2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題

二。二三年綏化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.考試時間120分鐘

2.本試題共三道大題，28個小題

3.所有答案都必須寫在答題卡上所對應(yīng)的題號后的指定區(qū)域內(nèi)

一、單選題

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸時稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折置，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果

旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐

一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意：

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；

C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故C選項合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的美鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對

稱圖形的定義.

2.計算卜5|+2°的結(jié)果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)求一個數(shù)的絕對值，零指數(shù)鼎進行計算即可求解.

【詳解】解：卜5|+20=5+1=6,

故選：D.

【點睛】本題考查了求一個數(shù)的絕對值，零指數(shù)塞，熟練掌握求一個數(shù)的絕對值，零指數(shù)幕是解題的關(guān)

鍵.

3.如圖是一個正方體，被切去一角，則其左視圖是（）

【解析】

t分析】根據(jù)左視圖的意義判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，該幾何體的左視圖為:

故選B.

【點睛】本題考查了三視圖的畫法，熟練掌握三視圖的空間意義是解題的關(guān)鍵.

4.納米是非常小的長度單位，lnm=0.000000001m,把0.000000001用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1x10-9B.1x10-8c.Ixio8D.1X109

【答案】A

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為〃xi（r"，其中1＜忖＜io,〃為整數(shù).

【詳解】解：0.000000001=ixio-9.

故選:A.

【點睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為axl（r"，其中1＜忖＜10,

〃為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的。的個數(shù)所決定，確定。與〃的值是解題的關(guān)鍵.

5.下列計算中，結(jié)果正確的是（）

A.（-pg）'.%'B.+X2x2=x8C.>/25=±5D.（*=*

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方與幕的乘方運算，同底數(shù)幕的乘法、合并同類項，算術(shù)平方根，進行計算即可求解.

【詳解】解:A.Jpq）3=-p3q3,故該無項不正確，不符合題意；

B.心/+l2./=2/,故該選項不正確，不符合題意；

C.725=5,故該選項不正確，不符合題意；

D.（〃2丫=。6,故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了積的乘方與嘉的乘方運算，同底數(shù)幕的乘法、合并同類項，算術(shù)平方根，熟練掌握以

上運算法則是解題的關(guān)鍵.

6.將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，Zl=25°,Z2=30°,則N3的度數(shù)為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可求解.

【詳解】解：依題意，Zl+90°=Z3+45°,

VZl=25°,

???Z3=70°,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.

7.下列命題中敘述正確的是（）

A.若方差其>或，則甲組數(shù)據(jù)的波動較小

B.直淺外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離

C.三角形三條中線的交點叫做三角形的內(nèi)心

C.90~100這組數(shù)據(jù)的組中值是96

D.110?120這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為51。

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)。組的人數(shù)除以占比求得樣本的容量，結(jié)合統(tǒng)計圖求得80Wx<90的人數(shù)為15,進而根據(jù)中

位數(shù)的定義，即可判斷B選項，根據(jù)組中值為90+1°°=95,即可判斷C選項，根據(jù)110?120的占比乘

2

以360。，即可判斷D選項.

【詳解】解：A、該組數(shù)據(jù)的樣本容量是12?24%=50,故該選項不正確，不符合題意；

B、80KXV90的人數(shù)為：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在90~100這一組，故該選項正確，符合題意；

C、90?100這組數(shù)據(jù)的組中值是95,故該選項不正確，不符合題意；

7

D、110~120這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的扇形統(tǒng)計圖的圓心角度數(shù)為%*360。=50.4。，故該選項不正確，不符合

題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了樣本的容量，條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，中位數(shù)的定義，求扇形統(tǒng)計圖的圓

心角的度數(shù)，求頻數(shù)分布直方圖組中值，從統(tǒng)計圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點A在），軸的正半軸上，AC平行于x軸，點B,C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,

k

點。在AC上，且其橫坐標(biāo)為1,若反比例函數(shù)>=一（x>0）的圖像經(jīng)過點8,D,則2的值是（）

X

2

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)8（3,m），則。（3,6+2）,。（1,機+2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，列出等式計算即可.

