2025年高考數(shù)學一輪復習之平面解析幾何

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學一輪復習之平面解析幾何一．選擇題（共10小題）1．已知拋物線E：y2＝4x的焦點為F，過K（﹣1，0）的直線l與拋物線E在第一象限內(nèi)交于A、B兩點，若|BF|＝3|AF|，則直線l的斜率為（）A．12 B．32 C．2332．已知O是坐標原點，A（3，0），動點P（x，y）滿足|PO|＝2|PA|，則x+A．12 B．32 C．1 D3．已知點M在拋物線x2＝4y上，若點M到點（0，1）的距離為3，則點M到x軸的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，P為拋物線上任意一點，O為坐標原點，若|PF|＝3，則|OP|＝（）A．22 B．3 C．23 D5．拋物線y＝2x2的準線方程為（）A．y=-18 B．y=-126．雙曲線C：y2a2-A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．橢圓C：x2A．5 B．25 C．26 D8．已知橢圓C的焦點為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（）A．x22+y2=C．x24+y9．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點，O是坐標原點，過F作直線與C交于A，B兩點，若|AF2|＝|ABA．312 B．36 C．33 10．已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F的動直線交拋物線C于A，B兩點，Q為線段AB的中點，P為拋物線C上任意一點，若|PF|+|PQ|的最小值為6，則p＝（）A．2 B．3 C．6 D．6二．填空題（共5小題）11．若圓M的圓心在x軸上，且與直線y＝x相切，則圓M的標準方程可以為．（寫出滿足條件的一個答案即可）12．已知AB＝4，點P是以線段AB為直徑的圓上任意一點，動點M與點A的距離是它與點B的距離的2倍，則|PM|的取值范圍為．13．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦距為26，C的一條漸近線與曲線y=12cos14．已知曲線G：x|x|+y|y|＝4，O為坐標原點．給出下列四個結(jié)論：①曲線G關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標原點O的直線l與曲線G有且僅有一個公共點；③直線l：x+y＝2與曲線G所圍成的圖形的面積為π﹣2；④設(shè)直線l：y＝kx+2，當k∈（﹣1，0）時，直線l與曲線G恰有三個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是．15．如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且AD＝1，延長BA到E，使BE＝BC，連接CE，設(shè)以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為e1，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為e2，則e1e2的取值范圍是．三．解答題（共5小題）16．已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率e=5（1）求雙曲線E和圓O的標準方程；（2）過雙曲線E上的一點P作圓O的兩條切線l1，l2，若l1，l2的斜率分別為k1，k2，證明：k1?k2為定值；（3）在（2）的條件下，若切線l1，l2分別與雙曲線E相交于另外的兩點M，N，證明：M，O，N三點共線．17．如圖，雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C2：x24a2-y24b2=1的左、右頂點，過點F1的直線分別交雙曲線C1的左、右兩支于A，（1）求雙曲線C1的方程；（2）若直線MF2交雙曲線C1的右支于D，E兩點．①記直線AB的斜率為k1，直線DE的斜率為k2，求k1k2的值；②試探究：|DE|﹣|AB|是否為定值？并說明理由．18．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過F斜率為2的直線與E交于A，B兩點，|AB|＝10．（1）求E的方程；（2）直線l：x＝﹣4，過l上一點P作E的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標．19．已知G是圓T：（x+1）2+y2＝12上一動點（T為圓心），點H的坐標為（1，0），線段GH的垂直平分線交TG于點R，動點R的軌跡為C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)P是曲線C上任一點，延長OP至點Q，使OQ→=2OP→（i）求曲線E的方程；（ii）M，N為C上兩點，若OQ→=OM20．已知拋物線E：y2＝2x的焦點為F，A，B，C為E上不重合的三點．（1）若FA→+FB（2）過A，B兩點分別作E的切線l1，l2，l1與l2相交于點D，過A，B兩點分別作l1，l2的垂線l3，l4，l3與l4相交于點M．（i）若|AB|＝4，求△ABD面積的最大值；（ii）若直線AB過點（1，0），求點M的軌跡方程．

