【名師一號】2020-2021學年北師大版高中數學必修5：第一章-數列單元同步測試

第一章測試(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(5×10＝50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．數列－3,7，－11,15…的通項公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1·(4n－1)解析逐個檢驗．答案C2．已知{an}為等差數列，a2＋a8＝12，則a5等于()A．4 B．5C．6 D．7解析a2＋a8＝2a5答案C3．已知{an}是等差數列，a10＝10，其中前10項和S10＝70，則其公差d等于()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析S10＝10×10－eq\f(10×9,2)d＝70，得d＝eq\f(2,3).答案D4．已知在等比數列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，則等比數列{an}的公比q的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．8解析由eq\f(a4＋a6,a1＋a3)＝q3＝eq\f(\f(5,4),10)＝eq\f(1,8)，得q＝eq\f(1,2).答案B5．已知等差數列共有11項，其中奇數項之和為30，偶數項之和為15，則a6為()A．5 B．30C．15 D．21解析S奇－S偶＝a6＝15.答案C6．設數列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為()A．15 B．16C．49 D．64解析a8＝S8－S7＝64－49＝15.答案A7．設Sn為等比數列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)＝()A．11 B．5C．－8 D．－11解析由8a2＋a5＝0，設公比為q，將該式轉化為8a2＋a2q3＝0，解得答案D8．已知等比數列{an}的公比q<0，若a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，則數列{an}的前2010項的和等于()A．2010 B．－1C．1 D．0解析由an＋2＝an＋1＋2an，得q2－q－2＝0，得q＝2或q＝－1.又q<0，∴q＝－1.又a2＝1，∴a1＝－1，S2010＝0.答案D9．兩等差數列{an}和{bn}的前n項和分別是Sn、Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n,n＋3)，則eq\f(a5,b5)＝()A．7 B.eq\f(2,3)C.eq\f(27,8) D.eq\f(21,4)解析eq\f(a5,b5)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(63,12)＝eq\f(21,4).答案D10．將數列{3n－1}按“第n組有n個數”的規(guī)章分組如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，則第100組中的第1個數是()A．34950 B．35000C．35010 D．35050解析前99組中共有eq\f(1＋99×99,2)＝4950個數，故第100組中的第一個數為34950.答案A二、填空題(5×5＝25分)11．設等比數列{an}的公比q＝eq\f(1,2)，前n項和Sn，則eq\f(S4,a4)＝________.解析∵S4＝8a4＋4a4＋2a4＋a4，∴eq\f(S4,a4)＝15.答案1512．已知數列{xn}滿足：lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x100＝1，則lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.解析由lgxn＋1＝1＋lgxn，得eq\f(xn＋1,xn)＝10，∴數列{xn}為等比數列，公比為10.故x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋…＋x100)＝10100.∴l(xiāng)g(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.答案10013．已知等差數列{an}的公差d≠0，它的第1,5,17項順次成等比數列，則所成等比數列的公比為________．解析由aeq\o\al(2,5)＝a1a17，得(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，即a1＝2d.∴a5＝a1＋4d＝6d，q＝eq\f(a5,a1)＝3.答案314．在數列{an}中，an＝4n－eq\f(5,2)，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N＋，其中，a、b為常數，則ab＝________.解析Sn＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋4n－\f(5,2)))n,2)＝eq\f(4n－1n,2)＝2n2－eq\f(n,2)，∴a＝2，b＝－eq\f(1,2)，ab＝－1.答案－115．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，則其通項an＝_____，若它的第k項滿足5<ak<8，則k＝________.解析由Sn＝n2－9n，當n＝1時，a1＝－8，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，又n＝1時2n－10＝－8，故an＝2n－10.由5<ak<8，得eq\f(15,2)<k<9，又k∈Z，∴k＝8.答案2n－108三、解答題(共75分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(12分)在等差數列{an}中，a4＝10，a3，a6，a10成等比數列，求數列{an}前20項的和S20.解設等差數列{an}的公差為d，則a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.∵a3，a6，a10成等比數列，∴aeq\o\al(2,6)＝a3·a10.即(10＋2d)2＝(10－d)(10＋6d)，得d＝0或d＝1.當d＝0時，a1＝a4－3d＝10，S20＝200；當d＝1時，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝330.17．(12分)等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解(1)由題意得，a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2)，又a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，∴q＝－eq\f(1,2).(2)由已知可得，a1－a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝3，故a1＝4.∴Sn＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(8,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)).18．(12分)設等差數列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項公式；(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．解(1)由已知a3＝5，a10＝－9得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25.∴當n＝5時，Sn取得最大值．19．(13分)已知數列{an}為等差數列，bn＝3an.(1)求證數列{bn}為等比數列；(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·b3·…·b20；(3)若b3·b5＝39，a4＋a6＝3，求b1·b2·b3·…·bn的最大值．解(1)證明略．(2)∵b1·b2·b3·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20＝3a1＋a2＋…又a8＋a13＝m，∴b1·b2·b3·…·b20＝310(3)設等差數列{an}的首項為a1，公差為d由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b3·b5＝39，,a4＋a6＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝9，,a4＋a6＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋6d＝9，,2a1＋8d＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(27,2)，,d＝－3.))∴Sn＝a1＋…＋an＝－eq\f(3,2)n2＋15n.當n＝5時，Sn有最大值eq\f(75,2)，b1·b2·…·bn＝3a1＋a2＋…＋an＝3Sn∴當n＝5時，b1·b2·…·bn有最大值3eq\f(75,2).20．(13分)已知數列{xn}的首項x1＝3，通項公式xn＝2np＋nq(n∈N＋，p、q為常數)且x1，x4，x5成等差數列．(1)求p、q的值；(2)求數列{xn}的前n項和Sn的公式．解(1)∵x1，x4，x5成等差數列，∴2x4＝x1＋x5，即2(24p＋4q)＝3＋25p＋5q，25p＋8q＝25p＋5q＋3，得q＝1.又x1＝2p＋q＝3，得p＝1，∴p＝1，q＝1.(2)由(1)知，xn＝2n＋n，∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f(1＋nn,2)＝2n＋1－2＋eq\f(nn＋1,2).21．(13分)設數列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1，(1)求數列{an}的通項公式；(2)令bn＝nan，求數列{bn}的前n項和Sn.解(1