2024年北師大版高二數學下冊月考試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年北師大版高二數學下冊月考試卷212考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、公比為的等比數列的各項都是正數，且則（）A.B.C.D.2、下列不等式對任意的x∈（0；+∞）恒成立的是（）

A.x-x2≥0

B.ex≥e

C.lnx＞

D.sinx＞-x+1

3、已知f（x）=2x3-6x2+a（a為常數）在[-2；2]上有最大值3，那么此函數在[-2，2]上的值域是（）

A.[-37；3]

B.[-29；3]

C.[-5；3]

D.以上都不對。

4、若存在x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，則實數a的取值范圍是（）A.（﹣∞，1]B.（﹣∞，﹣8]C.[1，+∞）D.[﹣8，+∞）5、當時，復數在復平面內對應的點位于：A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、【題文】在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為()A.B.2C.5D.107、若存在過點(1,0)的直線與曲線和都相切,則a=()A.或B.-1或C.或D.或78、已知函數在上是單調函數,則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.9、某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查；現從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45)歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數大約是()

A.31.6歲B.32.6歲C.33.6歲D.36.6歲評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)10、與雙曲線有共同的漸近線，并且過點A（）的雙曲線的標準方程為________________________．11、設函數點A表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），若向量θn是與的夾角，（其中），設Sn=tanθ1+tanθ2++tanθn，則=____．12、不等式的解集為____________13、某單位有職工200名，現要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1-200編號，并按編號順序平均分為40組（1-5號，6-10號，，196-200號）．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是____．14、某地有居民100000戶，其中普通家庭99000戶,高收入家庭1000戶．從普通家庭中以簡單隨機抽樣方式抽取990戶，從高收入家庭中以簡單隨機抽樣方式抽取l00戶進行調查，發(fā)現共有120戶家庭擁有3套或3套以上住房，其中普通家庭50戶，高收人家庭70戶．依據這些數據并結合所掌握的統(tǒng)計知識，你認為該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計是____.15、【題文】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝若△ABC的面積為則=____．16、若雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于C的實半軸長，則C的離心率是______．17、已知f(x)=2x2+x鈭?kg(x)=x3鈭?3x

若對任意的x1隆脢[鈭?1,3]

總存在x0隆脢[鈭?1,3]

使得f(x1)鈮?g(x0)

成立，則實數k

的取值范圍是______．評卷人得分三、作圖題(共6題，共12分)18、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）19、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）20、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

21、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）22、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）23、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共9分)24、如圖，已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形，O是底面圓心．（Ⅰ）求圓錐的表面積；（Ⅱ）經過圓錐的高AO的中點O￠作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺的體積．25、求滿足下列條件的概率：

（1）若mn都是從集合{1，2，3}中任取的數字，求函數f（x）=x2-4mx+4n2有零點的概率；

（2）若mn都是從區(qū)間[1，4]中任取的數字，在區(qū)間[0，4]內任取個實數x，y，求事件“x2+y2＞（m-n）2恒成立”的概率．26、已知n≥0，試用分析法證明：．評卷人得分五、綜合題(共4題，共28分)27、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．28、已知Sn為等差數列{an}的前n項和，S6=51，a5=13．29、已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，S3=0．30、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設數列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數列．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、A【分析】試題分析：法一：因為且數列各項均為正數，所以因為所以所以所以法二：因為所以所以故A正確。考點：1等比數列的通向公式；2對數的運算。【解析】【答案】A2、B【分析】

對于A；x=3時，顯然不成立；

對于B，設f（x）=ex-ex，∴f′（x）=ex-e；當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；

∴x=1時，f（x）取得最小值為0，∴f（x）≥0，∴ex≥ex；故B正確；

對于C；x=e時，顯然不成立；

對于D；x=π時，顯然不成立；

故選B．

【解析】【答案】對于A，C，D分別列舉反例，對于B，構造函數f（x）=ex-ex；利用導數可求f（x）的最小值為0，故可判斷．

3、A【分析】

由已知，f′（x）=6x2-12x，由6x2-12x≥0得x≥2或x≤0；

因此當x∈[2；+∞），（-∞，0]時f（x）為增函數，在x∈[0，2]時f（x）為減函數；

又因為x∈[-2；2]；

所以得；當x∈[-2，0]時f（x）為增函數；

在x∈[0；2]時f（x）為減函數；

所以f（x）max=f（0）=a=3，故有f（x）=2x3-6x2+3

所以f（-2）=-37；f（2）=-5

因為f（-2）=-37＜f（2）=-5；所以函數f（x）的最小值為f（-2）=-37．

從而值域為[-37；3]

