【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第9章-第5節(jié)-線面、面面垂直的判定與性質(zhì)

第九章第五節(jié)一、選擇題1．(文)已知一個(gè)平面α，那么對(duì)于空間內(nèi)的任意一條直線a，在平面α內(nèi)確定存在一條直線b，使得a與b()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直[答案]D[解析]當(dāng)a與α相交時(shí)，平面內(nèi)不存在直線與a平行；當(dāng)a∥α?xí)r，平面內(nèi)不存在直線與a相交；當(dāng)a?平面α?xí)r，平面α內(nèi)不存在直線與a異面；無(wú)論a在何位置，a在平面α內(nèi)總有射影a′，當(dāng)b?α，b⊥a′時(shí)，有b⊥a，故選D.(理)(2021·深圳模擬)已知直線m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α[答案]B[解析]兩個(gè)平面相互垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面，故選B.2．(文)(2022·溫州十校聯(lián)考)關(guān)于直線a，b，l及平面α，β，下列命題中正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，b⊥a，則b⊥αC．若a?α，b?α，且l⊥a，l⊥b，則l⊥αD．若a⊥α，a∥β，則α⊥β[答案]D[解析]平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯(cuò)；a∥α，b⊥a時(shí)，經(jīng)過(guò)b與a垂直的平面α內(nèi)任一條直線l都與a垂直，但l與α的位置關(guān)系不確定，每一條直線l都可取作直線b，故B錯(cuò)；對(duì)于C，當(dāng)a與b相交時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)a與b不相交時(shí)，結(jié)論錯(cuò)誤，故C錯(cuò)；∵a∥β，設(shè)經(jīng)過(guò)a的平面與β相交于c，則a∥c，∵a⊥α，∴c⊥α，∴α⊥β，故D正確．(理)(2022·浙江溫州第一次適應(yīng)性測(cè)試)m是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，以下命題正確的是()A．若m∥α，α∥β，則m∥βB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥α，α⊥β，則m⊥βD．若m∥α，m⊥β，則α⊥β[答案]D[解析]若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，A錯(cuò)誤；若m∥α，m∥β，則α∥β或α∩β＝l，且m∥l，B錯(cuò)誤；若m∥α，α⊥β，則m⊥β或m∥β或m?β，C錯(cuò)誤；∵m∥α，∴存在直線n?α，使m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，又∵n?α，∴α⊥β，故選D.3．(文)(2022·運(yùn)城模擬)已知兩條不同的直線a，b和兩個(gè)不同的平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]Ceq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1([解析]α⊥β,a⊥α))?a∥β或a?β,,,b⊥β))?a⊥b；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥α或b?α,,,b⊥β))?α⊥β.(理)設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]①∵α∩β＝m，b?β，α⊥β，b⊥m，∴b⊥α，又∵a?α，∴b⊥a.②當(dāng)a?α，a∥m時(shí)，∵b⊥m，∴b⊥a，而此時(shí)平面α與平面β不愿定垂直，故選A.4．(文)(2021·紹興一中期中)如圖，PA垂直于正方形ABCD所在平面，則以下關(guān)系錯(cuò)誤的是()A．平面PCD⊥平面PADB．平面PCD⊥平面PBCC．平面PAB⊥平面PBCD．平面PAB⊥平面PAD[答案]B[解析]∵PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∴CD⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，∴A、C、D正確，選B.(理)(2022·望江期中)在正四周體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]∵D、F分別為AB、CA中點(diǎn)，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正確．又∵P－ABC為正四周體，∴P在底面ABC內(nèi)的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正確．又∵PO?平面PAE，PO⊥平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正確．∴四個(gè)結(jié)論中不成立的是C.5．(2021·浙江桐鄉(xiāng)四校期中聯(lián)考)設(shè)a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不成立的是()A．當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α∥βB．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥βC．當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若b⊥c，則a⊥bD．