量子力學(xué)-第1章-1-2(第3講)

第1章波函數(shù)與薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§3量子態(tài)疊加原理§2薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋一

粒子和波的經(jīng)典觀點(diǎn)二

微觀粒子波粒二象性三

微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述四

波函數(shù)的性質(zhì)五

動(dòng)量分布概率六

不確定性原理與不確定度關(guān)系七

力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn)在t

時(shí)刻,r

點(diǎn)，體積元dτ=dxdydz

內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t)

描寫的粒子的概率是：

dW(r,t)=|Ψ(r,t)|2

dτ根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1）概率和概率密度

在t

時(shí)刻r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的概率是：

ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=|Ψ(r,t)|2

概率分布密度在體積V

內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的概率為

W(t)=∫V

dW=∫Vω(r,t)dτ=∫V|Ψ(r,t)|2

dτ四

波函數(shù)的性質(zhì)令波函數(shù)的歸一化條件和所描寫狀態(tài)的相對(duì)概率是相同的，這里的

是常數(shù)。時(shí)刻，在空間任意兩點(diǎn)和處找到粒子的相對(duì)概率是：可見，和描述的是同一概率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。

非相對(duì)論量子力學(xué)僅研究低能粒子，粒子不會(huì)產(chǎn)生與湮滅。對(duì)一個(gè)粒子而言，它在全空間出現(xiàn)的概率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即和描述同一狀態(tài)

這與經(jīng)典波截然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來的2倍）時(shí)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的概率等于一的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件：又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性。滿足此條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。求(1)、在范圍內(nèi)找到粒子的概率,(2)、在范圍內(nèi)找到粒子的概率,(3)、在及范圍內(nèi)找到粒子的概率.

例1:設(shè)粒子的歸一化波函數(shù)為(1)在范圍內(nèi)找到粒子的概率,(2)在范圍內(nèi)找到粒子的概率,(3)在及范圍內(nèi)找到粒子的概率.

例1:設(shè)粒子的歸一化波函數(shù)為例2:

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的概率分布，粒子在何處出現(xiàn)的概率最大。

例2:

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的概率分布，粒子在何處出現(xiàn)的概率最大。

歸一化常數(shù)解:

歸一化的波函數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)（2）概率分布：

（3）由概率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)概率最大。x=0注意（1）歸一化后的波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性（δ為實(shí)函數(shù)）。若是歸一化波函數(shù)，那末，也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一概率波。若對(duì)空間非絕對(duì)可積時(shí)，需用所謂δ函數(shù)歸一化方法進(jìn)行歸一化。（2）只有當(dāng)概率密度對(duì)空間絕對(duì)可積時(shí)，才能按歸一化條件進(jìn)行歸一化。小結(jié)：在非相對(duì)論量子力學(xué)中，若僅限于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，則因統(tǒng)計(jì)解釋中只涉及波函數(shù)的振幅，因此存在下述不確定性:

(i)常數(shù)因子的不確定性。若C為常數(shù)，

和描述同一狀態(tài),因?yàn)樗鼈兊南鄬?duì)概率相同:越來越多的實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，波函數(shù)的位相是非常重要的物理概念，只限于統(tǒng)計(jì)解釋還不能完全窮盡對(duì)波函數(shù)的認(rèn)識(shí)。（ii）歸一化后的波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性（δ為實(shí)函數(shù)）。若是歸一化波函數(shù)，那末，也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一概率波。量子波函數(shù)的概率解釋有不足玻恩的概率解釋：“波函數(shù)的振幅的平方是粒子被發(fā)現(xiàn)的概率”

。不是完整詮釋，只關(guān)注所謂的可觀察量（振幅），忽略了相位（因?yàn)椴粚儆诳捎^察量）。楊振寧說，規(guī)范場(chǎng)論就是相位場(chǎng)。相位是其根本。振幅與相位合起來用復(fù)數(shù)表示。相位是復(fù)雜性之源，相位導(dǎo)致糾纏，糾纏導(dǎo)致記憶與電子相干。自由度的糾纏和相干，往往會(huì)造就許多意想不到的結(jié)果。2.已知下列兩個(gè)波函數(shù)試判斷:(1)波函數(shù)和是否描述同一狀態(tài)?(2)對(duì)取兩種情況,得到的兩個(gè)波函數(shù)是否等價(jià)?1.下列一組波函數(shù)共描寫粒子的幾個(gè)不同狀態(tài)?并指出每個(gè)狀態(tài)由哪幾個(gè)波函數(shù)描寫。作業(yè)題前面討論的是單個(gè)粒子的波函數(shù)，假設(shè)一個(gè)體系包含兩個(gè)或多個(gè)粒子時(shí)，波函數(shù)如何表示？

歸一化條件表示為表示

為表述方便，引進(jìn)符號(hào)構(gòu)成付里葉變換與逆變換任一狀態(tài)可按其展開：

從數(shù)學(xué)上講，知道其一,必可唯一地求出另一。

從物理角度看，描述粒子狀態(tài)，那么描述粒子同一狀態(tài)。能量為E和動(dòng)量為P的自由粒子波函數(shù)：五

動(dòng)量分布概率

稱為坐標(biāo)表象中的狀態(tài)波函數(shù)，稱為動(dòng)量表象中的狀態(tài)波函數(shù)。兩者從不同的側(cè)面描寫粒子的狀態(tài),給出了粒子的不同信息（力學(xué)量和的信息）。

