專題2-7-函數模型及其應用(新高考專用)(原卷版)

2.7函數模型及其應用思維導圖知識點總結知識點一一次函數模型形如的函數為一次函數模型，其中.知識點二二次函數模型1．一般式：．2．頂點式：．3．兩點式：．知識點三冪函數模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0)．2．單調性：其增長情況由xα中的α的取值而定．知識點四幾類已知函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)反比例函數模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)指數型函數模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)對數型函數模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)冪函數型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)知識點五應用函數模型解決問題的基本過程1．審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；2．建?！獙⒆匀徽Z言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型；3．求?！蠼鈹祵W模型，得出數學模型；4．還原——將數學結論還原為實際問題．典型例題分析考向一一次函數模型的應用實例例1某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的報紙份數必須相同，試問報刊亭攤主應該每天從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲利潤最大．反思感悟一次函數模型的特點和求解方法(1)一次函數模型的突出特點是其圖象是一條直線．(2)解一次函數模型時，注意待定系數法的應用，主要步驟是：設元、列式、求解．考向二二次函數模型的應用實例例2牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量，必須留出適當的空閑率．已知羊群的年增長量y只和實際蓄養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0)．(空閑率指空閑量與最大蓄養(yǎng)量的比值)(1)寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值；(3)當羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．反思感悟利用二次函數求最值的方法及注意點(1)方法：根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．(2)注意：取得最值的自變量與實際意義是否相符．考向三冪函數與分段函數模型例3(1)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關系為y＝xα(α為常數)，其中x不超過5萬元，已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預計今年藥品利潤為________萬元．(2)手機上網每月使用量在500分鐘以下(包括500分鐘)、60分鐘以上(不包括60分鐘)按30元計費，超過500分鐘的部分按0.15元/分鐘計費，假如上網時間過短，使用量在1分鐘以下不計費，在1分鐘以上(包括1分鐘)按0.5元/分鐘計費，手機上網不收通話費和漫游費．①12月份小王手機上網使用量20小時，要付多少錢？②小舟10月份付了90元的手機上網費，那么他上網時間是多少？③電腦上網費包月60元/月，根據時間長短，你會選擇哪種方式上網呢？反思感悟(1)處理冪函數模型的步驟①閱讀理解、認真審題．②用數學符號表示相關量，列出函數解析式．③根據冪函數的性質推導運算，求得結果．④轉化成具體問題，給出解答．(2)應用分段函數時的三個注意點①分段函數的“段”一定要分合理，不重不漏．②分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．③分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論．考向四指數型函數模型例4目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402，lg1.2≈0.079，lg1.012≈0.005)(1)寫出y關于x的函數解析式；(2)計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)；(3)計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年)．反思感悟在實際問題中，有關人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖敌秃瘮的Ｐ捅硎荆ǔ？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．考向五對數型函數模型例5我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發(fā)現，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數v＝5log2eq\f(O,10)，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．(1)計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？反思感悟有關對數型函數的應用題一般都會給出函數關系式，要求根據實際情況求出函數關系式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入關系式求值，然后根據值回答其實際意義．考向六建立擬合函數模型解決實際問題例3某紀念章從2019年1月6日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念章每枚的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數據如下：上市時間x天41036市場價y元905190(1)根據上表數據結合散點圖，從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；(2)利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格．反思感悟建立函數模型應遵循的三個原則(1)簡化原則：建立函數模型，原型一定要簡化，抓主要因素，主要變量，盡量建立較低階、較簡便的模型．(2)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結論．(3)反映性原則：建立模型，應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．基礎題型訓練一、單選題1．函數的零點是（

）A．2 B． C． D．2．函數的一個零點為，則它的另一個零點是（

）A． B．1 C． D．23．函數在下列區(qū)間內一定有零點的是A． B． C． D．4．方程的實數解的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如果關于x的方程有實數根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．用二分法找函數在區(qū)間上的零點近似值，取區(qū)間中點，則下一個存在零點的區(qū)間為（）．A． B． C． D．8．在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內近似根的過程中，已經得到，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定9．設是函數的零點，若，則的值滿足（

）A． B． C． D．以上都有可能10．據統(tǒng)計，第x年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數量y（只）近似滿足.觀測發(fā)現第1年有越冬白鶴3000只，估計第7年有越冬白鶴（

