中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題12 一線三等角模型（解析版）

題型十二一線三等角模型【要點(diǎn)提煉】【認(rèn)識(shí)一線三等角模型】一線三等角模型顧名思義，即在一條直線上有三個(gè)相等的角，就可稱為一線三等角模型，按角的大小可分為：銳角型、直角型、鈍角型【一線三等角模型的重要結(jié)論】如上圖1①?證明：∵∠1+∠4=180°∠1+∠2=180°∠∴∴∵∠∴②BD∵?∴【特殊情況下的一線三等角模型】①全等型一線三等角注意：一線三等角模型只有在對(duì)應(yīng)邊相等的情況下才能全等，不能隨意理解為只要兩個(gè)邊相等就能全等②中點(diǎn)型一線三等角模型當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，圖形除了原本的結(jié)論還有新的結(jié)論可以得到，而該情況較?？嫉?，因此可以作為模型記下來(lái)，證明過(guò)程如下由?BDE~?得ED∵D為BC中點(diǎn)∴BD=CD∴ED又∵∠EBD=∠EDF∴?∴∠4=∠5即ED為∠BEF的平分線③不在同一側(cè)的一線三等角模型下圖中，直線AP上也有三個(gè)等角，但三個(gè)角不在直線AP的同一側(cè)，此時(shí)是比較特殊的一線三等角模型，也可證明兩三角形相似證明：∵∠1+∠2=∠DBA∠2+∠3=∠DPC∠DBA=∠DPC∴∠1+∠2=∠2+∠3∴∠1=∠3∵∠DBA=∠CAQ∴∠DBP=∠CAP∴?QQ【構(gòu)造一線三等角模型】①已知一線二等角--補(bǔ)一等角--構(gòu)成一線三等角②已知一線特殊角--補(bǔ)二等角--構(gòu)成一線三等角（如下圖）【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共1小題）1．已知△ABC，AC＝BC，∠C＝120°，邊長(zhǎng)AC＝10，點(diǎn)D在AC上，且AD＝6，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段DF，要使點(diǎn)F恰好落在BC上，則AE的長(zhǎng)是（）A．4+43 B．63 C．43 D．4+23【答案】A【解析】解：如圖，延長(zhǎng)DC到G，使DG＝AE，連接FG，∵AC＝BC，∠C＝120°，∴∠A＝30°，∠FCG＝60°，∵∠A+∠1＝∠EDF+∠2，又∵∠EDF＝30°，∴∠1＝∠2，在△EDA和△DFG中，AE=GD∠1=∠2∴△EDA≌△DFG（SAS），∴AD＝GF＝6，∠A＝∠G＝30°，∵∠G+∠FCG＝90°，∴∠CFG＝90°，設(shè)CF＝x，則CG＝2x，由CF2+FG2＝CG2得：x2+62＝（2x）2，解得x1＝23，x2＝﹣23（不合題意舍去），∴CG＝43，∴AE＝DG＝4+43，故選：A．二．填空題（共3小題）2．（2020?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EM．則下列結(jié)論中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=2ME④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，則EF：BF=2⑥CF?DM＝BM?DE，正確的有①②③④⑤⑥．（只填序號(hào)）【答案】①②③④⑤⑥【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，故①正確；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，連接FM，CM，∵點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，∴CM=12AB＝BM＝AM，CM⊥在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF為等腰直角三角形，∴EF=2EM＝AE﹣CE，故③正確，∠MEF＝∠MFE∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正確，設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N，連接DN，∵∠DMF＝∠NME，F(xiàn)M＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM（ASA），∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN為等腰直角三角形，∴DN=2DM，而∠DEA∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正確；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE（ASA），∴DE＝CE，∵△MEF為等腰直角三角形，∴EF=2EM∴EFBF=EF∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，∴△CDM∽△ADE，∴CDAD∵BM＝CM，AE＝CF，∴BMCF∴CF?DM＝BM?DE，故⑥正確；故答案為：①②③④⑤⑥．3．（2020?咸寧）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，連接AF，有下列結(jié)論：①△ABE∽△ECG；②AE＝EF；③∠DAF＝∠CFE；④△CEF的面積的最大值為1．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①②③【解析】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ECG＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠CEG，∴△ABE∽△ECG，故①正確；②在BA上截取BM＝BE，如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，BA＝BC，∴△BEM為等腰直角三角形，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵BA﹣BM＝BC﹣BE，∴AM＝CE，∵CF為正方形外角平分線，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中∠MAE=∠CEFAM=EC∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，故②正確；③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，∴∠DAF＝∠CFE，故③正確；④設(shè)BE＝x，則BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，S△ECF＝S△AME=12?x?（2﹣x）=?12（x當(dāng)x＝1時(shí)，S△ECF有最大值12故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．4．（2019?臺(tái)州）如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且mn=23，則m+n的最大值為【答案】25【解析】解：延長(zhǎng)AB交l3于E，∵mn易知DBCE∵BD＝4，∴CE＝10，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝90°，設(shè)m＝2x，n＝3x，構(gòu)造以CE為直徑的半圓，則點(diǎn)B在其弧上運(yùn)動(dòng)，易知BG≤B′G′＝5，即3x≤5，∴x≤53，∵m+n＝5x∴m+n的最大值為253故答案為：253三．