當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c[答案]B[解析]A的逆命題是“當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β”，A的逆命題正確；B的逆命題是“當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β”，只有當(dāng)b垂直于α與β的交線時(shí)，才是正確的，故選B.另外由線面平行的判定定理知D的逆命題正確；由三垂線定理及其逆定理知，C及其逆命題正確．6.(2022·皖南八校聯(lián)考)正四周體ABCD的棱長(zhǎng)為1，G是△ABC的中心，M在線段DG上，且∠AMB＝90°，則GM的長(zhǎng)為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),6)[答案]D[解析]∵G是正四周體ABCD的面ABC的中心，M在DG上，∴MA＝MB，又∠AMB＝90°，AB＝1，∴MA＝MB＝eq\f(\r(2),2)，又AG＝eq\f(\r(3),3)，∴MG＝eq\r(MA2－AG2)＝eq\r(\f(\r(2),2)2－\f(\r(3),3)2)＝eq\f(\r(6),6).二、填空題7．(文)設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面，其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”為真命題的序號(hào)是________．[答案]②③[解析]當(dāng)x、y為直線，z為平面時(shí)，有x⊥z，y⊥z?x∥y；當(dāng)x、y為平面，z為直線時(shí)，有x⊥z，y⊥z?x∥y，故②③正確．[點(diǎn)評(píng)]由正方體交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱和三個(gè)面知①④均使命題為假命題．(理)正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD[答案]eq\r(3)[解析]依題可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1?平面A1B1C1∴B1B即為所求距離，在△ABB1中得，B1B＝eq\r(3).8．已知四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD為正三角形，AB＝2AD＝4，則球O的表面積為________．[答案]eq\f(64π,3)[解析]過(guò)P作PE∥AB交球面于E，連結(jié)BE、CE，則BE∥AP，CE∥DP，∴三棱柱APD－BEC為正三棱柱，∵△PAD為正三角形，∴△PAD外接圓的半徑為eq\f(2\r(3),3)，∴球O的半徑R＝eq\r(22＋\f(2\r(3),3)2)＝eq\f(4,\r(3))，∴球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(64π,3).9.(2021·唐山市海港中學(xué)月考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為棱DD1，AB上的點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是________．(填上全部正確命題的序號(hào)①A1C⊥平面B1EF②在平面A1B1C1D1內(nèi)總存在與平面B1EF平行的直線③△B1EF在側(cè)面BCC1B1上的正投影是面積為定值的三角形；④當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B1EF截該正方體所得的截面圖形是五邊形；⑤當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B1EF與棱AD交于點(diǎn)P，則AP＝eq\f(2,3).[答案]②③④⑤[解析]①BC⊥平面ABB1A1，A1C是平面ABB1A1的斜線，A1B是A1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影，明顯A1B與B1F不垂直，∴A1C與B1F不垂直，∴①錯(cuò)；②∵平面B1EF與平面A1B1C1D1相交于過(guò)B1的一條直線l，在平面A1B1C1D1內(nèi)總存在與l平行的直線m，∴m∥平面B1EF，∴②正確；③△B1EF的頂點(diǎn)B1，F(xiàn)在平面BCC1B1內(nèi)的正投影依次為B1，B，而E點(diǎn)的正投影E′落在CC1上，明顯△BB1E′的面積為定值，∴③正確；④當(dāng)E、F為中點(diǎn)時(shí)，由平面B1EF與對(duì)面ABB1A1和DCC1D1都相交，故交線平行，設(shè)M為C1D1中點(diǎn)，G為D1M中點(diǎn)，則EG∥DM∥B1F，∴平面B1EF與平面A1B1C1D1的交線為B1G，從而在AD上取點(diǎn)P，使AP＝2PD，則FP∥B1三、解答題10．(文)如圖，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝(1)求證：DB⊥平面B1BCC1；(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并說(shuō)明理由．[解析](1)證明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝eq\r(2)，易求BC＝eq\r(2)，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中點(diǎn)即為E點(diǎn)．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四邊形ABED是平行四邊形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四邊形A1D1EB是平行四邊形．∴D1E∥A1B.∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.(理)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱BB1，DD1和CC1的中點(diǎn)(1)求證：C1F∥平面DEG(2)求三棱錐D1－A1AE的體積；(3)試在棱CD上求一點(diǎn)M，使D1M⊥平面DEG[解析](1)證明：∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別為棱DD1和CC1∴DF∥GC1，且DF＝GC1.