故選A

【解析】【答案】先求導數；根據單調性研究函數的極值點，在開區(qū)間（-2，2）上只有一極大值則就是最大值，從而求出a，通過比較兩個端點-2和2的函數值的大小從而確定出最小值，得到結論．

4、A【分析】試題分析：構造函數f（x）=2x﹣x2，由存在使不等式2x﹣x2≥a成立（如果是任意使不等式2x﹣x2≥a成立則易誤解），可知即答案選A.考點：二次函數的最值【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】試題分析：根據題意，由于那么可知那么橫坐標為m-1<0,可知實部大于零，虛部小于零，可知點位于第四象限，選D?？键c：復數的幾何意義【解析】【答案】D6、C【分析】【解析】因為·=(1,2)·(-4,2)

=1×(-4)+2×2=0,

所以⊥且||==

||==2

所以S四邊形ABCD=||||=××2=5.故選C.【解析】【答案】C7、A【分析】【解答】由求導得

設曲線上的任意一點處的切線方程為將點代入方程得或

（1）當時：切線為所以僅有一解，得

（2）當時：切線為由得僅有一解，得

綜上知或選A.8、B【分析】【解答】函數在上單調，說明其導函數無實根或只有兩相等，即（或）恒成立.無實根，則9、C【分析】【分析】由圖知；抽到的司機年齡都在[30，35)歲之間頻率是0.35；

抽到的司機年齡都在[35；40)歲之間頻率是0.30；

抽到的司機年齡都在[40；45)歲之間頻率是0.10．

由于在頻率分布直方圖中；中位數使得左右頻率相等，故中位數右側的頻率為0.50．

而[35；45)段上的頻率是0.40＜0.50，[30，45)歲之間頻率是0.75＞0.50；

故中位數在區(qū)間[30；35)內，還要使其右側且在[30，35)歲之間頻率是0.10；

所以中位數是35-≈33.6．

故答案選C．二、填空題(共8題，共16分)10、略

【分析】【解析】【答案】11、略

【分析】

設函數點A表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*）；

若向量=

θn是與的夾角；

（其中）；

設Sn=tanθ1+tanθ2++tanθn=

則=1．

【解析】【答案】設函數點A表示坐標原點，點An（n，f（n））（n∈N*），則能推導出Sn=由此能導出．

12、略

【分析】試題分析：去絕對值得或解得或故答案為考點：解不等式【解析】【答案】13、略

【分析】

由分組可知；抽號的間隔為5，又因為第5組抽出的號碼為22；

所以第6組抽出的號碼為27；第7組抽出的號碼為32；

第8組抽出的號碼為37．

故答案為：37．

【解析】【答案】由分組可知；抽號的間隔為5，第5組抽出的號碼為22，可以一次加上5得到下一組的編號，第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為37．

14、略

【分析】【解析】試題分析：首先根據擁有3套或3套以上住房的家庭所占的比例；得出100000戶中居民中擁有3套或3套以上住房的戶數，它除以100000得到的值，為該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估計．【解析】

該地擁有3套或3套以上住房的家庭可以估計有：99000×故答案為5700考點：分層抽樣問題【解析】【答案】570015、略

【分析】【解析】

試題分析：根據題意，由于△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝若△ABC的面積為則可知S=故答案為

考點：解三角形。

點評：解決的關鍵是根據三角形面積公式得到a的值，然后借助于余弦定理得到c的值，屬于基礎題?！窘馕觥俊敬鸢浮?6、略

【分析】解：∵焦點F（c，0）到漸近線y=x的距離等于實半軸長．

∴=a，∴b=a；

∴e2==1+=2；

∴e=．

故答案為：．

由已知中雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通a，b；c的關系，即可求出該雙曲線的離心率．

本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，雙曲線的漸近線與離心率存在對應關系，通過a，b，c的比例關系可以求離心率，也可以求漸近線方程．【解析】17、略

【分析】解：若對任意x1隆脢[鈭?1,3]x0隆脢[鈭?1,3]

都有f(x1)鈮?g(x0)

成立；

即f(x)

在區(qū)間[鈭?1,3]

上的最大值都小于或等于g(x)

