動(dòng)點(diǎn)問題（含數(shù)軸的妙用）浙教版七年級《數(shù)學(xué)》上冊教案

第第頁教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科初中數(shù)學(xué)年級七年級學(xué)期秋季課題動(dòng)點(diǎn)問題（含數(shù)軸的妙用）教學(xué)目標(biāo)1.在問題解決過程中結(jié)構(gòu)化梳理圖形的初步知識(shí)、有理數(shù)、數(shù)軸、實(shí)數(shù)、代數(shù)式及方程等知和認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)一步把握教學(xué)內(nèi)容主線與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。2.能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，分析量的關(guān)系.3.從動(dòng)態(tài)角度發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的的目標(biāo)導(dǎo)向的行為能力.學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。4.形成解決動(dòng)點(diǎn)問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、用字母表示數(shù)、數(shù)形結(jié)合及方程等數(shù)學(xué)思想方法解決問題并形成解決動(dòng)點(diǎn)問題的一般策略.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用線段的和差倍分關(guān)系和數(shù)軸、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程等知識(shí)解決問題.教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境回顧經(jīng)驗(yàn)如圖，線段BA=10厘米，點(diǎn)P沿線段AB自A點(diǎn)向B點(diǎn)以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q沿線段自B點(diǎn)向A點(diǎn)以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，（1）幾分鐘后，P，Q兩點(diǎn)相遇？（2）幾分鐘后，P，Q兩點(diǎn)相距2厘米？（3）幾分鐘后，B，P，Q三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)是另兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先對第（1）題進(jìn)行目標(biāo)起點(diǎn)分析及解題思路分析，問題1：這個(gè)問題我們的目標(biāo)是什么？已知條件是什么？目標(biāo)：求P，Q兩點(diǎn)相遇的時(shí)間.；目標(biāo)：求P，Q兩點(diǎn)相遇的時(shí)間.；條件：BA=10厘米，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度分別為6厘米/分和4厘米/分.設(shè)計(jì)意圖：獲取問題信息，明確動(dòng)點(diǎn)的定義以及問題的目標(biāo)和起點(diǎn)（條件）問題2：目標(biāo)與條件有什么關(guān)系？可選擇什么模型和方法解題？關(guān)系：P，Q兩點(diǎn)相遇的時(shí)間與其行程有關(guān)系，而其行程之和等于BA的長度.設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)目標(biāo)與條件的關(guān)系，確定解決問題的方向和方法.根據(jù)此關(guān)系可選擇列算式和列方程的方法解題.解法一：(列算式）（1）P，Q兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為，10÷（2+3）=2答：2秒鐘后，P，Q兩點(diǎn)相遇.解法二：(列方程）（1）設(shè)x秒后，P，Q兩點(diǎn)相遇，根據(jù)題意知，2x+3x=10.解得x=2.答：2秒鐘后，P，Q兩點(diǎn)相遇.第（2）、（3）題先用同樣方法分析和解決，繼而再啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行解法創(chuàng)新：通過建構(gòu)數(shù)軸模型解決問題！（再次探索和鞏固數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離以及數(shù)軸上兩點(diǎn)連線段中點(diǎn)所表示數(shù)的求法.如圖示以點(diǎn)B為原點(diǎn)，射線BA方向?yàn)檎较颍?厘米為單位長度作數(shù)軸，則點(diǎn)B和點(diǎn)A所表示的數(shù)分別為0和10，動(dòng)點(diǎn)Q和P所表示的數(shù)分別為2x和10-3x.當(dāng)Q為BP中點(diǎn)時(shí)：則解得：x=；②當(dāng)P為BQ中點(diǎn)時(shí),解得：x=2.5；綜合上述，x=或x=2.5秒.設(shè)計(jì)意圖：熟悉的問題情境，有利于學(xué)生固有經(jīng)驗(yàn)和方法的提取與應(yīng)用，也有利于激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地思考，此動(dòng)點(diǎn)問題學(xué)生較熟悉，起點(diǎn)低，入口寬，可充分喚起學(xué)生通過列算式，列方程解決問題的經(jīng)驗(yàn)，繼而在教師啟發(fā)下創(chuàng)新解法，通過建構(gòu)數(shù)軸來解決問題.此問題的解決過程蘊(yùn)含了數(shù)軸、用字母表示數(shù)、列代數(shù)式、列方程等七年級上冊的主要內(nèi)容和主要數(shù)學(xué)思想方法，將有效促進(jìn)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)和思想方法進(jìn)一步系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成和深化。情境設(shè)計(jì)，旨在從動(dòng)態(tài)角度發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的的目標(biāo)導(dǎo)向的行為能力.學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。二、例題講解交流歸納總結(jié)解決動(dòng)點(diǎn)問題的思考步驟：1.