山西省2024屆高三上學(xué)期優(yōu)生聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

第5頁/共5頁山西省優(yōu)生聯(lián)考2023-2024學(xué)年上學(xué)期1月考試高三數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.3.第19屆亞洲運(yùn)動會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，時值中秋和國慶假期，某班同學(xué)利用假期在家通過網(wǎng)絡(luò)直播觀看比賽.已知該班有30名學(xué)生喜歡看排球比賽，40名同學(xué)喜歡看籃球比賽，50名同學(xué)喜歡看排球比賽或籃球比賽，若從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為（）A. B. C. D.4.已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（）．A.13 B.12 C.10 D.86.已知、是兩個平面，直線，，若以①；②；③中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，則其中正確的命題有（）A.①③②；①②③ B.①③②；②③①C.①②③；②③① D.①③②；①②③；②③①7.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，若將的圖象向左至少平移個單位長度后可得到的圖象，則（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.C.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱8.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù).設(shè)初始正方形的邊長為，依次構(gòu)造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構(gòu)成數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，令，其中表示x，y中的較大值.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列代數(shù)式的值為的是（）A. B.C. D.10.已知，且，則（）A. B.C. D.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.是周期為的周期函數(shù) B.C.當(dāng)時， D.12.在長方體中，，E是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，的平面交棱于點(diǎn)F，P為線段上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A.三棱錐的體積為定值B.存點(diǎn)P，使得C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.三棱錐外接球表面積的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_______．14.已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則________________.15.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學(xué)習(xí)小組通過單光源實(shí)驗(yàn)來演示月球背面.由光源點(diǎn)射出的兩條光線與分別相切于點(diǎn)、，稱兩射線、上切點(diǎn)上方部分的射線與優(yōu)弧上方所夾的平面區(qū)域(含邊界)為圓的“背面”.若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓處于的“背面”，則的最大值為__________.16.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和.18.已知中，角所對邊分別為.（1）求；（2）設(shè)是邊上的點(diǎn)，且滿足，求內(nèi)切圓的半徑.19.2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若，令，則，且．（ⅰ）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面的面積為4，且四棱錐的體積為.（1）求點(diǎn)到平面的距離;（2）若平面平面，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.設(shè)，分別是橢圓的左、右