2025年高考數(shù)學一輪復習之平面解析幾何參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知拋物線E：y2＝4x的焦點為F，過K（﹣1，0）的直線l與拋物線E在第一象限內(nèi)交于A、B兩點，若|BF|＝3|AF|，則直線l的斜率為（）A．12 B．32 C．233【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】B【分析】設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理、拋物線的定義及|AF||【解答】解：設(shè)l方程為x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＞0），由y2消去x得y2﹣4my+4＝0，則有y1+y2＝4m，y1y2＝4①，由|AF||即my1由①②解得y1∴k=故選：B．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．2．已知O是坐標原點，A（3，0），動點P（x，y）滿足|PO|＝2|PA|，則x+A．12 B．32 C．1 D【考點】軌跡方程；兩點間的距離公式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】D【分析】設(shè)P（x，y），可求點的軌跡方程，利用x+【解答】解：設(shè)P（x，y），由題意|PO|＝2|PA|，可得x2+y2=2(x-3)2+y2，整理可得x2+y2﹣8x+12＝且圓心的坐標（4，0），半徑r＝2，x+3yx2+y2表示OP→=（x，要使得x+3yx2+y2取得最大值，有OP→與圓（x﹣4）2+y2可得x+3yx2+y2故選：D．【點評】本題考查點的軌跡的求法，考查向量的數(shù)量積的計算，是難題．3．已知點M在拋物線x2＝4y上，若點M到點（0，1）的距離為3，則點M到x軸的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點】拋物線的焦點與準線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】C【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得焦點坐標及準線方程，再根據(jù)拋物線的定義得yM+1＝3，求得yM，可得點M到x軸的距離．【解答】解：因為拋物線得方程為x2＝4y，所以焦點坐標為（0，1），準線方程為y＝﹣1，根據(jù)題意及拋物線的定義得：yM+1＝3，解得：yM＝2，所以點M到x軸的距離為2．故選：C．【點評】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，P為拋物線上任意一點，O為坐標原點，若|PF|＝3，則|OP|＝（）A．22 B．3 C．23 D【考點】拋物線的焦點與準線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合|PF|＝3，求得點P的坐標，即可求解．【解答】解：由題意F為拋物線y2＝4x的焦點，則F（1，0），且準線方程為x＝﹣1，設(shè)P（xP，yP），由|PF|＝3可得xP+1＝3，∴xP＝2，代入y2＝4x得yP2=8故|OP故選：C．【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．拋物線y＝2x2的準線方程為（）A．y=-18 B．y=-12【考點】求拋物線的準線方程．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出準線方程．【解答】解：∵拋物線方程可化為x2=1∴拋物線y＝2x2的準線方程為y=故選：A．【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．6．雙曲線C：y2a2-A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】A【分析】由點到直線的距離公式，結(jié)合a，c的關(guān)系，求得a，可得漸近線方程，進而得到所求之積．【解答】解：雙曲線C：y2a2-x2=1(a＞0)的上焦點F2（0，c可得c1+又1+a2＝c2，可得a＝2，即有漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為﹣4．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．橢圓C：x2A．5 B．25 C．26 D【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求出a，b，c，再求長軸長2a與焦距2c之差．【解答】解：因為橢圓C：x2所以a2＝80，b2＝35，所以a=4所以長軸長2a=85所以長軸長與焦距之差等于2a故選：B．【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．已知橢圓C的焦點為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（）A．x22+y2=C．x24+y【考點】橢圓的弦及弦長．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】B【分析】法一：設(shè)|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由橢圓的定義有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理結(jié)合cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，兩式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，然后轉(zhuǎn)化求解即可．法二：設(shè)|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由橢圓的定義，在△AF1B中，由余弦定理轉(zhuǎn)化求解橢圓方程即可．【解答】解：法一：由已知可設(shè)|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由橢圓的定義有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得4n又∠AF2F1，∠BF2F1互補，∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，兩式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2+6＝11n2，解得n=∴2a∴所求橢圓方程為x2故選：B．