明確動(dòng)點(diǎn)定義；(明確起點(diǎn)、終點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)方式)2.建立量的關(guān)系；(結(jié)合用字母表示數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法探索量的關(guān)系)3.選擇模型解題；（借助列算式、整體關(guān)系和方程等思想方法解題）4．注意邊界條件；（根據(jù)邊界值考慮是否要分類討論）5．檢查是否合理；（評價(jià)監(jiān)控與調(diào)整方向，檢查結(jié)果合理性并作答）設(shè)計(jì)意圖：解題策略的學(xué)習(xí)是操作程序的學(xué)習(xí)，此小結(jié)環(huán)節(jié)加強(qiáng)了學(xué)生基于目標(biāo)導(dǎo)向的行為決策能力的訓(xùn)練，也促進(jìn)了學(xué)生解決問題活驗(yàn)的有效形成和積累，這也是數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)教學(xué)的重點(diǎn)所在.例如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上一點(diǎn)（B在A點(diǎn)左邊），且AB＝10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為，點(diǎn)P所表示的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示）；（2）C是AP的中點(diǎn)，D是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CD的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由，若不變，請求出線段CD的長．（3）在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q和R均從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向相反方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為K，問在運(yùn)動(dòng)過程中，AK-BR的值是否會(huì)變化？如果不變，試求出其值，如果變化，試說明理由．師生活動(dòng)：先做后講，合理引導(dǎo).本例學(xué)生根據(jù)前面學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)嘗試自主解決第（1）、（2），之后教師講解。對第（3）題則引導(dǎo)學(xué)生用字母表示數(shù)大膽嘗試進(jìn)行代數(shù)推理.具體解法如下：點(diǎn)P表示的數(shù)為8-6t,點(diǎn)Q表示的數(shù)為-2+2t,∵點(diǎn)K為PQ的中點(diǎn),∴點(diǎn)K表示的數(shù)為∴AK=8-（3-2t)=5+2t，∵BR=2t，∴AK-BR=5+2t-2t=5即AK-BR的值不會(huì)變化，值為5.設(shè)計(jì)意圖：數(shù)軸是七年級上冊數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要模型和方法，在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，數(shù)軸模型具有巨大的優(yōu)越性.設(shè)計(jì)本例是為了復(fù)習(xí)并強(qiáng)化數(shù)軸模型和代數(shù)推理的應(yīng)用.三、學(xué)以致用自主練習(xí)1．一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向右移動(dòng)1個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長度，……，移動(dòng)6次后，該點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是;移動(dòng)2024次后，該點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是．2．已知如圖，線段BA＝6.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，（1）若PA＝4PB，則PB＝；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，PA+PB的值將如何變化？PA-BP的值又將如何變化？3．已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為-1、3.（1）若點(diǎn)P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒時(shí)，P到A的距離剛好等于P到B的距離的2倍？（2）若點(diǎn)P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，2PA﹣mPB的值不隨時(shí)間t的變化而改變，求m的值．師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成練習(xí)，對于較難的問題，教師進(jìn)行啟好引導(dǎo)，如第3題第（2）題教師可作點(diǎn)撥和解法展示：若學(xué)生由題意得：運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為8+2t，PA＝8+2t﹣（﹣1）＝9+2t，PB＝8+2t﹣3＝5+2t，∴2PA﹣mPB＝18+4t﹣5m﹣2mt＝（4﹣2m）t+18﹣5m，∵2PA﹣mPB的值不隨時(shí)間t的變化而改變，∴4﹣2m＝0，解得m＝2．故m的值為2．設(shè)計(jì)意圖：動(dòng)點(diǎn)問題解題指導(dǎo)教學(xué)選擇和編制的問題，應(yīng)該有廣泛的覆蓋面，即要用核心知識(shí)、核心思想方法和核心認(rèn)知活動(dòng)覆蓋課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求.上述練習(xí)由學(xué)生根據(jù)學(xué)過的經(jīng)驗(yàn)通過獨(dú)立完成，以鞏固學(xué)到的解題經(jīng)驗(yàn)和策略，對其中難點(diǎn)，教師可作基于上述總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的點(diǎn)拔..四、小結(jié)提升作業(yè)布置設(shè)計(jì)說明：通過展現(xiàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖來進(jìn)行小結(jié)，能讓學(xué)生在已有的知