【詳解】設(shè)

???點B,C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,4c平行于x軸，點。在AC上，且其橫坐標(biāo)為1,

:.C（3,7H4-2）,D（l,/n+2）,

/.3帆=m+2,

解得機=1>

???8（3』），

:.k=3x1=3,

故選C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，熟練掌握〃的意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的在甲車運送1天貨物后，公司增派乙車運

4

送貨物，兩車又共同運送貨物3天，運完全部貨物.求乙車單獨運送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨運送

這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列出分式方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)乙車單獨運送這批貨物需“天，由題意列方程

故選：B.

【點睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在菱形A5CD中，ZA=60°,AB=4,動點M,N同時從A點出發(fā)，點M以每秒2個單

位長度沿折線A-8-C向終點。運動；點N以每秒1個單位長度沿線段AQ向終點O運動，當(dāng)其中一點

運動至終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為x秒，eAMN的面積為個平方單位，則下列正確

表示了與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

BC

AD

1/I

C.2c卜.“：D.2/3r?^y；

2

J-i-of2-4*J

q2~Tf-

【答案】A

【解析】

【分析】連接30,過點8作5￡_1_4）于點E，根據(jù)已知條件得出△A3。是等邊三角形，進而證明

二AMVSABE得出N/WMnNAEBnOO。，當(dāng)0v，v4時，A/在AB上，當(dāng)4Wfv8時，M在3C

上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，

【詳解】解：如圖所示，連接30,過點B作鹿_LA。于點E

當(dāng)0vzv4時，”在48上，

B_____________c

ANED

菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4，

：.AB=AD,則△ABO是等邊三角形，

AAE=ED=^AD=2,BE=6AE=26

???AM=2x,AN=x,

AMAB「r

??“J，又ZA-ZA

???^AMN^ABE

ZANM=ZAEB=90°

?*-MN=\lAM2-AN2=顯，

**?y=-xxy/3x=—x2

22

當(dāng)4W，v8時，M在8c上，

：.y=-ANxBE=-xx2y/3=y/3x,

.22

綜上所述，0<f<4時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)4Wfv8時，函數(shù)圖象是直線的一部

分，

故選：A.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾

股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相彳歸角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在正方形A5CD中，點E為邊CO的中點，連接AE,過點3作MJ_AE于點尸，連接8。

交AE于點G,FH平分NBFG交BD于點H.則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）

22

①AB'b/AE；②SABGF'MAF=23③當(dāng)時，BD-BDHD=a

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【解析】

【分析】①根據(jù)題意可得NABb=900—N5AF=ZDAE,貝iJcosNABF=cos/EW,即

—=—,又A8=A￡>,即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長為明根據(jù)勾股定理求得AF，證明

ABAE

-GABs.GED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GE,進而求得口，即可判斷②；過點”分別作BRAE

的垂線，垂足分別為M,N,根據(jù)②的結(jié)論求得BH，勾股定理求得50,即可判斷③.

【詳解】???四邊形A8C￡>是正方形，

/.ZBAD=ZADE=90°,AB=AD

VBF1AE

:.ZABF=90°-ZBAF=ZDAE

???cosZABF=cosZE4Z)

即變

又AB=A￡>,

ABAE

AB2=BFAE^故①正確：

設(shè)正方形的邊長為。，

???點E為邊CO的中點，

:.DE=—,

2

:.tan/.ABF-tansNEAD=—,

2

在RtAABE中，AB=y]AF2+BF2=45AF=a^

?“亞

??AF=——a

5

在RtZXAOE中，AE=yjAD2+DE2=—

2

?1717ACAf小逐3小

??Er=AE-AF=——a----a=------a，

2510

AB//DE

；?；.GABS：.GED

AGABc

r.—=—=2

GEDE

：?GE=-AE=—a

36

?"A一口「口小石加26

??FG=AE-AF-GE=——a----a-------a=------a

25615

.竺=二。

??FG2后2

-----a

15

S4BGF?S/XMF=2:3,故②正確；

VAB=a,

：?BD2=AB2+AD2=2a2,

如圖所示，過點”分別作BfAE的垂線，垂足分別為M,N,

又???M_LAE,

???四邊形BW7N是矩形，

,:切是NBFG的角平分線,

???HM=HN,

，四邊形FWW是正方形，

???FN=HM=HN

???BF=2AF=—?,FG=—6/

515

MHFG1

:.=——=-

BMBF3

設(shè)MH=b,則BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b

在RQ8M”中，BHZBM2+MH?=

..2x/5

?BF=----ci

5

?2卡/入

??----a=4o

5

解得：b=—a

10

?，?BH=\fi0x^-a=^-a，

102

ABD2-BDHD=2a2-42ax—a=a2故④正確.

