2021高中數(shù)學(xué)(人教A版)選修2-3課時(shí)作業(yè)22

2．3離散型隨機(jī)變量的均值與方差(習(xí)題課)課時(shí)作業(yè)(二十二)1．已知隨機(jī)變量X的分布列是X123P0.40.20.4則E(X)和D(X)分別等于()A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8答案D2．甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成果如下表甲的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成果環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664s1、s2、s3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測試成果的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1答案B3．牧場的10頭牛，因誤食瘋牛病毒污染的飼料被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病牛的頭數(shù)為X，則D(X)等于________．答案0.1964．每人在一輪投籃練習(xí)中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)，否則始終試投到4次為止．已知一選手的投籃命中率為0.7，求一輪練習(xí)中該選手的實(shí)際投籃次數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)與方差D(ξ)(保留3位有效數(shù)字)．解析ξ的取值為1,2,3,4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，其次次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布列為：ξ1234P0.70.210.0630.027E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417,D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.5．從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品2次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)大事A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中一次性任意抽取2件，用ξ表示取出的2件產(chǎn)品中的二等品的件數(shù)，求ξ的分布列及期望．解析(1)記A0表示大事“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，A1表示大事“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件是二等品”，則A0、A1互斥，且A＝A0＋A1.故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－p)2＋Ceq\o\al(1,2)p·(1－p)＝1－p2.由題意，知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝0.2.(2)ξ可能的取值為0,1,2.若該批產(chǎn)品共100件，由(1)知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,80),C\o\al(2,100))＝eq\f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,80)C\o\al(1,20),C\o\al(2,100))＝eq\f(160,495)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,100))＝eq\f(19,495).所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(316,495)eq\f(160,495)eq\f(19,495)所以ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(316,495)＋1×eq\f(160,495)＋2×eq\f(19,495)＝eq\f(198,495)＝eq\f(2,5).6．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解析這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，這一隨機(jī)變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上標(biāo)有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.7．工人在包裝某產(chǎn)品時(shí)不當(dāng)心將2件不合格的產(chǎn)品一起放進(jìn)了一個(gè)箱子里，此時(shí)該箱子中共有外觀完全相同的6件產(chǎn)品．只有將產(chǎn)品逐一打開檢驗(yàn)才能確定哪2件產(chǎn)品是不合格的，產(chǎn)品一旦打開檢驗(yàn)不管是否合格都將報(bào)廢．記ξ表示將2件不合格產(chǎn)品全部檢測出來后4件合格產(chǎn)品中報(bào)廢品的數(shù)量．(1)求報(bào)廢的合格品少于2件的概率；(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析(1)報(bào)廢的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，而P(ξ＝0)＝eq\f(A\o\al(2,2),6×5)＝eq\f(1,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(1,2)A\o\al(1,4),6×5×4)＝eq\f(2,15)，故P(ξ<2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＝eq\f(1,5).(2)依題意，ξ的可能取值為0,1,2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(1,3)×A\o\al(1,2)×A\o\al(2,4),A\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(1,4)×A\o\al(1,2)×A\o\al(3,4),A\o\al(5,6))＝eq\f(4,15)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(1,5)×A\o\al(1,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，由(1)知P(ξ＝0)＝eq\f(1,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,15)，故ξ的分布列為：ξ01234Peq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(1,3)E(ξ)＝0×eq\f(1,15)＋1×eq\f(2,15)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(4,15)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3).8．(2022·福建理)受轎車在保修期內(nèi)修理費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次毀滅故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次毀滅故障時(shí)間x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次毀滅故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；(3)該廠估量今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．解析(1)設(shè)“甲品牌轎車首次毀滅故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為大事A，則P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).(2)依題意得，X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列為X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)得，E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝2.86(萬元)，E(X2)＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(萬元)．由于E(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．9．某單位在應(yīng)聘會(huì)上，設(shè)置了難度不同的甲、乙兩個(gè)系列的問題，每個(gè)系列都有A和B兩個(gè)問題，應(yīng)聘時(shí)每個(gè)應(yīng)聘者自選一個(gè)系列問題，兩個(gè)問題的得分之和為該應(yīng)聘者的成果．假設(shè)每個(gè)應(yīng)聘者完成每個(gè)系列中的兩個(gè)問題的得分是相互獨(dú)立的，依據(jù)應(yīng)聘的個(gè)人綜合水平可知，某應(yīng)聘者能回答甲系列和乙系列問題的狀況如下表：甲系列：問題AB得分100804010概率eq\f(3,4)eq\f(1,4)eq\f(3,4)eq\f(1,4)乙系列：問題AB得分9050200概率eq\f(9,10)eq\f(1,10)eq\f(9,10)eq\f(1,10)現(xiàn)該應(yīng)聘者最終一個(gè)應(yīng)聘，其之前應(yīng)聘者的最高得分為118分．(1)若該應(yīng)聘者期望成為應(yīng)聘者中的第一名，應(yīng)選擇哪個(gè)系列，說明理由，并求其成為第一名的概率；(2)若該應(yīng)聘者選擇乙系列，求其成果X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)．解析(1)若該應(yīng)聘者期望獲得第一名，應(yīng)選擇甲系列．理由如下，選擇甲系列最高得分為100＋40＝140>118，可能成為第一名；而選擇乙系列最高得分為90＋20＝110<118，不行能成為第一名．選甲系列成為第一名的概率為，P(甲為第一名)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4).(2)X的取值為：50,70,90,110.P(X＝50)＝eq\f(1,100)，P(X＝70)＝eq\f(1,10)×eq\f(9,10)＝eq\f(9,100)，P(X＝90)＝eq\f(9,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(9,100)，P(X＝110)＝eq\f(9,10)×eq\f(9,10)＝eq\f(81,100).∴E(X)＝104.1．(2022·湖北理)依據(jù)以往的閱歷，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．解析(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列為：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7.又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6，由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝eq\f(P300≤X<900,PX≥300)＝eq\f(0.6,0.7)＝eq\f(6,7).故在降水量X至少是300mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是eq\f(6,7).2．一種電腦屏幕疼惜畫面，只有符合“O”和“△”隨機(jī)地反復(fù)毀滅，每秒鐘變化一次，每次變化只毀滅“O”和“△”之一，其中毀滅“O”的概率為p，毀滅“△”的概率為q，若第k次毀滅“O”，則記ak＝1；毀滅“△”，則記ak＝－1.令Sn＝a1＋a2＋…＋an.(1)當(dāng)p＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)時(shí)，求S4＝2的概率；(2)當(dāng)p＝q＝eq\f(1,2)時(shí)，記ξ＝|S4|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解析(1)“S4＝2”即電腦屏幕變化4次(相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))，其中“O”毀滅3次，“△”毀滅1次，∴其概率為：P(S4＝2)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(8,81)，即S4＝2的概率為eq\f(8,81).(2)由題ξ的取值有：0,2,4.記：y表示電腦變化4次中“O”毀滅的次數(shù)，則y～B(4，eq\f(1,2))，P(ξ＝0)＝P(y＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,2))2(eq\f(1,2))2＝eq\f(3,8)，P(ξ＝2)＝P(y＝1)＋P(y＝3)