物理意義？

是在所描寫的狀態(tài)中，測(cè)量粒子的位置所得結(jié)果為的概率。是在所描寫的狀態(tài)中，測(cè)量粒子的動(dòng)量所得結(jié)果為的概率。六

不確定性原理與不確定度關(guān)系海森堡于1927年在《物理學(xué)雜志》上發(fā)表論文《論量子理論運(yùn)動(dòng)學(xué)與力學(xué)的物理內(nèi)涵》給出這原理的原本啟發(fā)式論述，所以原理又稱為“海森堡不確定性原理”。不確定性原理（uncertaintyprinciple）：粒子的位置與動(dòng)量不可同時(shí)被確定，位置的不確定性越小，則動(dòng)量的不確定性越大，反之亦然。坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定度關(guān)系海森堡不確定關(guān)系揭示了微觀物體運(yùn)動(dòng)的特性和規(guī)律，對(duì)量子力學(xué)發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。不確定關(guān)系和玻恩提出的波函數(shù)的概率解釋一起，共同奠定了量子力學(xué)詮釋的物理基礎(chǔ)。不確定度關(guān)系的注意點(diǎn)1、不確定度關(guān)系是針對(duì)“同一個(gè)態(tài)做x和p的同時(shí)測(cè)量”，

“對(duì)同一個(gè)態(tài)做同時(shí)測(cè)量”的含義是制備大量相同的

被測(cè)態(tài)，分別對(duì)他們獨(dú)立、重復(fù)測(cè)量。

2、由于粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)具有確定值，量子

理論原則上反對(duì)靜止概念和運(yùn)動(dòng)軌道概念，因?yàn)檫@

些概念是以粒子的位置和動(dòng)量能夠同時(shí)測(cè)準(zhǔn)為前提

的。

類似的不確定性關(guān)系式也存在于能量和時(shí)間、角動(dòng)量和角度等物理量之間兩力學(xué)量算符對(duì)易則同時(shí)有確定值；若不對(duì)易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時(shí)具有確定值。不確定度關(guān)系如果兩力學(xué)量算符滿足如下關(guān)系式可以嚴(yán)格證明理解：就算我們把電子的初始狀態(tài)測(cè)量得精確無比，就算我們擁有最強(qiáng)大的計(jì)算工具可以計(jì)算一切環(huán)境對(duì)電子的影響，我們也不能預(yù)言電子最后的準(zhǔn)確位置。這種不確定是深藏在物理定律本身內(nèi)部的一種屬性。這是對(duì)整個(gè)決定論觀點(diǎn)的挑戰(zhàn)，而決定論是當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)的基礎(chǔ)。量子理論要改造整個(gè)科學(xué)！

海森堡不確定關(guān)系揭示了微觀物體運(yùn)動(dòng)的特性和規(guī)律，對(duì)量子力學(xué)發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。不確定關(guān)系和玻恩提出的波函數(shù)的概率解釋一起，共同奠定了量子力學(xué)詮釋的物理基礎(chǔ)。

玻爾對(duì)不確定關(guān)系非常贊賞，并提出了他著名的“互補(bǔ)原理”，從哲學(xué)上對(duì)不確定關(guān)系加以概括，以解釋量子理論的基本特征——波粒二象性。這一原理被稱之為量子力學(xué)的哥本哈根解釋，正是這一解釋受到了愛因斯坦的尖銳批評(píng)，從而拉開了這場(chǎng)國(guó)際性大論戰(zhàn)的序幕。波爾與海森堡波爾的“互補(bǔ)原理”玻爾提出互補(bǔ)原理的事實(shí)根據(jù)是

首先，微觀粒子在某些實(shí)驗(yàn)條件下只表現(xiàn)波動(dòng)性；在另一些實(shí)驗(yàn)條件只表現(xiàn)粒子性。波粒二象性并不能同時(shí)在同一種實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)。其次，根據(jù)不確定關(guān)系，要精確測(cè)量微觀粒子的速度，就弄不清它的位置；反之要精確的測(cè)量它的位置，就弄不清它的速度。此外，時(shí)空描述與因果描述也不可能同時(shí)確立。因?yàn)橐獙?duì)客體進(jìn)行精確的時(shí)空描述，就要發(fā)生儀器對(duì)客體的干擾，這就要在因果鏈上造成缺口，無法確定嚴(yán)格的因果性；要想確定因果性，就要排除任何儀器對(duì)客體的干擾，而這樣一切觀察就不可能了，也就無法實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)空的描述了。因此，玻爾主張?jiān)诹孔游锢碇袘?yīng)當(dāng)拋棄因果性和決定論的概念，而代之以互補(bǔ)原理。

玻爾認(rèn)為，上述波動(dòng)性與粒子性兩種圖象相互排斥，不能同時(shí)存在，但二者都是不可缺少的，只有把它們綜合起來，才能提供某種完整的描述，因此這兩種描述的圖象又是相互補(bǔ)充的。

玻爾指出，物質(zhì)的波粒二象性是他的互補(bǔ)性觀點(diǎn)的一個(gè)很好的根據(jù)和例證，而波粒二象性是微觀現(xiàn)象中一個(gè)很基本的要素，量子力學(xué)中許多結(jié)論，包括海森堡的不確定原理在內(nèi)，都可看成是這一要素的后果。

他還把問題從量子力學(xué)的詮釋引向到一般的“人類概念形式中的普遍困