2

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性

質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

【答案】(x+y)(x-z)

【解析】

【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解.

【詳解】解：/+9一xz-yz=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z),

故答案為：(x+j)(x-z).

【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

14.若式子蟲士2有意義，則x的取值范圍是.

x

【答案】］之一5且％工0##工。0且不之一5

【解析】

【分析】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，列出不等式計算即可.

【詳解】???式子史上2有意義，

X

，%+520且xxO,

，x2-5且x￥0,

故答案為：工之一5且4。0.

【點睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件

是解題的關(guān)鍵.

15.在4張完全相同的卡片上，分別標(biāo)出1，2,3,4,從中隨機抽取1張后，放回再混合在一起.再隨

機抽取一張，那么第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)題意列表法求概率即可求解.

【詳解】解：列表如下，

1234

1=1?]_￡￡

1

1234

2=2W221

2—=—

12342

3=3，33

3嗎

1234

<44丁4

4—=2L如

1234

共有16種等可能結(jié)果，符合題意的有8種，

Q1

???第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是三=:,

162

故答案為：!.

【點睛】本題考查了列表法求概率，整除，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵.

11

16.已知一兀二次方程%2+1=5%+6的兩根為不與巧，則一+—的值為.

百馬

【答案】—

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出藥+超=4,%/=-6,將分式通分，代入即可求解.

【詳解】解：???一元二次方程f+x=5jv+6,即工2一4工一6=0,的兩根為王與反，

:.玉+/=4,%|%2=-6,

11Xj+x42

...--+---=2―=---=---

巧

x2xxx2—63

2

故答案為：一；.

3

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

x+2______x-lj二x-4

17.化簡:

x2-2xx2-4x4-4)'X2-2X

【答案】力制會

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解.

x+2x-lYx-4

【詳解】解:

x2-2xx2-4x+4JX2-2X

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

_。2_4_%2+彳工屹―2)

x(x-2)2x-4

1

x-2'

故答案為：.

x—2,

【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，OO的半徑為2cm,A8為。O的弦，點。為AB上的一點，將A8沿弦AB翻折，使點。

與圓心。重合，則陰影部分的面積為.(結(jié)果保留)與根號)

【解析】

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出以。C是等邊三角形，則NAOC=60。，OD=CD=1,根據(jù)陰影部分面積

=S麻形AOC一SAOC即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接。A。。，設(shè)A氏CO交于點。

;將沿弦A8翻折，使點C與圓心。重合，

/.AC=AO,OCA.AB

又OA=OC

:.OA=OC=AC>

???aAOC是等邊三角形，

???Z4OC=60。，OD=CD=T,

-AD=ylAO2-CD2=>/3>

,陰影部分面積=S附形48—5€=瞿兀x22—<x2xg=￡7r—6(cm2)

JoU23'

故答案為：弓兀一Gcm2.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，“8C與△AB'C的相似比為1：2,點A是位似中心，已知點A（2,0）,

點C3份，ZC=90°.則點。'的坐標(biāo)為.（結(jié)果用含“，〃的式子表示）

【答案】（6—2。,一2勾

【解析】

【分析】過點C,C分別作X軸的垂線CDC'D垂足分別為R。，根據(jù)題意得出AD=2AD，則

AD=a-2,CD=b,得出。'(2—2a+4,0),即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點CC'分別作x軸的垂線C。,C'。垂足分別為

???與△ABC的相似比為1：2,點A是位似中心，A(2,0)

：.Aiy=2AD

C(a,b),

.?.AD=a-ZCD=h,

,,

???AD=2a-4yCD=2bt

???。12-2?+4,0)

C'(6—2a,—2。)

故答案為：(6—2a,—2b).

