2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情診斷試題（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情診斷試題一、填空題（本大題共12小題）1．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為2．不等式的解集為．3．將化為的形式4．棱長為的正方體的內(nèi)切球表面積為．5．若函數(shù)，，若的最小值為2，則6．函數(shù)在處的切線傾斜角是.7．若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.8．若數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最小值為9．把這五個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一列組成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先嚴(yán)格減后嚴(yán)格增，則這樣的數(shù)列共有個(gè)10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn).且在上的投影為，則雙曲線的離心率為11．平面點(diǎn)集所構(gòu)成區(qū)域的面積為12．已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程有解，方程也有解，則的取值集合為二、單選題（本大題共4小題）13．若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．14．函數(shù)，正確的命題是（

）A．定義域?yàn)?B．值域?yàn)镃．在定義域上是嚴(yán)格增函數(shù) D．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)15．下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）①若事件A和相互獨(dú)立，則；②若將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加上同一個(gè)正數(shù)，則其平均數(shù)和方差都會(huì)發(fā)生變化；③“”是“和的夾角為銳角”的必要非充分條件；④函數(shù)滿足，則該函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)；A．0 B．1 C．2 D．316．若非空實(shí)數(shù)集中存在最大元素和最小元素，則記.下列命題中正確的是（

）A．已知，且，則B．已知，若，則對(duì)任意，都有C．已知，，則存在實(shí)數(shù)，使得D．已知，，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得三、解答題（本大題共5小題）17．已知集合，(1)求；(2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范圍.18．在四棱錐中，平面，底面是正方形，，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.19．設(shè)函數(shù)，且.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（不用說明理由），并據(jù)此求解關(guān)于的不等式20．已知、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線、，分別交橢圓于、兩點(diǎn).(1)求當(dāng)面積最大時(shí)直線的斜率；(2)若直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)①求直線的方程；②記、的面積分別為、，求的最大值.21．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)①當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)的最大值；②證明：

答案1．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意可知的實(shí)部和虛部分別為，所以.故2．【正確答案】【詳解】不等式等價(jià)于，即，解得或，所以不等式的解集為.故答案為.3．【正確答案】【詳解】由題意可得.故答案為.4．【正確答案】【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知棱長為2的正方體的內(nèi)切球的半徑為，所以其表面積.故答案為.5．【正確答案】2【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的最小值為.故26．【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的切線斜率，即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則函數(shù)在處的切線斜率，所以所求切線傾斜角為.故7．【正確答案】28【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故28.8．【正確答案】/【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故9．【正確答案】14【詳解】該數(shù)列為先減后增，則1一定是分界點(diǎn)，且前面的順序和后面的順序都只有一種，當(dāng)1前面只有一個(gè)數(shù)時(shí)，有種情況；當(dāng)1前面只有2個(gè)數(shù)時(shí)，有種情況；當(dāng)1前面只有3個(gè)數(shù)時(shí)，有種情況.綜上，這樣的數(shù)列共有個(gè).故1410．【正確答案】【詳解】解：如圖所示：在上的投影向量為，，又，，又在雙曲線上，，則，即，整理得：，即，解得：或（舍去），.故答案為.11．【正確答案】【詳解】由題設(shè)表示圓心為，其在圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓上，顯然軌跡是圓心在單位圓上，且半徑為4的圓，故點(diǎn)集與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)恒為5，最近恒為3，所以的軌跡為圓心為，外徑為5，內(nèi)徑為3的圓環(huán)，所以，平面點(diǎn)集所構(gòu)成區(qū)域的面積為.故12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，，由三角不等式，得恒成立，所以，即，?dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以要對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，需滿足.同理恒成立，所以，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以要對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，需滿足.綜上所述，，即的取值集合為.13．【正確答案】D【詳解】若，，則，，則A、B錯(cuò)誤；若，，則，則C錯(cuò)誤；，，又，，則D正確.故選：D.14．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，定義域，所以fx定義域，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以fx在定義域上是嚴(yán)格增函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，則，又因?yàn)椋襢x在定義域上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以fx只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：C.15．【正確答案】B【詳解】對(duì)于①：若事件A和相互獨(dú)立，則，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加上同一個(gè)正數(shù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，即方差不會(huì)發(fā)生改變，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，等價(jià)于和的夾角為銳角或?yàn)榱憬牵浴啊笔恰昂偷膴A角為銳角”的必要非充分條件，故③正確；對(duì)于④：例如，滿足，但為非奇非偶函數(shù)，故④錯(cuò)誤；綜上所述：真命題的個(gè)數(shù)為1.故選：B.16．【正確答案】D【詳解】A選項(xiàng)，由，可得，，因?yàn)?，所以，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由知，且，則且，但是不一定成立，例如：，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由，，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由，，取，可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在使之成立，故D正確.故選：D.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?（2）由題意，時(shí)，不等式恒成立，由可得，解得或，所以時(shí)，不等式恒成立，需滿足或，即或.故的取值范圍為.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系：因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.19．【正確答案】(1)2；(2)偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解集為.【詳解】（1）由題知，，因?yàn)?，所以，解?（2）由（1）知，，定義域?yàn)镽，又，所以為偶函數(shù).，且，則，因?yàn)椋裕?，即，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，又，所以不等式解集為.20．【正確答案】(1)；(2)①；②.【詳解】（1）由題意，，所以為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，若為上頂點(diǎn)，此時(shí)，若為下頂點(diǎn)，此時(shí)，綜上，面積最大時(shí)直線的斜率為.（2）如下圖所示：①設(shè)，由題意直線斜率一定存在，即，所以，有直線，又，且相互垂直，則，所以，故直線，綜上，，結(jié)合，可得，所以直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理得，即直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，綜上，直線為；②設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立并整理得，易得，同理可得，又，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最大值為.21．【正確答案】(1)極小值為，沒有極大值；(2)①正整數(shù)的最大值為，②證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，，令，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為，所以函數(shù)的極小值為，沒有極大值；（2）①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立