法二：如圖，由已知可設(shè)|F2B|＝n，則|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由橢圓的定義有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n．在△AF1B中，由余弦定理推論得cos∠在△AF1F2中，由余弦定理得4n2+4∴2a∴所求橢圓方程為x2故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．9．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點，O是坐標原點，過F作直線與C交于A，B兩點，若|AF2|＝|ABA．312 B．36 C．33 【考點】橢圓的弦及弦長．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)∠F1AF2＝θ，再利用余弦定理結(jié)合橢圓的性質(zhì)可解．【解答】解：∵橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與C交于A，B兩點，且|AF1|＝∴S△AF1F2=2在△AF1F2中，設(shè)∠F1AF2＝θ，θ∈（0，π），由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1||AF2|cosθ，即4c2＝（|AF1|+|AF2）|2﹣2|AF1||AF2|﹣2|AF1||AF2|cosθ＝4a2+（﹣2﹣2cosθ）|AF1||AF2|，可得（2+2cosθ）|AF1||AF2|＝4c2﹣4a2＝4b2，∴△F1AF2的面積S=12|AF1||AF2|sinθ=sinθ1+cosθb∴3sinθ﹣cosθ＝1，即sin（θ-π6）=12，∵θ-π6∴θ=π又∵|AF1|＝|AB|，∴△AF1B是等邊三角形，即|AF1|＝|BF1|＝|AB|，由橢圓的定義可得|AF1|+|BF1|+|AB|＝4a，故|AF1|=4a3，|AF2|=2a3，∴AB⊥F1F2，則|AF1|2＝|AF2|2+|F1F2|2，即（4a3）2＝（2a3）2+（2c）2，整理得a2＝故離心率e=c故選：C．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．10．已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F的動直線交拋物線C于A，B兩點，Q為線段AB的中點，P為拋物線C上任意一點，若|PF|+|PQ|的最小值為6，則p＝（）A．2 B．3 C．6 D．6【考點】拋物線的焦點與準線．【專題】對應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義得到|PF|+|PQ|的最小值為|QD|，再去求|QD|的最小值p即可．【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F(p2根據(jù)題意，過點Q作準線x=-p2的垂線，垂足為D，交拋物線C于點于是|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|＝|QD|，即|PF|+|PQ|的最小值為|QD|，在拋物線C上任取點P'，過P'作準線x=-p2的垂線，垂足為D'，連接P'F，P'Q，則有|P'F|+|P'Q|＝|P'D'|+|P'Q|≥|D'Q|≥|QD|≥p，當且僅當點P'與點P重合且為O時取等號，所以|PF|+|PQ|的最小值為p＝6．故選：C．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．二．填空題（共5小題）11．若圓M的圓心在x軸上，且與直線y＝x相切，則圓M的標準方程可以為（x﹣2）2+y2＝2（答案不唯一）．（寫出滿足條件的一個答案即可）【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的標準方程．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，舉出符合題意的圓，驗證可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對于圓（x﹣2）2+y2＝2，其圓心為（2，0），在x軸上，半徑為2，而圓心到直線y＝x的距離d=|2-0|1+1=2，則直線故答案為：（x﹣2）2+y2＝2（答案不唯一）．【點評】本題考查圓的標準方程，涉及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．已知AB＝4，點P是以線段AB為直徑的圓上任意一點，動點M與點A的距離是它與點B的距離的2倍，則|PM|的取值范圍為[0，8+42]．【考點】兩點間的距離公式．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】[0，8+42]．【分析】以AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，求出點M的軌跡方程，利用數(shù)形結(jié)合法求出|PM|的取值范圍．【解答】解：以AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：設(shè)A（﹣2，0），B（2，0），M（x，y），則：(x化簡得：x2+y2﹣12x+4＝0，即（x﹣6）2+y2＝32，所以點M的軌跡是以Q（6，0）為圓心，42⊙O與⊙Q的位置關(guān)系是相交，所以|PM|的取值范圍是[0，8+42]．故答案為：[0，8+42]．【點評】本題考查了求點的軌跡方程以及兩圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦距為26，C的一條漸近線與曲線y=12cos【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】14【分析】根據(jù)題意易得a=2，b＝2，再設(shè)OM直線方程為y＝kx，從而可得x2=42-k2，y2=4k22-【解答】解：∵y=12cos2x，∴∴y'|x∴ba=2，又c=6，c2＝a2解得a=2，b＝2∴雙曲線C的方程為x2設(shè)OM直線方程為y＝kx，聯(lián)立y=kx2x2-y2=4，可得（2∴x2=4∴|OM|2＝x2+y2=4又以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，∴OM⊥ON，∴ON直線方程為y=-以“-1k“代替|OM|2中的“k“，可得|ON|2∴1|故答案為：14【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．