∴四邊形DGC1F是平行四邊形．∴C1F∥又C1F?平面DEG，DG?平面DEG∴C1F∥平面DEG(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1⊥平面AA1E∴A1D1是三棱錐D1－A1AE的高，A1D1＝1.∴VD1－A1AE＝eq\f(1,3)·S△A1AE·D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).(3)當(dāng)M為棱CD的中點(diǎn)時(shí)，有D1M⊥平面DEG正方體ABCD－A1B1C1D1中，有BC⊥平面CDD1C又∵D1M?平面CDD1C1，BC∥EG，∴EG⊥D又∵tan∠GDC＝tan∠MD1D＝eq\f(1,2)，∴∠GDC＝∠MD1D，∴∠MD1D＋∠D1DG＝∠GDC＋∠D1DG＝90°，∴D1M⊥DG又DG∩EG＝G，∴D1M⊥平面DEG一、解答題11．(文)如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.[證明](1)如圖所示，取EC中點(diǎn)F，連接DF.∵EC⊥平面ABC，BD∥EC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，∵BD∥EC，BD＝eq\f(1,2)EC＝FC，∴EC⊥BC.∴四邊形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEFRt△ADB，∴DE＝DA.(2)如圖所示，取AC中點(diǎn)N，連接MN、NB，∵M(jìn)是EA的中點(diǎn)，∴MN綊eq\f(1,2)EC.由BD綊eq\f(1,2)EC，且BD⊥平面ABC，可得四邊形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE＝DA，M是EA的中點(diǎn)，∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM?平面BDM，∴平面ECA⊥平面BDM.(理)(2021·合肥其次次質(zhì)檢)如圖，在幾何體ABDCE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD.M為線段BD的中點(diǎn)，MC∥AE，AE＝MC＝eq\r(2).(1)求證：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N為線段DE的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面BEC.[解析](1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M為線段BD的中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，AM⊥BD.∵M(jìn)C＝eq\r(2)，∴MC＝eq\f(1,2)BD，∴BC⊥CD.∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD.∴平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥平面CBD.又MC綊AE，∴四邊形AMCE為平行四邊形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE，∴平面BCD⊥平面CDE.(2)∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，N為ED中點(diǎn)，∴MN∥BE且BE∩EC＝E，由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面BEC.12．(文)(2022·山東威海一模)如圖所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF相互垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心．(1)求證：平面ADF⊥平面CBF；(2)求證：PM∥平面AFC；(3)求多面體CD－AFEB的體積V.[解析](1)證明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF相互垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF.又AF?平面ABEF，∴CB⊥AF.又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝eq\r(3)，∴AF2＋BF2＝AB2，∴得AF⊥BF.又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB.∵AF?平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.(2)證明：連接OM延長(zhǎng)交BF于H，則H為BF的中點(diǎn)，又P為CB的中點(diǎn)，∴PH∥CF.又∵CF?平面AFC，∴PH∥平面AFC.連接PO，則PO∥AC，∵AC?平面AFC，PO?平面AFC，∴PO∥平面AFC.又PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，PM?平面POH，PM∥平面AFC.(3)多面體CD－AFEB的體積可分成三棱錐C－BEF與四棱錐F－ABCD的體積之和．在等腰梯形ABEF中，計(jì)算得EF＝1，兩底間的距離EE1＝eq\f(\r(3),2)，∴VC－BEF＝eq\f(1,3)S△BEF×CB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),12)，VF－ABCD＝eq\f(1,3)S?ABCD×EE1＝eq\f(1,3)×2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝eq\f(5\r(3),12).