的最大值；

隆脽g(x)=x3鈭?3x

隆脿g隆盲(x)=3x2鈭?3

令3x2鈭?3=0

解得x=隆脌1

當x隆脢(鈭?1,1)

時，g隆盲(x)<0g(x)

單調遞減；

當x隆脢(1,3]

時，g隆盲(x)>0g(x)

單調遞增，故當x=1

時，函數g(x)

取到極小值；

也是該區(qū)間的最小值g(1)=鈭?2

又g(鈭?1)=2g(3)=18

．

隆脿g(x)

在[鈭?1,3]

上的最大值為18

．

而f(x)=2x2+x鈭?k

為開口向上的拋物線，對稱軸為x=鈭?14

故當x=3

時取最大值f(3)=21鈭?k

由21鈭?k鈮?18

解得k鈮?3

．

隆脿

實數k

的取值范圍是k鈮?3

．

故答案為：k鈮?3

．

對任意x1隆脢[鈭?1,3]x0隆脢[鈭?1,3]

都有f(x1)鈮?g(x0)

成立，即f(x)

在區(qū)間[鈭?1,3]

上的最大值小于或等于g(x)

的最大值，利用導數求g(x)

的最大值，再由二次函數的最值求f(x)

的最大值即可．

本題為函數導數的綜合應用，涉及函數的極值最值和恒成立問題，屬中檔題．【解析】k鈮?3

三、作圖題(共6題，共12分)18、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．20、略

【分析】【分析】根據軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

21、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】顯然根據兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．23、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共9分)24、略

【分析】

（Ⅰ）∵r＝1，l＝2，∴S表面＝pr2＋prl＝3p；2分（Ⅱ）設圓錐的高為h，則h＝r＝1，∴小圓錐的高h￠＝小圓錐的底面半徑r￠＝2分∴【解析】略【解析】【答案】25、略

【分析】

（1）利用古典概型的概率公式；利用列舉法進行求解即可；

（2）利用幾何概型的概率公式；求出對應的面積進行求解即可．

本題主要考查古典概型和幾何概型概率的計算，利用列舉法以及轉化法是解決本題的關鍵．【解析】解：（1）設函數f（x）有零點為事件A；m，n都是從集合{1，2，3}中任取的數字，依題意得。

所有的基本事件為（1；1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），其中第一個數表示m的取值，第二個數表示n的取值，即基本事件總數為N=9

若函數f（x）=x2-4mx+4n2有零點則△=16m2-16m2≥0；等價于m≥n

事件A所含的基本事件為（1；1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）；

則M=6，P（A）==

（2）設在區(qū)間[0，4]內任取兩個實數x，y，“x2+y2＞（m-n）2恒成立”為事件C則事件C等價于“x2+y2＞9”，（x，y）可以看成平面中的點；則全部結果所構成的區(qū)域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}；

而事件B所構成的區(qū)域B={（x，y）|x2+y2＞9；（x，y）∈Ω}．如圖所示（陰影部分表示事件C）

SΩ=4×4=16，SC=16-

∴P（C）==1-π26、略

【分析】

尋找使不等式成立的充分條件；直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止．

本題主要考查用分析法證明不等式，關鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經顯然具備為止，屬于中檔題．【解析】證明：要證-≤-成立，需證+≥2

只需證≥

只需證n+1≥只需證（n+1）2≥n2+2n；

需證n2+2n+1≥n2+2n；只需證1≥0．

因為1≥0顯然成立，所以，要證的不等式成立．五、綜合題(共4題，共28分)27、略

【分析】【分析】根據OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標是b，因而F點的縱坐標是b，即FM=b，則得到AF=b，同理BE=a，根據（a，b）是函數y=的圖象上的點，因而b=，ab=，則即可求出AF?BE．【解析】【解答】解：∵P的坐標為（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐標為（0，）；M點的坐標為（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F點的坐標為（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E點的坐標為（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF?BE=1．

故答案為：1．28、【解答】（1）設等差數列{an}的公差為d；則。

∵S6=51，

∴{#mathml#}12×6

{#/mathml#}×（a1+a6）=51；

∴a1+a6=17；

∴a2+a5=17，

∵a5=13，∴a2=4，

∴d=3，

∴an=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；

（2）bn={#mathml#}2an

{#/mathml#}=﹣2?8n﹣1，

∴數列{bn}的前n項和Sn={#mathml#}21-8n1-8=27

{#/mathml#}（8n﹣1）．【分析】【分析】（1）