2024-2025學(xué)年重慶市高三上冊11月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題一、單選題1．已知集合則（

）A． B． C． D．2．已知點，若A，B，C三點共線，則x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．設(shè)m，n是不同的直線，為不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則．B．若，則．C．若，則．D．若，則．6．若曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的首項，前n項和，滿足，則（

）A． B． C． D．8．已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．在下列函數(shù)中，最小正周期為π且在為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．中，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有（

）A． B．為定值C． D．的最大值為11．在正方體中，，分別為和的中點，M為線段上一動點，N為空間中任意一點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．直線平面B．異面直線與所成角的取值范圍是C．過點的截面周長為D．當(dāng)時，三棱錐體積最大時其外接球的體積為三、填空題12．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為．13．在數(shù)列an中，，若對于任意的恒成立，則實數(shù)k的最小值為.14．若定義在的函數(shù)滿足，且有對恒成立，則的最小值為．四、解答題15．平面四邊形中，已知(1)求的面積；(2)若，求的大小．16．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點．

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．17．已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)過點的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，問在x軸上是否存在定點Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．18．已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)證明：在上有且僅有一個零點；(3)若時，的圖象恒在的圖象上方，求a的取值范圍.19．?dāng)?shù)列滿足，的前n項和為，等差數(shù)列滿足，等差數(shù)列前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列中的項落在區(qū)間中的項數(shù)為，求數(shù)列的前n和；(3)是否存在正整數(shù)m，使得是或中的項．若有，請求出全部的m并說明理由；若沒有，請給出證明．答案：題號12345678910答案BBADDACBACDABD題號11答案ACD1．B【分析】先分別求出集合，再進(jìn)行集合的交集運(yùn)算【詳解】由解得，∴，由解得或，所以或，所以0,3故選：B.2．B【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因為，所以，因為A，B，C三點共線，則共線，則，解得.故選：B.3．A【分析】將化簡，再根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.【詳解】或，由成立可以推出或，但或成立不能推出，所以是的充分不必要條件.故選：A.4．D【分析】首先化解，再根據(jù)中間值1，以及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，即可判斷.【詳解】，，，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.故選：D5．D【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】對于A，直線m與平面可能平行、相交或直線m在平面內(nèi)，故錯誤；對于B，或，故錯誤；對于C，平面與平面平行或相交，故錯誤；對于D，則，又，所以，D正確；故選：D．6．A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，即可得到在處切線的斜率，進(jìn)而得到傾斜角的正切值，再根據(jù)求出題中式子的值.【詳解】由題意得，，所以，于是在處切線的斜率為，即.又，將原式分子分母同時除以得，，代入可得最終答案為.故選：A.7．C【分析】根據(jù)得到，兩式相減得到，求出即可求解.【詳解】因為，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.8．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可證明函數(shù)存在唯一零點，即，可得在有零點，利用參變分離可求解.【詳解】由，，可得，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增；又因為，所以函數(shù)存在唯一的零點，即.因為，解得.即在上有零點，故方程在上有解，而，因為，故，故，所以，故故選：B.方法點睛：對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見解法有兩個：一是對于未知量為不做限制的題型可以直接運(yùn)用判別式解答（本題屬于這種類型）；二是未知量在區(qū)間上的題型，一般采取列不等式組（主要考慮判別式、對稱軸、的符號）的方法解答.9．ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐項判斷即可.【詳解】對于A，的最小正周期為，當(dāng)時，，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故A正確；對于B，的最小正周期，故B不正確；對于C，，所以最小正周期，當(dāng)時，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；對于D，最小正周期，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知，此時單調(diào)遞減，故D正確.故選：ACD.10．ABD【分析】由中線的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算判斷A選項；由中線的性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算有，求值判斷B選項；C選項，由，結(jié)合余弦定理求的值；D選項，中，余弦定理得，結(jié)合均值不等式求解.【詳解】A．，故A正確；B．，故B正確；C．，，由余弦定理知，，即，化簡得，故C錯誤；D．，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由于，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD．11．ACD【分析】利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A正確；由轉(zhuǎn)化異面直線所成的角，在等邊中分析可知選項B錯誤；找出截面圖形，利用幾何特征計算周長可得選項C正確；確定三棱錐體積最大時點的位置，利用公式可求外接球的半徑和體積，得到選項D正確.【詳解】A.∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，同理可證，，∵，平面，平面，∴直線平面，選項A正確.B.如圖，連接，由題意得，，，直線與所成的角等于直線與所成的角，在等邊中，當(dāng)點與兩點重合時，直線與所成的角為，當(dāng)點與中點重合時，，此時直線與所成的角為，故直線與所成角的取值范圍是，選項B錯誤.C.如圖，作直線分別與直線交于點，連接與交于點，連接與交于點，則五邊形即是截面.由題意得，為等腰直角三角形，，由得，，∴，∴，，同理可得，，∵分別為和的中點，∴，∴截面周長為，選項C正確.D.當(dāng)時，點的軌跡為以為直徑的球，球心為中點，半徑為，三棱錐的體積即為三棱錐的體積，點到平面距離的最大值為球的半徑，此時點在正方形的中心處，三棱錐體積有最大值.由題意得，平面平面，，均為等腰直角三角形，的外接圓半徑為，的外接圓半徑為，∴三棱錐的外接球半徑，∴外接球體積為，選項D正確.故選：ACD.方法點睛：本題為立體幾何綜合問題，求三棱錐外接球半徑方法為：（1）在三棱錐中若有平面，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，其中為底面的外接圓半徑，為三棱錐的高即的長.（2）在三棱錐中若有平面平面，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，其中分別為的外接圓半徑，為公共邊的長.12．2【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【詳解】，.故答案為.13．【分析】利用構(gòu)造法分析得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求得，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，分析數(shù)列的最值，從而得解.【詳解】由，得，又，故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則不等式可化為，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；又，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，則，即實數(shù)的最小值為.故答案為.14．【分析】由條件等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，得到，并迭代得到，由此得到，，并求和，利用放縮法，即可求解最小值.【詳解】因為，所以，設(shè)，則，因此，所以，取，得，所以，所以的最小值為.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）由已知，設(shè)，則，由余弦定理，可得，利用三角形的面積公式即可求得的面積；（2）在中，由正弦定理，可求得，進(jìn)而求得，進(jìn)而求得，在中，由正弦定理，求得，即可求得的大?。驹斀狻浚?）