14．已知曲線G：x|x|+y|y|＝4，O為坐標原點．給出下列四個結(jié)論：①曲線G關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標原點O的直線l與曲線G有且僅有一個公共點；③直線l：x+y＝2與曲線G所圍成的圖形的面積為π﹣2；④設(shè)直線l：y＝kx+2，當k∈（﹣1，0）時，直線l與曲線G恰有三個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【考點】曲線與方程．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】①③④．【分析】分x，y的正負四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，由圖可得①正確；當斜率為﹣1時結(jié)合漸近線可得②錯誤；由四分之一圓面積減去三角形面積可得③正確；由圖形可得④正確．【解答】解：：|x|x+|y|y＝4可化為x2因為當x＜0，y＜0時，﹣x2﹣y2＝4無意義，無此曲線，故舍去，所以曲線G表示為x2對于①，由圖象可得曲線G關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖形，故①正確；對于②，由于左上和右下部分雙曲線的a＝b，所以漸近線方程為y＝﹣x，所以當直線的斜率為﹣1時，過原點的直線與曲線無交點，故②錯誤；對于③，設(shè)直線l與x，y交點分別為A，B，因為圓方程中半徑為2，且點A（2，0），B（0，2），所以直線與曲線圍成的圖形的面積為14×π對于④，由于直線y＝kx+2恒過（0，2），當k＝0時，直線與x平行，有一個交點；當k＝﹣1時，與漸近線平行，此時有兩個交點，當﹣1＜k＜0，結(jié)合斜率的范圍可得有三個交點，如圖，④正確．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查了曲線方程的應(yīng)用，還考查了直線與曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．15．如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且AD＝1，延長BA到E，使BE＝BC，連接CE，設(shè)以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為e1，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為e2，則e1e2的取值范圍是（1，+∞）．【考點】雙曲線的幾何特征；橢圓的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】（1，+∞）．【分析】設(shè)M，G分別是BC，BE與圓的切點，設(shè)CD＝CM＝GE＝m，利用橢圓，雙曲線的定義分切求出e1，e2的表達式，進而可得e1e2的表達式，然后求出m的取值范圍即可得解．【解答】解：如圖以CE的中點為原點直角坐標系，設(shè)M，G分別是BC，BE與圓的切點，由圓的切線性質(zhì)得AG＝AD＝1，設(shè)CD＝CM＝GE＝m（m＞1），所以AC＝1+m，AE＝GE﹣AG＝m﹣1，在△ACE中，CE2＝CA2+EA2﹣2CA?EAcos60°＝（m+1）2+（m﹣1）2﹣（m+1）（m﹣1）＝m2+3，以E，C為焦點經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為e2以E，C為焦點經(jīng)過點A的橢圓的離心率為e1則e1在△ABC中，設(shè)BM＝n，所以BC＝m+n，AB＝n+1，AC＝m+1，由余弦定理可得BC2＝BA2+CA2﹣2BA?ACcos120°，即（m+n）2＝（n+1）2+（m+1）2﹣2（n+1）（m+1）×（-1所以mn＝3m+3n+3，所以n=3m+3m由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)y=x4+3所以e1故答案為：（1，+∞）．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，以及圓的切線性質(zhì)，根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出e1，e2，然后根據(jù)余弦定理結(jié)合條件求出參數(shù)的取值范圍是解出此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率e=5（1）求雙曲線E和圓O的標準方程；（2）過雙曲線E上的一點P作圓O的兩條切線l1，l2，若l1，l2的斜率分別為k1，k2，證明：k1?k2為定值；（3）在（2）的條件下，若切線l1，l2分別與雙曲線E相交于另外的兩點M，N，證明：M，O，N三點共線．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）x2-y（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析．【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息列出等式求出a和b的值，進而可得雙曲線和圓的方程；（2）設(shè)出點P的坐標和直線l1的方程，根據(jù)點到直線的距離公式推出k1，k2是關(guān)于k的方程(3x02（3）將直線l1的方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理以及（2）中所得信息進行求證即可．