）A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只11．某廠印刷某圖書總成本y（元）與圖書日印量x（本）的函數解析式為y=5x+3000，而圖書出廠價格為每本10元，則該廠為了不虧本，日印圖書至少為（）A．200本 B．400本 C．600本 D．800本12．某商場出售一種商品，每天可賣1000件，每件可獲利4元．據經驗，若這種商品每件每降價0.1元，則比降價前每天可多賣出100件，為獲得最好的經濟效益，每件售價應降低的價格為()A．2元 B．2.5元C．1元 D．1.5元二、解答題13．如圖，某中學準備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園，已知院墻長為25米，籬笆長50米（籬笆全部用完），設籬笆的一面的長為米．(1)當的長為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？(2)若圍成的矩形的面積為S平方米，當x為何值時，S有最大值，最大值是多少？14．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態(tài)不考慮）.(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數；(2)當水深為1.2m時，求橫斷面中水的面積.15．某公司設計了某款新產品，為生產該產品需要引進新型設備.已知購買該新型設備需要3萬元，之后每生產x萬件產品，還需另外投入原料費及其他費用萬元，產量不同其費用也不同，且已知每件產品的售價為8元且生產的該產品可以全部賣出.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；(2)該產品年產量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？其最大利潤為多少萬元？16．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產，已知生產此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產萬盒，需投入成本萬元，當產量小于或等于50萬盒時；當產量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關于產量（萬盒）的函數關系式；(2)當產量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產中所獲利潤最大？17．“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數.當時，v的值為2；當時，v是關于x的一次函數.當x＝20時，因缺氧等原因，v的值為0.(1)當時，求函數的表達式；(2)當x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.18．首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數關系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？19．為了加強“疫情防控”，某校決定在學校門口借助一側原有墻體，建造一間墻高為4米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應急室，由于此應急室的后背靠墻，無需建造費用，公司甲給出的報價為：應急室正面的報價為每平方米400元，左右兩側報價為每平方米300元，屋頂和地面報價共計9600元，設應急室的左右兩側的長度均為x米（），公司甲的整體報價為y元．(1)試求y關于x的函數解析式；(2)現有公司乙也要參與此應急室建造的競標，其給出的整體報價為元，若采用最低價中標規(guī)則，哪家公司能競標成功？請說明理由．20．2016年4月16日00時25分日本九州發(fā)生7.3級地震．地震發(fā)生后，停水斷電，交通受阻．已知A地到B地的電話線路發(fā)生故障(假設線路只有一處發(fā)生故障)，這是一條10km長的線路，每隔50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？21．已知函數f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區(qū)間[0,1]內有兩個實根．22．已知函數在區(qū)間上有個零點.（1）求實數a的取值范圍；（2）若，用二分法求方程在區(qū)間上的根.23．某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y（萬元）與年產量x（噸）之間的函數關系式可以近似表示為，已知此生產線年產量最大為210噸，若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？24．某廠推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固定成本為20000元，每生產一件“玉兔”需要增加投入100元，根據統(tǒng)計數據，總收益P（單位：元）與月產量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）（1）請將利潤y（單位：元）表示成關于月產量x（單位：件）的函數；（2）當月產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？25．牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當的空閑量,已知羊群的年增長量y（只）和實際畜養(yǎng)量x（只）與空閑率的乘積成正比，比例系數為.（1）寫出y關于x的函數解析式，并指出這個函數的定義域；（2）求羊群年增長量的最大值.26．國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，飛機票價格為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機票價格就減少10元，直到達到規(guī)定人數75人為止.旅行團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.(1)寫出飛機票的價格關于人數的函數；(2)旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？27．下表表示的是某款車的車速與剎車距離的關系，試分別就，，三種函數關系建立數學模型，并探討最佳模擬，根據最佳模擬求車速為120km/h時的剎車距離．車速/（km/h）1015304050剎車距離/m47121825車速/（（km/h）60708090100剎車距離/m3443546680提升題型訓練一、單選題1．某廠日生產文具盒的總成本y（元）與日產量x（套）之間的關系為y＝6x＋30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（

）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套2．函數的單調遞減區(qū)間是A． B．C． D．3．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷售中發(fā)現，這種商品每天的銷量（件）與每件的售價（元）滿足一次函數：．若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應定為A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好4．從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度（單位：）與小球運動時間（單位：）之間的關系式為，那么小球從拋出至回落到地面所需要的時間是A． B． C． D．5．隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量與大氣壓強成正比例函數關系．當時，，則與的函數關系式為A． B．C． D．6．某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘元（不滿三分鐘按三分鐘計算），以后每加一分鐘增收元（不滿一分鐘按一分鐘計算），那么某人打市話用時550秒，應支付電話費A．元 B．元 C．元 D．元7．下面是一幅統(tǒng)計圖，根據此圖得到的以下說法中，正確的個數是（

）①這幾年生活水平逐年得到提高；②生活費收入指數增長最快的一年是2014年；③生活價格指數上漲速度最快的一年是2015年；④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數也略有降低，因而生活水平有較大的改善．A．1 B．2C．3 D．48．若函數經過點，則函數的零點是（

）A．0，2 B．0， C．0， D．2，9．當x越來越大時，下列函數中增長速度最快的是（

）A