【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1學(xué)案：《充分條件與必要條件》

第2課時充分條件與必要條件1.理解充分條件和必要條件的含義.2.會推斷兩個條件間的充分必要關(guān)系.3.能利用條件間的充分必要關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.函數(shù)y=xcosx+sinx的圖像大致為().圖像分析題是高考中比較常見的一種試題,做這類題的主要思想是排解法,從解析式結(jié)合圖像我們很簡潔找到三個角度來排解,一是利用函數(shù)是奇函數(shù)可以排解B,二是利用x=π2時,y=1,可以排解C,三是利用x=π時,y=-π,可以排解A,所以答案選D問題1:一般地,“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理可以得出q.這時,我們就說,由p可推出q,記作,并且說p是q的充分條件,q是p的必要條件.

依據(jù)上述情境,結(jié)合充分條件、必要條件的定義我們用充分和必要進行填空:(1)“圖像關(guān)于原點對稱”是“該圖像是函數(shù)y=xcosx+sinx的圖像”的條件;

(2)“y=f(x)的圖像是y=xcosx+sinx的圖像”是“f(π2)>0”的條件(3)“f(π)>0”是“y=f(x)的圖像不是y=xcosx+sinx的圖像”的條件.

問題2:p與q的推出狀況和p與q的充分、必要性有何聯(lián)系?(1)若,則p是q的充分不必要條件;

(2)若,則p是q的必要不充分條件;

(3)若,則p是q的充要條件;

(4)若,則p是q的既不充分也不必要條件.

問題3:如何從集合的角度理解充分條件、必要條件和充要條件?建立與p、q相應(yīng)的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.集合A與B的關(guān)系Venn圖表示法若A?B,則p是q的,若A?B,則p是q的

若B?A,則p是q的,若B?A,則p是q的

若A?B且B?A,則p既不是q的,也不是q的

若A?B且B?A,即A=B,則p是q的

1.在下列電路圖中,表示開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要但不充分條件的線路圖是().2.在△ABC中,“sinA>32”是“A>π3”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知q是等比數(shù)列{an}的公比,則“q<1”是“數(shù)列{an}是遞減數(shù)列”的條件.

4.指出下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是對頂角.(2)p:x=1,q:x2=1.充分條件、必要條件、充要條件的推斷分析下面的各組命題中p是q的什么條件.(從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個)(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB.(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.依據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.充要條件的探求與證明已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有兩個大于1的根的充要條件.推斷下列各題中p是q的什么條件.(1)p:a>b,q:a>b.(2)p:a>b,q:2a>2b-1.(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sinA≠32已知命題p:1-c<x<1+c(c>0),命題q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要條件,則c的取值范圍是.

求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件.1.設(shè)集合A,B,則“A?B”是“A∩B=A成立”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知平面α,β,直線m?平面α,則“平面α∥平面β”是“直線m∥平面β”的().A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)有如下三個命題:甲:m∩l=A,m,l?α,m,l?β;乙:直線m,l中至少有一條與平面β相交;丙:平面α與平面β相交.當(dāng)甲成立時,乙是丙的條件.