(理)(2022·山西太原模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝4，AB＝BC＝2eq\r(2).(1)求證：平面ABC⊥平面APC；(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．[解析](1)證明：如圖所示，取AC中點(diǎn)O，連接OP，OB.∵PA＝PC＝AC＝4，∴OP⊥AC，且PO＝4sin60°＝2eq\r(3).∵BA＝BC＝2eq\r(2)，∴BA2＋BC2＝16＝AC2，且BO⊥AC，∴BO＝eq\r(AB2－AO2)＝2.∵PB＝4，∴OP2＋OB2＝12＋4＝16＝PB2，∴OP⊥OB.∵AC∩OB＝O，∴OP⊥平面ABC.∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC.(2)設(shè)直線PA與平面PBC所成角的大小為θ，A到平面PBC的距離為d，則sinθ＝eq\f(d,AP)＝eq\f(d,4).∵PB＝PC＝4，BC＝2eq\r(2)，∴S△PBC＝eq\f(1,2)BC·eq\r(PB2－\f(BC,2)2)＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(14)＝2eq\r(7).由(1)知，VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PO＝eq\f(8\r(3),3)，又VA－PBC＝VP－ABC，∴eq\f(1,3)×2eq\r(7)·d＝eq\f(8\r(3),3)，∴d＝eq\f(4\r(21),7)，∴sinθ＝eq\f(d,4)＝eq\f(\r(21),7)，∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).[點(diǎn)評(píng)]由第(1)問知OB、OP、AC兩兩垂直，故可以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OP為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，用向量法解答第(2)問．13．(2022·四川綿陽(yáng)二診)如圖所示，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE＝60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF＝FE＝AB＝eq\f(1,2)AD＝2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．(1)求證：EG∥平面ABF；(2)求三棱錐B－AEG的體積；(3)試推斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解析](1)證明：取AB中點(diǎn)M，連FM，GM.∵G為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴GM∥AD，且GM＝eq\f(1,2)AD.又∵FE綊eq\f(1,2)AD，∴GM∥FE且GM＝FE.∴四邊形GMFE為平行四邊形，∴EG∥FM.又∵EG?平面ABF，F(xiàn)M?平面ABF，∴EG∥平面ABF.(2)作EN⊥AD，垂足為N，由平面ABCD⊥平面AFED，平面ABCD∩平面AFED＝AD，得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E－ABG的高．∵在△AEF中，AF＝FE，∠AFE＝60°，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF＝60°，EF∥AD知∠EAD＝60°，∴EN＝AEsin60°＝eq\r(3).∴三棱錐B－AEG的體積為V＝eq\f(1,3)·S△ABG·EN＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).(3)平面BAE⊥平面DCE.證明如下：∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE.∵四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且∠AFE＝60°，∴∠FAD＝120°.又在△AED中，EA＝2，AD＝4，∠EAD＝60°，由余弦定理，得ED＝2eq\r(3)，∴EA2＋ED2＝AD2，∴ED⊥AE.又∵ED∩CD＝D，∴AE⊥平面DCE.又AE?平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE.14．(文)(2022·甘肅張掖月考)如圖所示，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，G為AC上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：BD⊥FG；(2)確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說(shuō)明理由；(3)假如PA＝AB＝2，求三棱錐B－CDF的體積．[解析](1)證明：∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E，∴PA⊥BD，AC⊥BD.∴BD⊥平面APC.∵FG?平面PAC，∴BD⊥FG.(2)當(dāng)G為EC的中點(diǎn)，即AG＝eq\f(3,4)AC時(shí)，F(xiàn)G∥平面PBD.理由如下：連接PE.∵F為PC的中點(diǎn)，G為EC的中點(diǎn)，∴FG∥PE.∵FG?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD.(3)三棱錐B－CDF的體積為VB－CDF＝VF－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).(理)(2022·唐山一中月考)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥側(cè)面AA1C1C，AC＝BC＝1，CC1＝2,∠CAA1＝eq\f(π,3)，D、E分別為AA1、A1C(1)求證：A1C⊥平面ABC(2)求平面BDE與平面ABC所成