍。問甲乙兩人今年的年齡分別是多少歲？（）

A.31歲，7歲B.32歲，8歲

C.30歲，6歲D.29歲，5歲

【師說解析】根據常識我們知道隨著年齡的增大兩個的年齡的

比例越來越小。我舉個例子，假如你1歲的時候你爸爸26歲，你爸

爸的歲數(shù)跟你的歲數(shù)比例是26:1。但你2歲的時候你爸爸27歲

了。你爸爸的歲數(shù)跟你的歲數(shù)比例是27:2,明顯小于26:1,因為

2X26=52o知道這個原理這個題目就好辦了。

今年甲乙兩人的年齡之比應該在4和5之間，只能選A。

第五、因數(shù)法

【例題】一個商場搞促銷，晚上八點以后全場商品在原來折

扣基礎上再打9.5折，付款滿400元再減100元，已知一個鞋柜

全場8.5折，一個人晚上九點多去改鞋柜買了一雙鞋，享受所以

折扣，花了484.5元，問這雙鞋的原來為多少錢？（）

A.550元B.600元

C.650元D.700元

【師說解析】計算量比較大，而只要注意到分子484.5中含

有因數(shù)3.而因數(shù)3沒有被分母約掉，所以必然保留到最后的結果

中，而四個選項中只有B能夠被3整除，所以答案選B。

第六、奇偶法

［例題］有甲乙兩個項目組，乙組任務臨時加重時，從甲組

抽調四分之一的組員，此后甲組任務有所加重，于是又從乙組調

回了重組后乙組人數(shù)的十分之一。此時甲組和乙組的人數(shù)相等。

由此可以得出結論（）。

A.甲組原有16人，乙組原有11人

B.甲乙兩組原組員之比為16:11

C.甲組原有16人，乙組原有11人

D.甲乙兩組原組員的人數(shù)之比為11：16

【師說解析】最終甲組和乙組的人數(shù)相等，說明甲乙兩組人

數(shù)之和為偶數(shù)，排除B,D,從甲組抽調四分之一的組員后又從乙

組調回了重組后乙組的人數(shù)的十分之一，甲組和乙組的人數(shù)相

等。依據常識可以知道最初甲組的人數(shù)較多。所以選B。

第七、估算法

有些題目我們不用算，我們只要通過畫圖或者通過大概的估算就

知道答案的范圍，如果只有一個答案在這個范圍內，那我們不就知道

答案了嗎？還有一種就是我們發(fā)現(xiàn)題目比較難算，出現(xiàn)分數(shù)，我們這

時候在算的時候就可以做一個估算，算出跟哪個答案更接近，就選哪

個。

關于多項式展開項數(shù)的問題

之經驗分享

首先，我想說的就是，通過這題，對這題的掌握，可以使不懂插

板法的朋友，多少對插板法有點印象。

下面說的多項式展開項數(shù)就用到插板法這個原理。

要說用到插板法，就先必須講講什么情況可以用到（）：

插板法就是在n個元素間的(n-1)個空中插入若干個(b)個

板，可以把n個元素分成(b+1)組的方法。

應用插板法必須滿足三個條件：

(1)這n個元素必須互不相異。

(2)所分成的每一組至少分得一個元素。

(3)分成的組別彼此相異。

插板法的條件可以簡單轉化一種說法，即：

(1)數(shù)量多的元素相同。

(2)數(shù)量少的元素不同。

(3)數(shù)量少的每個元素至少要有一個數(shù)量多的元素。

舉個很普通的例子來說明

把8個相同的小球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問

有幾種情況？

2

問題的題干滿足條件(1)(2),適用插板法，C7=21o

接下來看例題：

(X+Y+Z)［。的項數(shù)是多少?

A.55B.66

C.78D.91

這道題，很多朋友對這題可能會想到高中時的多項式分解，的確，

那樣做可以，但今天在這里要講的就是，還有更簡便的方法。

我們先看看這第一種方法：

(x+y+z)1O=CO1O*(x+y)1O+C110*(x+y)-9*z+???+C9

10*(x+y)*z"9+C1010*z"10

(x+y)"10有11項

(x+y)-9*z有10項

一起有11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66項

在這里，可以簡單利用插板法，直接G22二66

但為什么是用插板法呢？

(A+B+C+D+……+N)-M括號里面有N項

下面是我歸納的公式：C[(M+N-1),(N-1)]

