【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版必修二導學案：《平行關(guān)系的性質(zhì)》

第9課時平行關(guān)系的性質(zhì)1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)定理,能用圖形語言和符號語言表述這些定理,并能加以證明.2.能運用直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡潔問題.如圖,足球門的上邊框與地面平行,我們發(fā)覺不管什么時刻,只要有太陽光照射著上邊框,上邊框在陽光的照射下的影子總是與上邊框保持著平行,大家思考過是什么緣由嗎?問題1:我們可以用直線與平面平行的性質(zhì)定理來解釋上述問題,由于太陽離地球很遠,所以照射球門框的那一束光線可以看作是經(jīng)過球門框的,影子恰好是光線所在平面與地面的交線,由于上邊框平行于地面,從而球門框平行于球門框在陽光照射下的影子.

問題2:直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)定理及其圖形語言、符號語言:線面平行的性質(zhì):假如一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.

符號表示:a∥αa?βα?β=面面平行的性質(zhì):假如兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.用符號語言表示為:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b.

問題3:面面平行的其他性質(zhì):①若兩個平面平行,則一個平面內(nèi)的任一條直線都和另一個平面平行.這條性質(zhì),給我們供應了證明線面平行的另一種方法,可以作為判定定理運用.

②夾在兩平行平面間的兩條平行線段相等,這一點和平面內(nèi)夾在兩條平行線之間的平行線段相等類似.

③和平行線具有傳遞性一樣,平行平面也具有傳遞性,即平行于同一個平面的兩個平面平行.該性質(zhì)同時是面面平行的一種判定方法.

問題4:線線、線面、面面平行如何相互轉(zhuǎn)化:由上可以看出三者之間可以進行適當轉(zhuǎn)化,即由兩相交直線和平面平行可以推出兩個平面平行;同樣,由兩個平面平行的定義和性質(zhì)也可以推出直線和平面平行.直線與平面、平面與平面平行的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系體現(xiàn)了學問間的相互依靠關(guān)系.

1.已知直線a∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于a的直線().A.只有一條,不在平面α內(nèi) B.有很多條,不肯定在α內(nèi)C.只有一條,且在平面α內(nèi) D.有很多條,肯定在α內(nèi)2.若平面α∥β,直線a?α,點B∈β,則在β內(nèi)過點B的全部直線中().A.不肯定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在很多條與a平行的直線D.有且只有一條與a平行的直線3.已知平面α∥平面β,它們之間的距離為d,直線a?α,則在β內(nèi)與直線a相距為2d的直線有條.

4.已知在三棱錐P-ABC中,D,E分別是PA,PB上的點,DE∥平面ABC,求證:PDPA=PE線面平行的性質(zhì)和判定的綜合應用底面為正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D為AC的中點.求證:AB1∥平面C1BD.空間中兩直線平行的證明求證:假如一條直線和兩個相交平面都平行,那么該直線與相交平面的交線平行.面面平行的性質(zhì)定理的應用如圖,已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段,M、N分別為AB、CD的中點.求證:MN∥平面α.如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,E為B1D1上任意一點.求證:AE∥平面BC1D.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH,求證:AP∥GH.如圖,直線AC、DF被三個平行平面α、β、γ所截.求證:ABBC=DE1.直線a∥平面α,平面α內(nèi)有n條直線交于一點,那么這n條直線中與直線a平行的().A.至少有一條 B.至多有一條 C.有且只有一條 D.不行能有2.下列命題不正確的是().A.若兩個平面沒有公共點,則這兩個平面平行B.若兩個平面平行于同一條直線,則這兩個平面平行C.若兩個平面都平行另一個平面,則這兩個平面平行D.若一個平面內(nèi)任一條直線都平行于另一個平面,則這兩個平面平行3.已知兩平行平面α、β間的距離為2,點A∈α,B∈β.且AB的長為4,若A為α內(nèi)的定點,B為β內(nèi)的動點,則點B運動所形成的圖形是.