解答題（共6小題）5．（2020?宿遷）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB＝90°，求證：AEEB【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且EFEG=AEEB，連接BG交求證：BH＝GH．【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC＝180°，且AEEB=DEEC，過(guò)E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA＝∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG【解析】【感知】證明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°，∴∠BEC＝∠EAD，∴Rt△AED∽R(shí)t△EBC，∴AEEB【探究】證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知EFEG∵EFEG∴DEGM∴BC＝GM，又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH＝GH，【拓展】證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME＝∠AFE，過(guò)點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠N＝∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，∴∠EAF＝∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴AEBE∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°，而∠EFA＝∠AEB，∴∠CED＝∠EFD，∵∠BMG+∠BME＝180°，∴∠N＝∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°，∴∠EDF＝∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴DEEC又∵AEEB∴EFBM∴BM＝CN，又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG＝CG．6．（2020?雅安）如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連接AE，G是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出EC為何值時(shí)，△CEF的面積最大．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴ABEG∴102+FG∴FG＝8，∴S△ECF=12CE?FG（3）設(shè)CE＝x，則BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴ABEG∴10x+FG∴FG＝10﹣x，∴S△ECF=12×CE×FG=12×x?（10﹣x）=?12（x2﹣10x當(dāng)x＝5時(shí)，S△ECF最大=257．（2020?長(zhǎng)沙）在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的長(zhǎng)；（3）若AE﹣DE＝2EC，記∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）設(shè)EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=A∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∴23∴x=2∴EC=2（3）∵△ABF∽△FCE，∴AFEF∴tanα+tanβ=BF設(shè)AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2?a∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∴ax∴a2﹣ax=b2?∴14b2=b2整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴ba∴tanα+tanβ=BC8．（2020?懷化）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使CD＝CA，且∠D＝30°．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G．求證：CG2＝AE?BF．【解析】（1）證明：連接OC，如圖所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分線，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠AED＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分線，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠AEC＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴AECF=CEBF，即AE?BF＝又CE＝CG，CF＝CG，∴AE?BF＝CG2．9．（2020?達(dá)州）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PA交射線CD于點(diǎn)E．聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究：（1）通過(guò)推理，他發(fā)現(xiàn)△ABP∽△PCE，請(qǐng)你幫他完成證明．（2）利用幾何畫(huà)板，他改變BC的長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，得到不同位置時(shí)，CE、BP的長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)值：當(dāng)BC＝6cm時(shí)，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.831.331.501.330.83…當(dāng)BC＝8cm時(shí)，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…這說(shuō)明，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要保證點(diǎn)E總在線段CD上，BC的長(zhǎng)度應(yīng)有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在BP和CE的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中，BP