用任何項數(shù)和任何次方去代，都是可以。

看到這里我們是不是看到有點像是插板法的感覺了呢？

但為什么就是插板法呢？

繼續(xù)以例題為列子：

(A+B+C)10,展開的項數(shù)的多少？

這時，N=3,M=10

A、B、C相當于是不同的盤子，而10次方相當于是10個相同的

蘋果

于是這題可以轉化成，有10個相同的蘋果，放到3個不同的盤

子里，有幾種方法？

而這距離插板法的第三點條件“至少一個”還差了點，因此，這

題還得用軍團云淡的“蘋果法”將其轉變

假設原來的3個盤子里已經有了3個和外面10個相同的蘋果了,

所以此時的蘋果總數(shù)變成了10+3二13個

現(xiàn)在已經滿足了“至少一個”的條件，所以已經符合插板法的全

部條件

因此我們看，13個相同的蘋果放到3個不相同的盤子里，每個

盤子至少放一個蘋果，有幾種方法？

13個蘋果有12個空，用2塊板可以將其分成3堆，也就是分放

2

到3個盤子里，因此就是：C12=66

所以，多項式次方的展開項數(shù)，可以轉化成插板法來做。

“中國剩余定理”算理及其應用

為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。

21是3和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公信數(shù)，且除

以7余1。（任何一個一次同余式組，只要根據這個規(guī)律求出那幾個

關鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這

三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233,符合題意，

但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，

剩下的差就是最小的一個答案。

用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三

個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來我國數(shù)學家又研究了這個

問題，運用了像上面分析的方法那樣進行解答。

例1:一個數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數(shù)最小

是幾？

題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質。

則〔4,5〕=20;(3,5〕=15;(3,4]=12；(3,4,5〕二60。

為了使20被3除余1,用20X2=40；

使15被4除余1,用15X3=45;

使12被5除余1,用12X3=36o

然后，40X1+45X2+36X4=274,

因為，274>60,所以，274-60X4=34,就是所求的數(shù)。

例2:一個數(shù)被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個數(shù)最小

是幾？

題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質。

貝”〔7,8〕二56;(3,8〕=24；〔3,7〕=21；[3,7,8〕二168。

為了使56被3除余1,用56X2=112;

使24被7除余1,用24X5=120。

使21被8除余1,用21X5=105;

然后，112X2+120X4+105X5=1229,

因為，1229>168,所以，1229-168X7=53,就是所求的數(shù)。

例3:一個數(shù)除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條

件的最小的自然數(shù)。

題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質。

則〔8,11〕=88;[5,11];55;（5,8〕二40；〔5,8,11]=440o

為了使88被5除余1,用88X2=176;

使55被8除余1,用55X7=385;

使40被11除余1,用40X8=320。

然后，176X4+385X3+320X2=2499,

因為，2499>440,所以，2499-440X5=299,就是所求的數(shù)。

例4：有一個年級的同學，每9人一排多5人，每7人一排多1

人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人？（幸福123老

師問的題目）

題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。

則〔7,5〕=35;〔9,5〕二45;〔9,7〕=63;[9,7,5〕二315。

為了使35被9除余1,用35X8=280;

使45被7除余1,用45X5=225;

使63被5除余1,用63X2=126。

然后，280X5+225X1+126X2=1877,

因為，1877>315,所以，1877-315X5=302,就是所求的數(shù)。

例5:有一個年級的同學，每9人一排多6人，每7人一排多2

人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人？（澤林老師的

題目）

題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質。

則〔7,5〕二35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;[9,7,5〕二315。

為了使35被9除余1,用35X8=280;

使45被7除余1,用45X5=225;

使63被5除余1,用63X2=126。

然后，280X6+225X2+126X3=2508,

因為，2508>315,所以，2508-315X7=303,就是所求的數(shù)。

（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相

同，所不同的就是最后兩步。）

關于“中國剩余定理”類型題目的另外解法：

“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”，這種題目，

也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。小學奧賽考試時學習過，也用過,

現(xiàn)在把方法寫出來。

選了一本小學奧賽的書上的題目，講下：

例一，一個數(shù)被5除余2,被6除少2,被7除少3,這個數(shù)最

小是多少？

解法：題目可以看成，被5除余2,被6除余4,被7除余4o

看到那個“被6除余4,被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求

出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4,就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7