4.推斷下列各題中p是q的什么條件.(1)p:a>0且b>0,q:ab>0.(2)p:xy>1,q:(2021年·安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件考題變式(我來改編):第2課時充分條件與必要條件學(xué)問體系梳理問題1:p?q(1)必要(2)充分(3)充分問題2:(1)p?q,且q?/p(2)p?/q,且q?p(3)p?q,且q?p(4)p?/q,且q?/p問題3:充分條件充分不必要條件必要條件必要不充分條件充分條件必要條件充要條件基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B開關(guān)A閉合,燈泡B不肯定亮,燈泡B亮,開關(guān)A肯定閉合.2.A∵在△ABC中,sinA>32,則A∈(π3,2π3),∴“sinA>32”是“A>π3”的充分條件.∵在△ABC中,取A=5π6,但不能推出sinA>32,∴“sinA>3.必要不充分由數(shù)列{an}是遞減數(shù)列可得0<q<1,因此“q<1”是“數(shù)列{an}是遞減數(shù)列”的必要不充分條件.4.解:(1)∵p?/q且q?p,∴p是q的必要不充分條件.(2)∵q:x2=1?x=1或x=-1,∴x=1?x2=1,但x2=1?/x=1,∴p是q的充分不必要條件.重點難點探究探究一:【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B?sinA=sinB,反之,若sinA=sinB,由于A與B不行能互補(由于三角形三個內(nèi)角和為180°),所以只有A=B.故p是q的充要條件.(2)明顯x∈A∪B不肯定有x∈B,但x∈B肯定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件.【小結(jié)】在推斷p是q的什么條件時,精確?????理解和運用充分條件、必要條件、充要條件的定義是關(guān)鍵,而能綜合、機敏地運用已學(xué)的學(xué)問是難點,故當(dāng)學(xué)問點不能嫻熟運用時,就簡潔消滅思維受阻的現(xiàn)象.探究二:【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∵p是q的充分不必要條件,∴p?q,即A?B,可知A=?或方程x2+ax+1=0的兩根要在區(qū)間[1,2]內(nèi),∴Δ=a2-4<0或Δ≥0,1≤-a【小結(jié)】p是q的充分不必要條件,利用真子集關(guān)系求解.本題易錯的地方是解不等式組,請認真體會緣由.探究三:【解析】(法一)設(shè)兩根為x1,x2,則有x1+x2>2∴所求充要條件為k<-1.(法二)由題意,設(shè)兩根為x1,x2,應(yīng)有Δ≥0,x1+∴所求充要條件為k<-1.[問題]使方程有兩個大于1的根的充要條件是k<-1嗎?[結(jié)論]問題的實質(zhì)是確定所給方程的兩根都大于1時k應(yīng)滿足的充要條件,而上面的解析中所列的不等式組僅是兩根x1、x2都大于1的必要條件,并不充分,例如,x1=1,x2=3,有x1+x2>2,x1·x2>1,于是,正確解答如下:(法一)使兩根x1,x2都大于1的充要條件為Δ≥0,(∴所求的充要條件為k<-2.(法二)令f(x)=x2+(2k-1)x+k2.∵f(x)=0的兩根都大于1,∴函數(shù)f(x)圖像如圖,則x1,x2都大于1的充要條件為Δ解得k<-2,∴所求的充要條件是k<-2.【小結(jié)】(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.(2)留意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件:若q是p的充分不必要(必要不充分、充要)條件,則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)p?/q,q?p,∴p是q的必要不充分條件.(2)p?q,q?/p,∴p是q的充分不必要條件.(3)p?/q,q?p,∴p是q的必要不充分條件.應(yīng)用二:c>0命題p對應(yīng)的集合A={x|1-c<x<1+c,c>0},同理,命題q對應(yīng)的集合B={x|x>7或x<-1}.由于p是q的既不充分又不必要條件,所以A∩B=?或A不是B的子集且B不是A的子集,所以1-c≥-1,1+c≤7①或1+c≥-1,1-c≤7②,解①得應(yīng)用三:(1)a=0適合.(2)當(dāng)a≠0時,明顯方程沒有零根,若方程有兩異號的實根,則必需滿足1a<0,若方程有兩個負的實根,則必需滿足1a>0,-2綜上知,若方程至少有一個負的實根,則a≤1;反之,若a≤1,則方程至少有一個負的實根.因此,關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a≤1.基礎(chǔ)智能檢測1.C由A?B,得A∩B=A;反過來,由A∩B=A,且(A∩B)?B,得A?B.因此,“A?B”是“A∩B=A成立”的充要條件.2.A由于平面α∥平面β且直線m?平面α,所以直線m∥平面β,反之,當(dāng)直線m∥平面β時,直線m?平面α,也可能平面α和平面β相交.3.充要由題意乙?丙,丙?乙.故當(dāng)甲成立時,乙是丙的充要條件.4.