【點睛】本題考杳了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高3。上的動點.連接CE,將CE繞點C順時針旋

轉(zhuǎn)60。得至iJCV.連接AF，EF,DF，則?CD尸周長的最小值是.

【答案】3+3石##3石+3

【解析】

【分析】根據(jù)題意，證明△CBEgeCA尸，進而得出尸點在射線A尸上運動，作點。關(guān)于A尸的對稱點

C',連接。C',設(shè)CC交AF于點O,則N4OC=90°,則當(dāng)。，戶,C三點共線時，/C+尸。取得最

小值，即產(chǎn)C+ED=FC+/Z）=S,進而求得CO,即可求解.

【詳解】解：YE為高30上的動點.

???ZCBE=-ZABC=30°

2

???將CEt繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.^ABC是邊長為6的等邊三角形,

??.CE=CF,/ECF=/BCA=60°,BC=AC

A^CBE^CAF

:.NC4產(chǎn)=NCBE=30。，

???尸點在射線AF上運動，

如圖所示，

作點C關(guān)于4尸的對稱點（7,連接。C,設(shè)CC交A/于點。，則/AOC=90。

在Rt&AOC中，NC4O=30。，則CO=，4C=3,

2

則當(dāng)三點共線時，/C+FZ）取得最小值，叩FC+FD=F'C+F'D=CD

-CC=AC=6,ZACO=/CCD,CO=CD

???

???ZCDC=ZAOC=90°

在AC'DC中，CD=yJc^-CD1=V62-32=3>/3>

???.CDF周長的最小值為CO+FC+CO=CO+OC'=3+3舊，

故答案為：3+36.

【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定,

勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.在求1+2+3+……+100的值時，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,2+99=101…?…，從而得到

1+2+3+-+100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖（1）有1個三角形，記作4=1；

分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2）,有5個三角形，記作生=5：再分別連接圖（2）中間的小三

角形三邊中點得到圖（3）,有9個三角形，記作&=9；按此方法繼續(xù)下去，則4+4+6+?+〃”=

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出。“=1+4（〃-1）=4〃-3,進而即可求解.

【詳解】解：依題意,q=1,q=5,q=9,…，an=1+4（n-1）=4w-3,

l+4〃-3/_八_2

?'?4++…,+〃“==------------拉=（2/1—ljn=2n~-n,

故答案為：2n2—n-

【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22.已知等腰?46C,ZA=120°,AB=2.現(xiàn)將認BC以點3為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45。，得到△ABC',

延長CA'交直線3c于點D.則A7）的長度為.

【答案】4+26或4-2百

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先求得BC=2百，當(dāng)以5c以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)45。，過點B作

BE工A'B交A'D于點、E,當(dāng)a43c以點8為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)45。，過點。作OFJLBC交BC'于

點F，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點A作AM_L8c于點M,

???ZABC=ZACB=30°,

AAM=-AB=]tBM=CM=dAB?-AM2=5

:.BC=25

如圖所示，當(dāng)cABC以點8為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)45。，過點8作BE_LA'3交AO于點￡，

■:ZR4C=120°,

AZDAB=60°,ZA'EB=30。，

在中，A'E=2A3=4,BE=J4?_26,

：等腰金C，ZBAC=120°,AB=2.

???ZABC=ZACB=30°,

???可5C以點8為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)45。，

???N/?T=45。，

???ZDBE=180o-900-45o-30o=15o,ZABD=180°-45°-30°=105°

在中，ZD=180O-ZDArB一N/T8。=180。-60。-105°=15°,

???ND=NEBD，

：,EB=ED=26

:.A!D=A!E+DE=4+2百，

如圖所示，當(dāng)aABC以點8為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)45。，過點。作。尸_LBC交8C于點尸,

在43尸。中，NBDF=/CBC=450,

:.DF=BF

在Rt,OC'產(chǎn)中，ZC=30°

：?DF=—FC,

3

:.BC=BF+6BF=26

:.DF=BF=3-6

???DC=2DF=6-26

??.A,D=C,D-A,C,=6-2y/3-2=4-2y/3

綜上所述，40的長度為4一26或4+26，

故答案為：4-26或4+26.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分

類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

23.已知：點P是。。外一點.