+4=46O下面一步試下46能不能滿足第一個條件“一個數(shù)被5除余

2”。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42,一直加到能

滿足“一個數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍

數(shù)，再怎么加都會滿足

“被6除余4,被7除余4”的條件。

46+42=88

46+42+42=130

46+42+42+42=172

這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況。

例二，一個班學生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五

人就多三人，每組七人就多四人，問這個班有多少學生？

解法：題目可以看成，除3余2,除5余3,除7余4。沒有同余

的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找

出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加4,直到所得的數(shù)除5余

3o得出數(shù)為18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35,

直到滿足“除3余2”

4+7=11

11+7=18

18+35=53

這種方法也可以解“中國剩余定理”解的題目。比“中國剩余定

理，，更好理解，速度上會比那個繁瑣的公式化的解題更快。

往返平均速度公式及其應用

2

某人以速度a從A地到達B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的

2ab

v=-------

平均速度

證明：設A、B兩地相距S,則

SS

往返總路程2S,往返總共花費時間ab

2s2ab

V==

故ab

下面舉例說明這一公式的應用。

例L一架飛機所帶燃料最多可用6小時，飛機順風，每小時可飛1500千

米，飛回時逆風，每小時可飛1200千米，這架飛機最多飛出——千

米，就需往回飛？

2x1500x1200_4000

解：飛機往返的平均速度為1500+12003~千米/時

往返總路程為竿血'°。。千米

故這架飛機最多飛出限4。。。千米,就需往回飛.

例2.張師傅駕駛一輛載重汽車從縣城到省城送貨，到達省城后馬上卸貨

并隨即沿原路返回。他駕駛這輛汽車去時每小時行56千米，返回時每小時行

64千米，往返一趟共用去12小時（在省城卸貨所用時間略去不計）。張師傅

在省城和縣城之間往返一趟共行多少千米？

解：張師傅往返一趟共行

2x64x56

x12=716.8

64+56千米

答：張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行716.8千米。

植樹與方陣問題基礎習題

基礎習題

1.一個圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.

問：共需樹苗多少株？

2.有一條2000米的公路，在路兩邊每相隔50米埋設一根路燈桿，

從頭到尾需要埋設路燈桿多少根？

3.某大學從校門口的門柱到教學樓墻根，有一條1000米的甬路，

每邊相隔8米栽一棵白楊，可以栽白楊多少棵？

4.有一正方形操場，每邊都栽種17棵樹，四個角各種1棵，共

種樹多少棵？

5.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從路的一端的某

一棵樹出發(fā).當甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時，乙剛走到從乙那

邊數(shù)的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？

6.有一個等邊三角形的花壇，邊長20米。每個頂點都要栽一棵

月季花，每相隔2米再栽一棵月季花，花壇一周能栽多少棵月季花？

7.有一個正方形水池，外沿邊長40米。沿著外沿圍一圈鐵欄桿，

每個角上都要埋一根豎鐵管，每相隔2米再埋一根豎鐵管，可埋豎鐵

管多少根？（請用不同的方法解答）

8.馬路的每邊相隔7米有一棵國槐，小軍乘無軌電車3分看到馬

路的一邊有國槐151棵，無軌電車每小時行多少千米？（1千米=1000

米）

9.慶祝建國40周年，接受檢閱的一列彩車車隊共52輛，每輛車

長4米，前后每輛車相隔6米，車隊每分行駛105米。這列車隊要通

過536米長的檢閱場地，需要多少分？

習題答案

1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)二段數(shù)，150箕3二50（棵）。

2.41根。20004-50+1=41（根）。

3.248棵。（1000：8-1）X2=124X2=248（棵）。

4.提示：在正方形操場邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個角上

栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1二16

（棵），共栽：（177）X4=64（棵）。答：共栽樹64棵。

5.解：甲走到第22棵樹時走過了227=21（個）棵距.同樣乙走

過了10-1=9（個）棵距.乙走到第10棵樹，所用的時間為（9X棵距

4-36）,這個時間也是甲走過21個棵距的時間，甲的速度為：21X棵

距；（9X棵距：36）=84米/分。答：甲的速度是每分鐘84米。

6.30棵。20X3+2=30（棵）。

7.80根。解法1:40X4：2=160：2=80（根）。解法2：（404-

2+1）X2+（404-2-1）X2=21X2+19X2=42+38=80（根）。解法3:

(40X24-2+1)+(40X2:27)=41+39=80(根)。

8.21千米。先求出無軌電車3分行駛的路程，再求每分行駛的路

程，最后求每小時行的路程。7X(1517);3X60：1000=7X150：

3X60+1000=21(千米)?；?XX(60+3)+1000=7X150

義20：1000=21(千米)。

9.10分。車隊行駛的路程等于檢閱場地的長度與車隊長度的和。

[4X52+6X(52-1)+536]4-105=(208+306+536)05=10504-105

=10(分)。

數(shù)學運算習題訓練

1.甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，并在A,B兩地間不斷往返

行駛.已知甲車的速度是15千米/小時，乙車的速度是每小時35千

米，甲、乙兩車第三次相遇地點與第四次相遇地點相差100千米.求

A、B兩地的距離.

