湖南省常德市2024屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題

湖南省常德市2024屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，則實數(shù)A．(34,32] B．[2．已知復(fù)數(shù)z=cosπ6+isinπ6A．12 B．32 C．1 3．平面向量a,b滿足|b|=aA．?12b B．12b 4．將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移φ(0<φ<π2)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對滿足|f(x1)?g(x2)|=2A．π6 B．π4 C．π35．若橢圓x2A．55 B．33 C．55或12 6．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸7．已知等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0，若aA．?9 B．?7 C．?7或1 D．?9或18．如圖，已知M為雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上一動點，過M作雙曲線E的切線交xA．2 B．62 C．3 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知z1A．若z1=z2，則B．若z1+z2C．若z1,zD．若z1z210．已知非零函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，且f(2+x)=f(2?x)，則（）A．f(1)=0B．4是函數(shù)f(x)的一個周期C．f(x+1)=?f(?x?1)D．y=f(x)在區(qū)間[0,11．已知6lnm=m+a，6n=en+a，其中m≠A．e B．e2 C．3e2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．(x2+1)13．在公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1=3，a3，a614．已知圓C:mx2+(2m?1)y四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為（1）求證：A+2B=π（2）求a216．如圖1，菱形ABCD的邊長為5，BD=2，將其沿BD折疊形成如圖2所示的三棱錐A?BCD．圖1圖2（1）證明：三棱錐A?BCD中，BD⊥AC；（2）當(dāng)點A在平面BCD的投影為△BCD的重心時，求直線AC與平面BCD所成角的正弦值．17．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過點F的直線l與C相交于M，N兩點，直線l的傾斜角為銳角．若點P(1,32)到直線l與的距離為3518．在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍．比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進(jìn)入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲利第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲利第二名．甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1)，且不同對陣的結(jié)果相互獨立．（1）若p=0.①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍．哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由．19．羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾?羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，那么在區(qū)間(a,（1）運用羅爾定理證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則存在（2）已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=12x2?bx+1，若對于區(qū)間(1,2)（3）證明：當(dāng)p>1，n≥2時，有1n

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因為集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，

所以，2m×2-3>02m×1-3≤0，則m>34m≤32，則實數(shù)2．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知：z=cos2π63．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可知：a在b方向上的投影向量為a→?b→b4．【答案】A【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)=cos2x的最小正周期為π，

將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移φ(0<φ<π2)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，

即gx=cos2x-2φ，若對滿足|f(x1)?g(x2)|=2可知兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，

有|x1?x2|min=π3，不妨設(shè)x1=0,則x2=±π3，即函數(shù)g(x)在x2=±π35．【答案】C【解析】【解答】解：因為橢圓x2a2+y24=1(a>0)的焦距為2，若橢圓的焦點坐標(biāo)在x軸時，

所以b=2,c=1，所以a=4+1=6．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知：天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸如圖所示：因為積水深9寸，即為高的一半，可知水面半徑為14+62可得盆中水的體積為13所以平地降雨量等于588ππ×1故答案為：C.【分析】因為積水深9寸，即為高的一半，可知水面半徑為14+627．【答案】B【解析】【解答】解：因為a2,a3,a6成等比數(shù)列，則a32=a2a6，

即1+2d2=1+d8．【答案】B【解析】【解答】解：已知如圖所示：

設(shè)M(m,n)，則m對于直線ma2x?聯(lián)立方程ma2x?可知切線MA的方程為ma令y=0，則x=a2m過點M作MB⊥x軸于點B，則B(m,由AD⊥OM，MB⊥x軸，故△OAD與△OMB相似，則|OD||OB|=|OA||OM|，可得|OD|?|OM|=|OA|?|OB|=a2m×m=a2，

由題意可知：故答案為：B.【分析】設(shè)M(m,n)，分析可知切線MA的方程為ma2x?nb2y=1，進(jìn)而可得A(9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：設(shè)z1=a+bi，對于A：z1+z若z1=z2，即a+bi=c?di，則所以z1+z對于B：若z1+z2與z1又因為b≠0，d≠0，所以a=c，故B正確；對于C：若z1，z2均為純虛數(shù)，則a=c=0，可得對于D：例如z1=2+2i，z2但z1，z故答案為：ABC．【分析】設(shè)z1=a+bi，10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，因為非零函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，

所以f(-x+1)=-f(x+1)，則f(x+2)=-f(-x)，

令x=-1，則f1=-f1，所以，f1=0，所以A對；

對于B，因為f(2+x)=f(2?x)，所以f(4+x)=f(?x)，

則f(4+x)=-f(x+2)，所以，f(2+x)=-f(x)，

所以，f(4+x)=-f(x+2)=fx，所以B對；

對于C，假設(shè)f(x+1)=-f(-x-1)，則f(x)=-f(-x)，

又因為f(4+x)=f(-x)=fx，函數(shù)f(x)的定義域為R，

所以，函數(shù)f(x)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則fx=0恒成立，與題干矛盾，所以C錯；