3）尺規(guī)作圖：如圖，過點?作出0。的兩條切線PE，PF,切點分別為點E、點（保留作圖痕

跡，不要求寫作法和證明）

（2）在（1）的條件下，若點。在00上（點。不與E，尸兩點重合），且NEP尸=30。.求NEDF的

度數(shù).

【答案】（1）見解析（2）/瓦卯=75?；?05。

【解析】

【分析】（1）①連接尸O,分別以點P,。為圓心，大于!尸。的長為半徑畫圓，兩圓交于點兩點，

作直線MN交OP于點A,②以點A為圓心，OA為半徑畫圓，與。。交于瓦尸兩點，作直線「日尸尸,

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出NPfO=N/￥O=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出NEOF=150。，進而根據(jù)圓周

角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示,

①連接尸。，分別以點P,。為圓心，大于g尸。的長為半徑畫弧，兩弧交于點M,N兩點，作直線MN交

0P于點A,

②以點A為圓心，為半徑畫圓，與0。交于￡尸兩點，作直線尸已尸尸，

則直線即為所求；

【小問2詳解】

如圖所示，點。在0。上（點D不與E,尸兩點重合），且NEP尸=30。,

???PE,尸尸是0。的切線，

???ZPEO=ZPFO=90°,

???ZEOF=360°-90°-90°-30°=150°,

當(dāng)點。在優(yōu)弧斯上時，NEDF=；NEOF=75。,

當(dāng)點。在劣弧郎上時，Z^DF=180o-75°=105°,

???NEDF=75?；?05°.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定

理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，直線MN和砂為河的兩岸，且MN〃EF,為了測量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸正

的8點測得NC8E=30。，從8點沿河岸所的方向走40米到達。點，測得NCDE=450.

（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）

（2）若從。點繼續(xù)沿。E的方向走（12百+12）米到達P點.求tan/CFE的值.

【答案】（1）河兩岸之間的距離是20J5+20米

（2）tanNCPE=」

2

【解析】

【分析】（1）過點。作CN_LE尸于點M,設(shè)CM=。米，在RlZXMCB中，MB=6a，在

RtzXMCD中，MD=MC=a,根據(jù)3。=40,建立方程，解方程即可求解；

（2）根據(jù)題意求得MP的長，進而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，

過點C作CMJ_M于點設(shè)CM=a米，

???ZCBE=30°

???tanNCBM=—=tan30°=—，

PB3

:.MB=小，

CM

在RtaMCD中，tanZ.CDM=------=tan45°=1,

MD

:.MD=MC=a

:.BD=MB-MD=C"a=40

解得：〃=20G+20

答：河兩岸之間的距離是206+20米；

【小問2詳解】

解：如圖所示,

依題意，P8=8O+￡>P=40+（12后+12）=52+12逐，

.?.MP=MB-PB=（20V3+20）>/3-（52+12>/3）=8+85/3,

在RtaCMP中，tan/CPM=絲=第⑺子。=3,

MP8+8石2

???tanZCPE=-.

2

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

25.某校組織師生參加夏令營活動，現(xiàn)準(zhǔn)備租用A、8兩型客車（每種型號的客車至少租用一輛）.A型

車每輛租金500元，8型車每輛租金600元.若5輛A型和2輛8型車坐滿后共載客310人；3輛A型和

（2）若該校計劃租用A型和B型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并將全校420人載至目的

地.該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

（3）在這次活動中，學(xué)校除租用A、3兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運輸車.已知從學(xué)校到夏令

營目的地的路程為300千米，甲車從學(xué)校出發(fā)0.5小時后，乙車才從學(xué)校出發(fā)，卻比甲車早0.5小時到達

目的地.下圖是兩車離開學(xué)校的路程5（千米）與甲車行駛的時間，（小時）之間的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象

信息，求甲乙兩車第一次相遇后，f為何值時兩車相距25千米.