【解答】解：（1）因為雙曲線E的離心率e=5且雙曲線E與圓O的一個交點坐標為所以e=解得a2＝1，b2＝4，則雙曲線E的標準方程為x2-y24（2）證明：不妨設(shè)P（x0，y0），直線l1的方程為y﹣y0＝k1（x﹣x0），因為直線l1與圓O相切，所以|y即3(整理得(3x同理得(3x所以k1，k2是關(guān)于k的方程(3x可得k1因為點P在雙曲線E上，所以12則k1故k1?k2為定值，定值為4；（3）證明：聯(lián)立y-消去y并整理得(4-此時Δ=不妨設(shè)M（x1，y1），由韋達定理得x0由（2）得3(所以x0不妨設(shè)N（x2，y2），同理得x0所以x1由（2）得k1k2＝4，所以x1即x1+x2＝0，因為，M，N在雙曲線上，所以y1+y2＝0或y1＝y(tǒng)2（舍去）．綜上，M，O，N三點共線．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．17．如圖，雙曲線C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C2：x24a2-y24b2=1的左、右頂點，過點F1的直線分別交雙曲線C1的左、右兩支于A，（1）求雙曲線C1的方程；（2）若直線MF2交雙曲線C1的右支于D，E兩點．①記直線AB的斜率為k1，直線DE的斜率為k2，求k1k2的值；②試探究：|DE|﹣|AB|是否為定值？并說明理由．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）x2（2）①3；②|DE|﹣|AB|為定值，定值為4．【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系列出等式求出a和b的值，進而可得雙曲線的方程；（2）①設(shè)出點M的坐標，根據(jù)點M在雙曲線C2上以及斜率公式再進行求解即可；②結(jié)合（1）中信息得到直線AB的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式再進行求解即可．【解答】解：（1）不妨設(shè)|F1F2|＝2c，因為△BF1F2與△ABF2的周長之差為2，所以|BF1|+|F1F2|﹣|AB|﹣|AF2|＝2，即2c﹣2a＝2，又因為F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C2的左、右頂點，所以c＝2a，解得a＝1，c＝2，則b2＝3，故雙曲線C1的方程為x2（2）①由（1）知，雙曲線C2的方程為x2不妨設(shè)M（x0，y0），因為點M在雙曲線C2上，所以x0則k1②由（1）知直線AB的方程為y＝k1（x+2），聯(lián)立y=k1(x不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理得x1因為A，B位于雙曲線的左、右兩支，所以x1即k1此時|AB因為k1k2＝3，所以直線DE的方程為y=同理得|DE|=6[1+(則|DE故|DE|﹣|AB|為定值，定值為4．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．18．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過F斜率為2的直線與E交于A，B兩點，|AB|＝10．（1）求E的方程；（2）直線l：x＝﹣4，過l上一點P作E的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標．【考點】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點與準線．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算．【答案】（1）y2＝8x；（2）證明見解析，定點（4，0）．【分析】（1）設(shè)AB的方程為x=12y+p2，A（x，y），B（x2，y2），聯(lián)立方程y2=2pxx=1（2）設(shè)MN的方程為x＝my+n，M（x3，y3），N（x4，y4），聯(lián)立拋物線方程可得y3+y4＝8m，y3y4＝﹣8n，然后可求得切線PM的方程y=4y3x+y12和切線PN的方程為y=4y4【解答】（1）解：設(shè)AB的方程為x=12y+p2，A（x，y），B聯(lián)立方程y2=2pxx=12y+12p，消去x可得：y2﹣py﹣p所以y1+y2＝p，所以|AB|=x1+故拋物線E的方程為：y2＝8x；（2）證明：設(shè)MN的方程為x＝my+n，M（x3，y3），N（x4，y4），聯(lián)立方程y2=8xx=my+n，消去x可得y2﹣8my﹣8n＝0，Δ＝64m2+32n＞0，即所以y3+y4＝8m，y3y4＝﹣8n，不妨令y3＞0當y＞0時，y2＝8x可以化為：y=22x故以M為切點的拋物線的切線PM的方程為：y-即y=4y3x聯(lián)立PM與PN的方程，解得：xp所以y3y4＝﹣32＝﹣8n，n＝4，滿足2m2+n＞0，則直線MN的方程為：x＝my+4，所以直線MN過定點（4，0）．【點評】本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．19．已知G是圓T：（x+1）2+y2＝12上一動點（T為圓心），點H的坐標為（1，0），線段GH的垂直平分線交TG于點R，動點R的軌跡為C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)P是曲線C上任一點，延長OP至點Q，使OQ→=2OP→（i）求曲線E的方程；（ii）M，N為C上兩點，若OQ→=OM【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．【答案】（1）x2（2）（i）x2（ii）是定值，定值為6．