對于D，因為f1=0,fx+2=-fx,所以，f3=-f1=0，

所以，函數(shù)fx在11．【答案】C,D【解析】【解答】解：令f(x)=6lnx?x,當(dāng)x∈(0,6)時，f'(x)>0；當(dāng)可知f(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)在因為6lnm=m+a，6n=6ln且m≠en，不妨設(shè)記x1=m,x2則g'(x)=?f可知g(x)在(0,6)上單調(diào)遞減，則g(x)=f(12?x)?f(x)>g(6)=0，可得f(12?x又因為12?x1,x2所以12?x1<x2對比選項可知：AB錯誤；CD正確；故答案為：CD.【分析】構(gòu)建f(x)=6lnx?x,x>0，利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合題意可知0<m<6<en，構(gòu)建g(x)=f(12?x)?f(x)，12．【答案】16【解析】【解答】解：因為(x2+1)(2x?1x)4=x2(2x?1x)4+13．【答案】165【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d>0，

因為a3，a6，32a8成等比數(shù)列，則a62=a3×32a8，

可得3+5d214．【答案】7+1或【解析】【解答】解：因為圓C:mx2+(2m?1)y2?2ax?a?2=0，則m=2m-1，解得m=1，

所以圓C:x2+y2?2ax?a?2=0，即x-a2+y2=a2+a+2，由題設(shè)，

令a=0可得x2+y2=2，令a=1可得15．【答案】（1）解：由1?sinAcosA=即sinAcosB+cosAsinB=cosB，∴sin(A+B)=cosB=sin(∴A+B=π2?B（2）解：由（1）知A=π2?2B，C==∴當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=2【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換整理可得sin(A+B)=cosB=sin(π2?B)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析證明；

16．【答案】（1）證明：已知如圖所示：

記BD的中點為E，由菱形的性質(zhì)，有AD=AB，CD=CB，所以AE⊥BD，CE⊥BD．而AE和CE在平面ACE內(nèi)交于點E，故BD垂直于平面ACE．又因為AC在平面ACE內(nèi)，所以BD⊥AC．（2）解：設(shè)△BCD的重心為點G，則AG垂直于平面BCD．這表明直線AC與平面BCD所成角等于∠ACG，故所求正弦值即為sin∠ACG的值．由于CE=BC2CG=23CE=從而AG=Asin∠ACH=AG所以直線AC與平面BCD所成角的正弦值是63【解析】【分析】(1)根據(jù)菱形性質(zhì)結(jié)合翻折可得AE⊥BD，CE⊥BD．即可得BD垂直于平面ACE，即可得結(jié)果；

(2)由題意可知：AG垂直于平面BCD．則所求正弦值即為sin∠ACG的值．進(jìn)而可得結(jié)果.17．【答案】（1）解：由題意知a+c=3得a2+2ac+c2=3化簡得a=2c，所以b=3又因為橢圓過點P(1,32所以14c2所以a=2，b=3，即C的方程為x（2）解：設(shè)直線l的方程為x=my+1，(m>0)，由點P(1,32)到直線得32m1+聯(lián)立x=2y+1x24設(shè)M(x1,y1)，所以直線PM與直線PN的斜率的和為y1【解析】【分析】（1）由橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，右焦點為F，從而得出點A和焦點F的坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓C上的點到F的最大距離是短半軸長的3倍和短半軸長的定義以及幾何法，進(jìn)而得出a+c=3b，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出b，c的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓過點P(1,32)結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和代入法得出c的值，從而得出a，b的值，進(jìn)而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)直線18．【答案】（1）解：①記“甲獲得第四名”為事件A，則P(A)=(1?0②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X，則X的所有可能取值為2,連敗兩局：P(X=2)=(1?0X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；P(X=3)=0.P(X=4)=(1?0.故X的分布列如下：X234P0.160.5520.288故數(shù)學(xué)期望E(X)=2×0.（2）解：“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率P=p在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為p2由(3?2p)p3所以p∈(12,p∈(0,12p=1【解析】【分析】(1)①根據(jù)獨立事件的乘法公式運算求解；②X的所有可能取值為2,3,19．【答案】（1）解：令f(b)?f(a)b?a=t，則令函數(shù)F(x)=f(x)?tx，則F(a)=F(b)，F(xiàn)'顯然F(x)在[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)上可導(dǎo)，由羅爾定理，存在即f'(x（2）解：依題意，f'(x)=lnx+1，不妨令x1>x由（1）得|f'(x)|>|g'(x)|，因此x?lnx?1<b<x+lnx+1，令φ(x)=x?lnx?1(1<x<2)，求導(dǎo)得φ'(x)=x?1x>0，函數(shù)φ(x)而函數(shù)y=x+lnx+1在(1,2)上單調(diào)遞增，其