A.200千米B.250千米

C.300千米D.350千米

【師說解析】：V甲：V乙二3:7,把全程看成10分，當甲第三

次相遇時走了3+2*6=15份，在中點位置，當?shù)谒拇蜗嘤鰰r甲走了21

分，在離A點1份位置，第三次離第四次相遇差4份。AB=100/4*10=250

千米。

2.A、B兩地相距207千米，甲、乙兩車8:00同時從A地出發(fā)到

B地，速度分別為60千米/小時，54千米/小時，丙車8:30從B地

出發(fā)到A地，速度為48千米/小時.丙車與甲、乙兩車距離相等時是

幾點幾分？

A.9點36分B.9點48分

C.10點12分D.10點24分

【師說解析兒假設有輛車X跟甲乙同時出發(fā)速度是57,那么在

任何時候X都在甲乙兩車的中間位置。當X與丙相遇用的時間，(207-

57/2)/(57+48)=1.7小時。相遇的時刻為8.5+1.7=10.2小時即10點、

12分。

3.同樣走100米，小明要走180步，父親要走120步.父子同時

同方向從同一地點出發(fā)，如果每走一步所用的時間相同，那么父親走

出450米后往回走，還要走多少步才能遇到小明？

A.108B.116

C.124D.132

【師說解析兒父子倆共走450X2=900米。其中父親走的路程為

900X180/(180+120)=540米。父親往回走的路程540-450=90米，

還要走120X90/100=108步。

4.小明步行從甲地出發(fā)到乙地，李剛崎摩托車同時從乙地出發(fā)到

甲地.48分鐘后兩人相遇，李剛到達甲地后馬上返回乙地，在第一次

相遇后16分鐘追上小明.如果李剛不停地往返于甲、乙兩地，那么當

小明到達乙地時，李剛共追上小明幾次？

A.3B.4

C.5D.7

【師說解析】：當?shù)诙蜗嘤鰰r小明走了16份，李剛走了

48*2+16=112份，速度比為1:7,當小明走了1個全程，李剛走了7

個全程，追上次數(shù)二(7-1)/2=3。

5.一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地。大轎車的速度是

小轎車速度的80%。已知大轎車比小轎車早出發(fā)17分鐘，但在兩地

中點停了5分鐘，才繼續(xù)駛往乙地；而小轎車出發(fā)后中途沒有停，直

接駛往乙地，最后小轎車比大轎車早4分鐘到達乙地。又知大轎車是

上午10時從甲地出發(fā)的。那么小轎車是在上午什么時候追上大轎車

的

A.11點05分B.11點10分

C.11點15分D.11點20分

【師說解析兒還是比例法，V大：V小二4：5時間比為5:4,當

小車到達乙地時，大車比小車晚17-5+4=16分，這里的時間指都在行

駛的時間，大車行完全程要80分，小車要64分。大車在中點出發(fā)時

時間80/2+5=45分，小車在中點時間64/2+17=49分，在中點是大車

比小車早出發(fā)4分鐘，根據時間比小車追上大車還要4*4=16分種。

所以追上大車時經過了49+16二65分鐘，早上10點出發(fā)，追上時為11

點05分。

6.某人開汽車從A城到B城要行200千米，開始時他以56千米/

小時的速度行駛，但途中因汽車故障停車修理用去半小時，為了按時

至達，他必須把速度增加14千米/小時，跑完以后的路程，他修車的

地方距離A城多少千米？

A.60千米B.88千米

C.116千米D.72千米

【師說解析】：V原：V提=56:70=4：5時間比二5:4相差1比

例點為1/2小時，后面提速的路程用原速走需要5/2小時，離A點距

離二200-56*5/2=60千米。

7.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，已知甲車速度與

乙車速度之比為4:3,C地在A、B之間，甲、乙兩車到達C地的時

間分別是上午8點和下午3點，問甲、乙兩車相遇是什么時間？

A.10點B.10點30分

C.11點D.11點30分

解析：已知V甲：V乙二4：3,設甲車1小時走4份，乙車走3份，

甲車8點到達C地時，乙車距離C地=3*(12-8+3)=21份，相遇所用