【答案】（1）每輛A型車、5型車坐滿后各載客40人、55人

（2）共有4種租車方案，租8輛A型車，2輛B型車最省錢

(3)在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)f=3小時或二小時時，兩車相距25千米

3

【解析】

【分析】(1)設(shè)每輛A型車、〃型車坐滿后各載客人人、丁人，由題意列出一元一次方程組，解方程組即

可求解；

(2)設(shè)租用A型車m輛，則租用8型車(10-加)輛，由題意列出一元一次不等式組，解不等式組，求整

數(shù)解即可得出加的值，設(shè)總租金為卬元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)設(shè)$甲二燈，s乙=k'+b,由題意可知，甲車的函數(shù)圖像經(jīng)過(4,300)；乙車的函數(shù)圖像經(jīng)過

(0.5,0),(3.5,300)兩點.求出函數(shù)解析式，進而即可?求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)每輛A型車、B型車坐滿后各載客X人、y人，由題意得

5x+2y=310

3x+4y=340

x=40

解得

y=55

答：每輛A型車、B型車坐滿后各載客40人、55人?

【小問2詳解】

設(shè)租用A型車加輛，則租用3型車(10-加)輛，由題意得

500/w+600(10-m)<55002

40w+55(10-w)>420解得：5-W-83

?機取正整數(shù),

??tn=5,6,7,8

共有4種租車方案

設(shè)總租金為卬元，則卬=500m+600(10-m)=-l00川+6000

-100<0

.?.故隨著加的增大而減小

?"=8時，w最小

?二租8輛A型車，2輛8型車最省錢?

【小問3詳解】

設(shè)$甲=七,5乙=k”b.

由題意可知，甲車的函數(shù)圖象經(jīng)過(4,300)；乙車的函數(shù)圖象經(jīng)過(0.5,0),(3.5,300)兩點.

s甲=75/,s乙=1007-50

S乙一S甲=25,gpioor-50-75/=25

解得，=3

或300—75,=25

解得

3

所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)，=3小時或U小時時，兩車相距25千米.

3

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等

量關(guān)系，列出方程組，不等式組，以及函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

26.已知：四邊形43C。為矩形，A3=4,AD=3f點尸是5c延長線上的一個動點(點尸不與點。

重合).連接AF交CO于點G.

圖一圖二圖三

(1)如圖一，當(dāng)點G為CD的中點時，求證：△ADGNXFCG.

(2)如圖二，過點C作。E_LAb，垂足為E.連接跳，設(shè)BF=x,CE=y.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式.

(3)如圖三，在(2)的條件下，過點8作交￡4的延長線于點M.當(dāng)C『二l時，求線段

BM的長.

【答案】(1)見解析(2)y=：丁2(或(4工一,)>/，+16)

7

Jf+16X2+16

3

【解析】

【分析】3)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出〃防，則N0=NDC/，根據(jù)題意得出Z)G=CG,即可證明

△ADG^AFCG(ASA)；

222

(2)在RjAB/中，AF=y/AB+BF=Vx+16?證明△?！晔?八46尸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可求解；

(3)過點E作硒工BF于點N,得出AA3/，△CEF為等腰直角三角形，在RtuBNE中,勾股定理

求得BE,證明△BAMsABCE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

證明：???四邊形ABC。為矩形，

???AD//BF，

:.ZD=ZDCF,

?：GCO中點，

:,DG=CG,

△ADG和△尸CG中

ND=NGCF

<DG=CG,

NAGD=4FGC

???AAOGg△尸CG(ASA)；

【小問2詳解】

???四邊形ABC。為矩形，

??Z4BC=90°,

：CE±AF,

??NCEF=90。=ZABC,

??/F=/F,

??MEFsAABF,

?C_E___C_F

?而一而‘

AB=4，BF=x，

???在Rt二AB/中，AF7AB=&+16，

*.*CE=yt

y_x-3

4J?+16'

4x-12(4x-12)J/+i6、

…不不（或》

-2+16

【小問3詳解】

過點E作硒_L8產(chǎn)于點N,

???四邊形ABC。為矩形，且40=3,

:.AD=BC=3>

VAB=4,CF=1,

：?AB=BF,

???ZXAB/為等腰直角三角形，

???NCFE=NBAF=45。,

f：CE±AF,

???ACEF為等腰直角三角形，

???NEC戶=45。，

VEVACF,

:?EN平%CF,

：.CN=NF=NE=-,

2

在RL8VE中，

VBE2=BN2+EN\

.LifpY5V2

??BE=4|3H—+—=--,

VZ￡，CF=Z^4F=45°,

???ZaAM=ZBCE=135°,

vBM_LBE,

???ZMBA+ZABE=90°,

??,ZABE+NEBC=90。,

:?/MBA=/EBC,

:.ABAMSABCE,

.BMBA4

/.----=----=一,

BEBC3

BM_4

A-S/2-3>

~2~

.a,10x/2

??BM—----------?