由已知，設(shè)，則，在中，由余弦定理，，因為，所以，解得，所以，，所以.（2）在中，由正弦定理，，因為，，所以，又在中，，則，所以，因為，所以，在中，由正弦定理，，又，則，解得，又因為，所以，因為，則.16．(1)證明見解析(2).【分析】（1）先證明四點共面，再證明，由線面平行的判定定理可證；（2）以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角公式，帶入求解即可.【詳解】（1）證明：連接，因為分別為的中點，則，在三棱柱中，，則，則四點共面，，且，分別為的中點，則且，則四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，則平面.（2）在直棱柱中，，則以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則有，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則及，令，則有，則，因為二面角為鈍角，則所求二面角的余弦值為.17．(1)；(2)存在，，.【分析】（1）根據(jù)題意由雙曲線的漸近線方程得到的值，再根據(jù)在雙曲線上，將坐標(biāo)代入雙曲線方程即可解得的值.（2）設(shè)出直線l方程與M，N點坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出、、、，再設(shè)出坐標(biāo)，則可以表示出坐標(biāo)，即可用坐標(biāo)表示出的值，再結(jié)合具體代數(shù)式分析當(dāng)為常數(shù)時的值.【詳解】（1）由題意得，因為雙曲線漸近線方程為，所以，又點在雙曲線上，所以將坐標(biāo)代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：，聯(lián)立兩式解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示，點,直線l與雙曲線交于兩點，由題意得，設(shè)直線l的方程為，點坐標(biāo)為，聯(lián)立得，，設(shè)，，則，，，，，，所以，所以若要使得上式為常數(shù)，則，即，此時，所以存在定點，使得為常數(shù).關(guān)鍵點點睛：本題（2）問解題關(guān)鍵首先在用適當(dāng)?shù)男问皆O(shè)出直線l的方程，當(dāng)已知直線過x軸上的定點時，可設(shè)直線方程為，這樣可簡化運(yùn)算，其次在于化簡時計算要仔細(xì)，最后判斷何時為常數(shù)時要抓住“消掉m”這個關(guān)鍵，即最后的代數(shù)式中沒有我們設(shè)出的m.18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)解析式求出切點，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出斜率，點斜式可得到切線方程；（2）先分析函數(shù)的單調(diào)性，需要二次求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)值的情況進(jìn)行判斷；（3）對于函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，可先特值探路求出參數(shù)的取值范圍，再證明在該條件不等式恒成立即可.【詳解】（1），當(dāng)時，，所以切點為，因為，所以斜線方程的斜率，根據(jù)點斜式可得可得，所以在處的切線方程為；（2）由（1）可得，令，所以，當(dāng)和時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；，，，，存在使得gx0所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，所以在上有且僅有一個零點；（3）因為時，的圖象恒在的圖象上方，即恒成立，等價于恒成立，當(dāng)時，有，下證：即證，恒成立，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，設(shè)，則，此時在有兩個不同的解，且當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，而，故時，恒成立，綜上.方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)y=gx的圖象的交點問題.19．(1)，(2)(3)，或【分析】（1）先利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求出，然后得到為等差數(shù)列，求得，再求得，計算數(shù)列an的通項公式即可；（2）先求出區(qū)間的端點值，然后明確an的項為奇數(shù)，得到中奇數(shù)的個數(shù)，得到通項公式，然后求和即可；（3）先假設(shè)存在，由（1）求得，，令，然后判斷的取值，最后驗證，不同取值時，的值即可.【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，得因為兩式相減得經(jīng)檢驗，當(dāng)時，顯然，bn所以所以等差數(shù)列an的公差所以（2）由（1）可知，因為，所以為奇數(shù)；故為區(qū)間的奇數(shù)個數(shù)顯然為偶數(shù)所以所以（3）由（1）可知，所以若是an或bn不妨令，則則有因為所以因為為數(shù)列an或bn所以