2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§2.8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【課件】

第二章§2.8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型課時(shí)精練第一部分落實(shí)主干知識(shí)1.對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中

叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，

叫做真數(shù).以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作

.以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作

.x＝logaNaNlgNlnN2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：loga1＝

，logaa＝

，

＝

(a>0，且a≠1，N>0).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝

；②

＝

；③logaMn＝

(n∈R).(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝

(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).01NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域__________值域____(0，＋∞)R

a>10<a<1性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)

，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，

；當(dāng)0<x<1時(shí)，_____當(dāng)x>1時(shí)，

；當(dāng)0<x<1時(shí)，_____

函數(shù)

函數(shù)(1,0)y>0y<0y<0y>0增減4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱.y＝logaxy＝x1.logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，

＝

logab(a>0，且a≠1，b>0).2.如圖，給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內(nèi)，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.(

)(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù).(

)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù).(

)(4)函數(shù)y＝log2x與y＝

的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.(

)√×××2.(2023·雅安模擬)已知xlog32＝1，則4x等于√xlog32＝1，所以3.函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的圖象大致為√f(x)＝loga|x|＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)閒(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝logax＋1(a>1)單調(diào)遞增.結(jié)合選項(xiàng)可知選A.返回對(duì)于函數(shù)y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，則y＝4，所以函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(2,4)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,4).4.已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______.(2,4)第二部分探究核心題型例1

(1)(2024·洛陽(yáng)模擬)已知3a＝5b＝m，且

＝1，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____.題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算45由3a＝5b＝m，可知m>0，顯然m≠1.所以m＝45.＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.2解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn).(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并.(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練1

(1)若a>0，

＝

，則

等于A.2B.3C.4D.5√所以(2)計(jì)算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____.2原式＝2lg5＋lg2(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋(lg2)2＝1＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.例2

(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用√由函數(shù)圖象可知，f(x)為增函數(shù)，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1<logab<0，綜上，0<a－1<b<1.(2)已知函數(shù)f(x)＝

若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是A.[10,12] B.(10,12]C.(10,12) D.[10,12)√不妨設(shè)a<b<c，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|，即－lga＝lgb，∴l(xiāng)gab＝0，則ab＝1，∴abc＝c，又10<c<12，∴abc的取值范圍是(10,12).對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2024·烏魯木齊檢測(cè))我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

(a>0且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是√對(duì)于A，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a>1，則0<<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得0<a<1，則

>1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a>1，則0<<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，由指數(shù)函數(shù)的圖象，可得a>1，則0<<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.(2)(2023·濮陽(yáng)模擬)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為√由函數(shù)y＝ax的圖象可得a>1.當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，為增函數(shù).因?yàn)閥＝logax與y＝loga(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y＝loga(－x)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－1,0)，為減函數(shù).而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0),為減函數(shù).結(jié)合選項(xiàng)可知選D.題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a>b>c

B.b>c>aC.b>a>c

D.c>a>b√命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)式的大小∵a＝log20.3<log21＝0，b＝ln3>lne＝1，0＝log31<log32<log33＝1，即0<c<1，∴b>c>a.命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式√例5

(2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用√由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)為定義域上的奇函數(shù)，故排除A，C；f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三個(gè)問(wèn)題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·宜賓模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是A.[2，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1] D.(－∞，0]√由題意得，x2－2x>0?x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，而函數(shù)y＝x2－2x的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝x2－2x在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a∈[2，＋∞).√可知0<a<1.返回課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1234567891011121314√12345678910111213142.若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，則f(log28)等于A.－1B.1C.2D.3√依題意，函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，即函數(shù)y＝ax的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，則a＝3，所以f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1.12345678910111213143.若

，則x1與x2的關(guān)系正確的是A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1C.1<x1<x2

D.1<x2<x1√1234567891011121314因?yàn)樗詌og0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81，又因?yàn)閥＝log0.8x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以1<x1<x2.4.已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b為常數(shù))的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是A.a>0，b<－1 B.a>0，－1<b<0C.0<a<1，b<－1 D.0<a<1，－1<b<0√1234567891011121314因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝loga(x－b)為減函數(shù)，所以0<a<1，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，所以令x－b＝1，則x＝1＋b>0，即b>－1，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸有交點(diǎn)，所以b<0，所以－1<b<0.12345678910111213145.(2024·通化模擬)設(shè)a＝log0.14，b＝log504，則A.2ab<2(a＋b)<ab

B.2ab<a＋b<4abC.ab<a＋b<2ab

D.2ab<a＋b<ab1234567891011121314√1234567891011121314因?yàn)閍＝log0.14，b＝log504，所以a<0，b>0，所以ab<0，所以2ab<a＋b<ab.√12345678910111213146.(2023·銀川模擬)當(dāng)0<x<時(shí)，

<logax(a>0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1234567891011121314二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·西寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)的定義域?yàn)?－2,4)B.f(x)在區(qū)間(－2,1)上單調(diào)遞增C.f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減D.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱1234567891011121314√√√所以f(x)的定義域?yàn)?－2,4)，故A正確；函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln[(x＋2)(4－x)]＝ln(－x2＋2x＋8)(－2<x<4)，令t＝－x2＋2x＋8，則函數(shù)t＝－x2＋2x＋8在(－2,1)上單調(diào)遞增，在(1,4)上單調(diào)遞減，又y＝lnt是增函數(shù)，所以f(x)在(－2,1)上單調(diào)遞增，在(1,4)上單調(diào)遞減，故B正確，C錯(cuò)誤；1234567891011121314又t＝－x2＋2x＋8的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故D正確.12345678910111213148.(2023·濟(jì)寧模擬)若10a＝2,10b＝5，則下列結(jié)論中正確的是A.a＋b＝1 B.5a<2bC.5a<2b

D.2a＋2b>21234567891011121314√√1234567891011121314由題意可得a＝lg2，b＝lg5，所以a＋b＝lg2＋lg5＝lg10＝1，故A正確；5a＝5lg2＝lg25＝lg32,2b＝2lg5＝lg52＝lg25，所以5a>2b，故B不正確；因?yàn)?a·2a＝10a＝2,2b·2a＝2a＋b＝2，所以5a·2a＝2b·2a，所以5a＝2b，故C不正確；三、填空題1234567891011121314原式＝2lg5＋2lg2－3log23×log32＋3＝2(lg5＋lg2)－3＋3＝2.210.設(shè)函數(shù)f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，

≤x≤4，則f(x)的最大值為_(kāi)____.12f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，∴當(dāng)t＝2時(shí)，g(t)取得最大值12，即f(x)的最大值為12.1234567891011121314四、解答題11.(2024·武威模擬)已知函數(shù)f(x)＝

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中a為常數(shù).(1)求a的值；12345678910111213141234567891011121314因?yàn)閒(x)＝

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即(1－ax)(x－1)>0，要使定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，顯然a≠0，令(1－ax)(x－1)＝0，1234567891011121314由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知x1＋x2＝0，所以a＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－1成立.(2)若當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＋

<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.12345678910111213141234567891011121314由題可知f(x)＋因?yàn)閤∈(1，＋∞)，所以又因?yàn)閒(x)＋

<m恒成立，所以m≥－1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞).123456789101112131412.(2023·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函數(shù).(1)求k的值；∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx對(duì)任意x∈R恒成立，∴k＝－1.1234567891011121314(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1).1234567891011121314由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9