3

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式,

勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，MV為。。的直徑，且MN=15,MC與ND為圓內(nèi)的一組平行弦，弦A3交MC于點

H.點4在面上，點8在州c上，NOND+NAHM=900.

(1)求證：MHCH=AHBH.

(2)求證：AC=BC.

(3)在。。中，沿弦NQ所在的直線作劣弧NO的軸對稱圖形，使其交直徑MN于點G.若

3

sinZCM7V=-,求NG的長.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】（1）證明▲AM//S...CEH即可；

（2）連接0C,交于點/，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可;

（3）利用對稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題即可.

【小問1詳解】

N45。和/AMC是AC所對的圓周角，

?ABC2AMC,

2AHM?CHB,

A-&CBH,

:.——AH=——MH，

CHBH

：?MHCH=AHBH.

【小問2詳解】

MC與NO為一組平行弦，即：MC〃ND,

..?OND?OMC,

OM=OC,

??4OMC=/OCM,

NOND+ZAHM=90°,

?OCM2AHM20cM2cHB90?,

??.ZZ/FC=90°,

OC1AB,

???OC是AB的垂直平分線，

AC=BC?

【小問3詳解】

連接DM、DG,過點。作OE_LMV,垂足為七，設(shè)點G的對稱點G',連接G/、G'N,

DG=DG',2GsiND?GND,

???DM=DG'f

DG0=DM,

DG=DM,

??是等腰三角形，

DE1MN,

GE=ME,

DN〃CM,

.?CMN2DNM,

MN直徑，

/MDN=90。,

NMDE+/EDN=90。,

DE1MN,

?.ZDE/V=90°,

?DNM2EDN90?,

3

sin?EDMsin?DNMsin?CMN

5

在Ri叢MND中,MN=15,

MD_3

sin?DNM

~MN~5

MD3

.?.----------,

155

MD=9,

3ME

在RhMED中,sin?EDM,

5MD

ME3

.?.------...

95

27

ME=—,

5

2721

：.NG=MN-MG=MN-2ME=15-2?——

55

91

，NG=—

5

21

故答案為：y.

【點睛】本題考查了圓的綜合問題，同弧所對圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；熟練掌握相

似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形.

28.如圖，拋物線M=a?+bx+c的圖象經(jīng)過4一6,0）,B（-2,0）,C（0,6）三點，且一次函數(shù)

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

（2）點￡,產(chǎn)為平面內(nèi)兩點，若以E、F.B、C為頂點的四邊形是正方形，且點石在點尸的左

側(cè).這樣的E，尸兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標(biāo)：如果不存在，請

說明理由.

（3）將拋物線y=以2+法十。的圖象向右平移&個單位長度得到拋物線％,此拋物線的圖象與％軸交于

M,N兩點（M點在N點左側(cè)）.點P是拋物線當(dāng)上的一個動點且在直線NC下方.已知點尸的橫坐標(biāo)

為加.過點P作QD_LNC于點O.求用為何值時，有最大值，最大值是多少？

2

【答案】（1）y.=~X2+4X+6,y=3x+6

2

⑵滿足條件的E、尸兩點存在，”一8,2）,與（4，-2）,巴（-4,4）

（3）當(dāng)上時，CD+’PO的最大值為3迪

3224

【解析】

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;

(2)①當(dāng)BC為正方形的邊長時，分別過B點。點作￡與_18。，F(xiàn)XFZLBC,使EiB=E?B=BC,

CF、=CF2=BC,連接片6、E2F2,證明△BE［”］名△CBO(AAS),得出E、H、=BO=2,

H}B=0C=6,則￡(一8,2)同理可得，七2(4,-2)；②以8C為正方形的對角線時，過8C的中點G作

E3K，,使E3F3與BC互相平分且相等，則四邊形E?BF3c為正方形，過點/作E3N±y軸于點N,

過點8