時間=21/(4+3)=3小時，所以相遇的時間=8+3二11點鐘。

8.小明通?？偸遣叫猩蠈W，有一天他想鍛煉身體，前1/3路程快

跑，速度是步行速度的4倍，后一段的路程慢跑，速度是步行速度的

2倍.這樣小明比平時早35分到校，小明步行上學需要多少分鐘？

A.48分B.60分

C.72分D.140分

【師說解析兒設步行到學校的時間為1份，跑步所用的時間

=1/3/4+2/3/2二1/12+1/3=5/12份，1份-5/12份二7/12份二35分所

以1份二60分，答案為Bo

9.一條船往返于甲、乙兩港之間，已知船在靜水中的速度為9千

米/小時，平時逆行與順行所用時間的比為2：1。一天因下雨，水流

速度為原來的2倍，這條船往返共用10小時，問甲、乙兩港相距多

少千米？

A.20B.25

C.30D.50

【師說解析兒沒下雨前，V順：V逆二2：1V靜水速度為3/2比

例點為9,所以V水速為1/2比例點為3千米/小時；下雨時，V順

=9+2*3=15千米/小時，V逆二9-2*3=3千米/小時，V順：V逆=5:1,

時間比為1:5,順水所用時間二10/6小時,甲乙距離二15*10/6=25千

米，選B。

10.甲、乙兩車先后離開學校以相同的速度開往博物館，已知8：

32分甲車與學校的距離是乙車與學校距離的3倍，8:39分甲車與學

校的距離是乙車與學校距離的2倍，求甲車離開學校的時間.

A.8點4分B.8點11分

C.8點18分D.8點25分

【師說解析兒以8:32分為參照，S甲二3s乙，8:39分，速度

相同，7分鐘路程為A,則3S乙+A=2*（S乙+A）,S乙二A二7分鐘的

路程。S甲二3A二21分鐘的路程，所以甲車離開學校時間二8：32分-21

分二8點：11分。

11.快車以60千米/小時的速度從甲站向乙站開出，1.5小時后,

慢車以40千米/小時的速度從乙站行甲站開出，。兩車相遇時，相遇

點離兩站的中點70千米。甲、乙兩站相距多少千米？

A.270B.290

C.340D.370

解析，方法一：相遇點離兩站的中點70千米得快車比慢車多行

了140千米，但快車先行了60*1.5=90千米，得實際多行了140-

90=50千米，兩車同行了50/(60-40)=2.5小時則兩地相距90+

(60+40)*2.5=340千米。方法二：設路程為S,S/2-(S-90)*40/100=70

解S=340,選C。

12.在一條長12米的電線上，黃甲蟲在8:20從右端以每分鐘15

厘米的速度向左端爬去；8:30紅甲蟲和藍甲蟲從左端分別以每分鐘

13厘米和11厘米的速度向右端爬去，紅甲蟲在什么時刻恰好在藍甲

蟲和黃甲蟲的中間？

A.8:55B.9:05

C.9:15D.9:25

【師說解析】：(1200-10*15)/(15+15)=35分。相遇時間二8:

30+35分=9:05,選B。

13.在一條筆直的公路上，甲、乙兩地相距600米，A每小時走

4千米，B每小時走5千米。上午8時，他們從甲、乙兩地同時相向

出發(fā)，1分鐘后，他們都調頭向相反的方向走，就是依次按照1,3,

5,7……連續(xù)奇數(shù)分鐘的時候調頭走路。他們在幾時幾分相遇？

A.8:08B.8:15

C.8:24D.8:35

【師說解析】：都不掉頭，需要0.6/(4+5)=1/15小時二4分鐘1-

3+5-7+9=5,所以應該在那個9分鐘里相遇，比9少1分，1+3+5+7+8=24

分，答案是8:24,選C。

14.甲、乙兩物體沿環(huán)形跑道相對運動，從相距150米(環(huán)形跑道

上小弧的長)的兩點出發(fā)，如果沿小弧運動，甲和乙第10秒相遇，

如果沿大弧運動，經過14秒相遇。已知當甲跑完環(huán)形跑道一圈時，

乙只跑90米。求甲、乙兩物體運動的速度？

A.8米/秒，2米/秒B.12米/秒，3米/秒

C.16米/秒，4米/秒D.20米/秒，5米/秒

【師說解析】：甲乙速度和：150/10=15米/秒，大弧長是：

15*14=210米，環(huán)形跑道的周長是150+210=360米。由360：90得甲

乙速度比是4