【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及橢圓的定義得到動點R的軌跡為以T（﹣1，0），H（1，0）為焦點，長軸長為23的橢圓，設(shè)出橢圓的方程，結(jié)合a，b，c（2）（i）設(shè)出點Q的坐標，根據(jù)向量的坐標運算求出點P的坐標，代入曲線C的方程中即可求解；（ii）設(shè)出M，N的坐標，根據(jù)題目所給信息推出四邊形OMQN是平行四邊形，設(shè)對角線交點為D，對直線MN的斜率是否存在進行討論，當直線MN的斜率不存在時，利用對稱性以及題目所給信息求出點Q的坐標，利用三角形面積公式再求解即可；當直線MN的斜率存在時，設(shè)出直線MN的方程，將直線MN的方程與曲線E的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式再進行求解．【解答】解：（1）因為線段GH的中垂線交線段TG于點R，所以|RH|＝|RG|，此時|RT則動點R的軌跡為以T（﹣1，0），H（1，0）為焦點，長軸長為23不妨設(shè)橢圓方程為x2此時2a解得a=又c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝2，則曲線C的方程為x2（2）（i）不妨設(shè)Q（x，y），因為OQ→所以P(因為點P在曲線C上，所以(x解得x2則曲線E的方程為x2（ii）不妨設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），因為OQ→所以四邊形OMQN是平行四邊形，不妨設(shè)對角線交點為D，當直線MN的斜率不存在時，由橢圓的對稱性以及OQ→可得Q（2x1，0），因為點Q在曲線E上，解得x1代入曲線C的方程中，解得y1所以S△OMD=1則四邊形OMQN的面積為6；當直線MN的斜率存在時，不妨設(shè)直線MN的方程為y＝kx+b，聯(lián)立y=kx+bx23+y22=1，消去y并整理得（3k2+2）因為Δ＞0，所以3k2﹣b2+2＞0，由韋達定理得x1+x所以xD則yD可得xQ=2x因為點Q在曲線E上，解得3k2+2＝2b2，此時|=1+又3k2+2＝2b2，解得|MN|=6因為原點O到直線MN的距離d=所以S△所以四邊形OMQN的面積為6，綜上得，四邊形OMQN的面積為定值，定值為6．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．20．已知拋物線E：y2＝2x的焦點為F，A，B，C為E上不重合的三點．（1）若FA→+FB（2）過A，B兩點分別作E的切線l1，l2，l1與l2相交于點D，過A，B兩點分別作l1，l2的垂線l3，l4，l3與l4相交于點M．（i）若|AB|＝4，求△ABD面積的最大值；（ii）若直線AB過點（1，0），求點M的軌跡方程．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；拋物線的焦點與準線．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學運算．【答案】（1）3；（2）（i）8；（ii）y2＝2x﹣4．【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根據(jù)向量的坐標運算即可得x1（2）（i）設(shè)直線AB的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與拋物線得交點坐標關(guān)系，再求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解切線斜率，即可得切線方程，從而可得切線的交點坐標，根據(jù)三角形面積公式列關(guān)系求解即可；（ii）利用直線相交、直線過定點即可得點M的軌跡方程．【解答】解：（1）易知拋物線E的焦點F(不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），因為FA→所以(x整理得x1由拋物線定義得|FA（2）（i）易知直線AB的斜率不為0，不妨設(shè)直線AB的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立x=my+ny2=2x，消去x并整理得y2﹣此時Δ＝4m2+8n＞0，由韋達定理得y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，因為y2＝2x，所以y=可得y'則切線l1的方程為y=同理得切線l2的方程為y=聯(lián)立y=解得x=即D（﹣n，m），又點D到直線AB的距離為d=而|AB整理得m2則S△當且僅當m＝0時，等號成立，故△ABD面積的最大值為8；（ii）若直線AB過點（1，0），不妨設(shè)設(shè)直線AB的方程為x＝my+1，聯(lián)立x=my+1y2=2x，消去x并整理得y2﹣由韋達定理得y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，所以直線l3的方程為y=同理得直線l4的方程為y=聯(lián)立y=解得x=因為y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，所以x=2m2+2y=2m，整理得y故點M的軌跡方程為y2＝2x﹣4．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．兩點間的距離公式3235136:兩點間的距離公式2．圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】可以是以單獨考點進行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標準方程作為基礎(chǔ)考點往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進行轉(zhuǎn)化．例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標準方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：設(shè)出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程．解答：設(shè)圓的標準方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5點評：本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑．例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圓的標準方程，半徑已知，只需找出圓心坐標，設(shè)出圓心坐標為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關(guān)系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標，根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．解答：設(shè)圓心坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d=|4a-3化簡得：|4a﹣3b|＝5①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a=-∴圓心坐標為（2，1），則圓的標準方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故選：A點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標準方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學生靈活運用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程．例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（）A．1B．2C．2D．4分析：把圓的方程化為標準形式，即可求出圓的半徑．解答：圓x2+y2+2y＝1化為標準方程為x2+（y+1）2＝2，故半徑等于2，故選B．點評：本題考查圓的標準方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標準形式，是解題的關(guān)鍵．3．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由Ax+①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．4．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比ca叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．5．橢圓的弦及弦長橢圓的弦及弦長6．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質(zhì)：7．求拋物線的準線方程求拋物線的準線方程8．直線與拋物線的綜合【知識點的認識】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點撥】研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點的個數(shù)等價于方程組y2（1）若k≠0，則當Δ＞0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當Δ＝0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．（2）若k＝0，則直線y＝b與y2＝2px（p＞0）相交，有一個公共點；特別地，當直線的斜率不存在時，設(shè)x＝m，則當m＞0時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點；當m＝0時，直線l與拋物線相切，有一個公共點；當m＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．【命題方向】掌握拋物線的定義、標準方程、簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，深化對基礎(chǔ)知識的理解，重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學思想方法解決問題的意識和能力．對相對固定的題型，比如弦長問題、面積問題等，要以課本為例，理解通性通法，熟練步驟．對拋物線與直線的綜合研究，涉及到定點、定值等相關(guān)結(jié)論，往往是高考考試的熱點．9．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y10．直線與雙曲線的綜合【知識點的認識】直線與雙曲線的位置判斷：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與雙曲線相交?Δ＞0；直線與雙曲線相切?Δ＝0；直線與雙曲線相離?Δ＜0；直線與雙曲線的位置關(guān)系只有三種，不可能出現(xiàn)有多個解，因為直線與雙曲線的交點個數(shù)最多有2個．值得注意的是，當直線方程和雙曲線方程聯(lián)立后，如果得到一元一次方程，說明此時直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線相交，且只有一個交點．【解題方法點撥】（1）直線與雙曲線只有一個公共點有兩種情況：①直線平行漸近線；②直線與雙曲線相切．（2）弦長的求法設(shè)直線與雙曲線的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=(1+k2注意：利用公式計算直線被雙曲線截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．【命題方向】雙曲線知識通常與圓、橢圓、拋物線或數(shù)列、向量及不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系，綜合考查數(shù)學知識及應(yīng)用是高考的重點，應(yīng)用中應(yīng)注意對知識的綜合及分析能力，雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認識其幾何性質(zhì)有很大幫助．11．曲線與方程【知識點的認識】在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點P是圓A上的任