4.已知:如圖,平面α、β滿足α∥β,A、C∈α,B、D∈β,E∈AB,F∈CD,AC與BD異面,且AEEB=CFFD.求證:EF如圖三棱錐A—BCD,在棱AC上有一點F.(1)過該點作一截面與兩棱AB、CD平行;(2)求證:該截面為平行四邊形.考題變式(我來改編):第9課時平行關(guān)系的性質(zhì)學問體系梳理問題1:一個平面光線所在平面交線問題2:平行a∥b交線問題3:①任一條直線平行線面平行判定定理②相等平行線段相等③同一個平面平行面面平行問題4:線線平行面面平行平面平行直線和平面平行基礎(chǔ)學習溝通1.C設(shè)直線a與點P確定的平面為β,則β與α的交線b就是與直線a平行的直線.由β的唯一性知直線b也是唯一的.2.D由直線a與點B確定的平面γ與β的交線b,就是與直線a平行的直線.由γ的唯一性知直線b也是唯一的.3.2以直線a為軸,以2d為半徑,作一個圓柱,則圓柱面與β的兩條交線與直線a相距2d.4.解:由于DE∥平面ABC,DE?平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以DE∥AB,所以在△PAB中,PDPA=PE重點難點探究探究一:【解析】如圖,延長CB到E,使EB=BC,連接AE,EB1.由于D是AC的中點,B是EC的中點,所以AE∥DB.又由于B1C1∥BC且B1C1=BC,所以B1C1∥EB且B1C1=EB.所以四邊形EBC1B1是平行四邊形,即EB1∥BC1.由于AE,EB1?平面AEB1,DB,BC1?平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.又AB1?平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.【小結(jié)】本題給出證明線面平行的另一種方法:要證明線面平行可以先證明過直線的平面與另一平面平行,即面面平行?線面平行.探究二:【解析】已知:如圖所示,a∥α,a∥β,α∩β=b.求證:a∥b.證明:在平面α內(nèi)任取一點A,且A?b,∵a∥α,∴A?a,∴過a和A只有一個平面γ,設(shè)γ∩α=m,∵a?γ,∴a∥m,同理,在平面β內(nèi)任取一點B,且B?b,則B和a確定平面δ,設(shè)δ∩β=n,則a∥n,∴m∥n.∵m?β,n?β,∴m∥β.又∵m?α,α∩β=b,∴m∥b,又∵m∥a,∴a∥b.【小結(jié)】本題解法的最大特點就是線面平行的判定和性質(zhì)的交替應用,這也是該類問題的通法,即證明線線平行的問題往往可先證明線面平行,再由線面平行證出線線平行.探究三:【解析】(1)若AB、CD在同一平面內(nèi),則平面ABDC與α、β的交線為BD、AC.∵α∥β,∴AC∥BD.又∵M、N為AB、CD的中點,∴MN∥BD.又∵BD?平面α,∴MN∥平面α.(2)若AB、CD異面,過A作AE∥CD,交α于E,取AE的中點P,連接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD,∴AE、CD確定平面AEDC,且與α、β的交線為ED、AC.∵α∥β,∴ED∥AC.又∵P、N分別為AE、CD的中點,∴PN∥ED,∴PN∥平面α,同理可證,MP∥BE,∴MP∥平面α,∴平面MPN∥平面α.又∵MN?平面MPN,∴MN∥平面α.【小結(jié)】本題的解題思路是由面面平行得線面平行,這是證明線面平行的一種基本思路.在本題的解答時簡潔忽視對AB、CD位置關(guān)系的爭辯.思維拓展應用應用一:∵ABDCD1C1,∴四邊形ABC1D1是平行四邊形,∴AD1∥BC1,∵AD1?平面BC1D,BC1?平面BC1D,∴AD1∥平面BC1D.同理,B1D1∥平面BC1D.∵AD1∩B1D1=D1,∴平面BC1D∥平面AB1D1.又∵AE?平面AB1D1,∴AE∥平面BC1D.應用二:如圖,連接AC,設(shè)AC交BD于O,連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是AC的中點.又M是PC的中點,∴MO∥PA.又MO?平面BDM,PA?平面BDM,∴PA∥平面BDM.又經(jīng)過PA與點G的平面交平面BDM于GH,∴AP∥GH.應用三:(1)當AC、DF共面時,連接AD,BE,CF,則AD∥BE∥CF.從而ABBC=DE(2)當AC、DE異面時,連接CD,設(shè)CD∩β=G,連接AD、BG、GE、CF,∵α∥β,平面ACD∩β=BG,平面ACD∩α=AD,∴BG∥AD,∴ABBC=DG同理可證:EG∥CF,∴DEEF=DGGC,∴ABBC綜合(1)(2)知:ABBC=DE基礎(chǔ)智能檢測1.B設(shè)平面α內(nèi)的n條直線交于一點P,過直線a與點P的平面與α只有一條交線,所以這n條直線中與直線a平行的直線至多有一條.2.B若兩個平面平行于同一條直線,這兩個平面可能相交,也可能平行,B不正確.3.以A在β上的射影為圓心,23為半徑的圓以A為球心,以4為半徑作球,該球與β的交線就是圓,其半徑為42-224.解:連接AD,在AD上找分點G,使AGGD=CFFD,連接EG、FG.又AEEB=CFFD,∴AEEB=AGGD,∴EG∥由AGGD=CFFD,得FG∥AC,AC∥β,FG?∴FG∥β,FG∩EG=G,∴平面EFG∥β,∴EF∥β.全新視角拓展(1)在平面ABC中,