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文檔簡介
第一章測試(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(5×10=50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.?dāng)?shù)列-3,7,-11,15…的通項(xiàng)公式可能是()A.a(chǎn)n=4n-7B.a(chǎn)n=(-1)n(4n+1)C.a(chǎn)n=(-1)n(4n-1)D.a(chǎn)n=(-1)n+1·(4n-1)解析逐個(gè)檢驗(yàn).答案C2.已知{an}為等差數(shù)列,a2+a8=12,則a5等于()A.4 B.5C.6 D.7解析a2+a8=2a5答案C3.已知{an}是等差數(shù)列,a10=10,其中前10項(xiàng)和S10=70,則其公差d等于()A.-eq\f(2,3) B.-eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析S10=10×10-eq\f(10×9,2)d=70,得d=eq\f(2,3).答案D4.已知在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=eq\f(5,4),則等比數(shù)列{an}的公比q的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.2 D.8解析由eq\f(a4+a6,a1+a3)=q3=eq\f(\f(5,4),10)=eq\f(1,8),得q=eq\f(1,2).答案B5.已知等差數(shù)列共有11項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為30,偶數(shù)項(xiàng)之和為15,則a6為()A.5 B.30C.15 D.21解析S奇-S偶=a6=15.答案C6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為()A.15 B.16C.49 D.64解析a8=S8-S7=64-49=15.答案A7.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則eq\f(S5,S2)=()A.11 B.5C.-8 D.-11解析由8a2+a5=0,設(shè)公比為q,將該式轉(zhuǎn)化為8a2+a2q3=0,解得答案D8.已知等比數(shù)列{an}的公比q<0,若a2=1,an+2=an+1+2an,則數(shù)列{an}的前2010項(xiàng)的和等于()A.2010 B.-1C.1 D.0解析由an+2=an+1+2an,得q2-q-2=0,得q=2或q=-1.又q<0,∴q=-1.又a2=1,∴a1=-1,S2010=0.答案D9.兩等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn、Tn,已知eq\f(Sn,Tn)=eq\f(7n,n+3),則eq\f(a5,b5)=()A.7 B.eq\f(2,3)C.eq\f(27,8) D.eq\f(21,4)解析eq\f(a5,b5)=eq\f(S9,T9)=eq\f(63,12)=eq\f(21,4).答案D10.將數(shù)列{3n-1}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)章分組如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,則第100組中的第1個(gè)數(shù)是()A.34950 B.35000C.35010 D.35050解析前99組中共有eq\f(1+99×99,2)=4950個(gè)數(shù),故第100組中的第一個(gè)數(shù)為34950.答案A二、填空題(5×5=25分)11.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=eq\f(1,2),前n項(xiàng)和Sn,則eq\f(S4,a4)=________.解析∵S4=8a4+4a4+2a4+a4,∴eq\f(S4,a4)=15.答案1512.已知數(shù)列{xn}滿足:lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=1,則lg(x101+x102+…+x200)=________.解析由lgxn+1=1+lgxn,得eq\f(xn+1,xn)=10,∴數(shù)列{xn}為等比數(shù)列,公比為10.故x101+x102+…+x200=10100(x1+x2+…+x100)=10100.∴l(xiāng)g(x101+x102+…+x200)=lg10100=100.答案10013.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,它的第1,5,17項(xiàng)順次成等比數(shù)列,則所成等比數(shù)列的公比為________.解析由aeq\o\al(2,5)=a1a17,得(a1+4d)2=a1(a1+16d),即a1=2d.∴a5=a1+4d=6d,q=eq\f(a5,a1)=3.答案314.在數(shù)列{an}中,an=4n-eq\f(5,2),a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N+,其中,a、b為常數(shù),則ab=________.解析Sn=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)+4n-\f(5,2)))n,2)=eq\f(4n-1n,2)=2n2-eq\f(n,2),∴a=2,b=-eq\f(1,2),ab=-1.答案-115.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,則其通項(xiàng)an=_____,若它的第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k=________.解析由Sn=n2-9n,當(dāng)n=1時(shí),a1=-8,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-10,又n=1時(shí)2n-10=-8,故an=2n-10.由5<ak<8,得eq\f(15,2)<k<9,又k∈Z,∴k=8.答案2n-108三、解答題(共75分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16.(12分)在等差數(shù)列{an}中,a4=10,a3,a6,a10成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20.解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.∵a3,a6,a10成等比數(shù)列,∴aeq\o\al(2,6)=a3·a10.即(10+2d)2=(10-d)(10+6d),得d=0或d=1.當(dāng)d=0時(shí),a1=a4-3d=10,S20=200;當(dāng)d=1時(shí),a1=a4-3d=7,S20=20a1+eq\f(20×19,2)d=330.17.(12分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列.(1)求{an}的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.解(1)由題意得,a1+a1+a1q=2(a1+a1q+a1q2),又a1≠0,故2q2+q=0,又q≠0,∴q=-eq\f(1,2).(2)由已知可得,a1-a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))2=3,故a1=4.∴Sn=eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))n)),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2))))=eq\f(8,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))n)).18.(12分)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號n的值.解(1)由已知a3=5,a10=-9得,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+2d=5,,a1+9d=-9,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=9,,d=-2.))∴an=a1+(n-1)d=11-2n.(2)由(1)知,Sn=na1+eq\f(nn-1,2)d=10n-n2=-(n-5)2+25.∴當(dāng)n=5時(shí),Sn取得最大值.19.(13分)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,bn=3an.(1)求證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;(2)若a8+a13=m,求b1·b2·b3·…·b20;(3)若b3·b5=39,a4+a6=3,求b1·b2·b3·…·bn的最大值.解(1)證明略.(2)∵b1·b2·b3·…·b20=3a1·3a2·…·3a20=3a1+a2+…又a8+a13=m,∴b1·b2·b3·…·b20=310(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b3·b5=39,,a4+a6=3,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3+a5=9,,a4+a6=3,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1+6d=9,,2a1+8d=3,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(27,2),,d=-3.))∴Sn=a1+…+an=-eq\f(3,2)n2+15n.當(dāng)n=5時(shí),Sn有最大值eq\f(75,2),b1·b2·…·bn=3a1+a2+…+an=3Sn∴當(dāng)n=5時(shí),b1·b2·…·bn有最大值3eq\f(75,2).20.(13分)已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)公式xn=2np+nq(n∈N+,p、q為常數(shù))且x1,x4,x5成等差數(shù)列.(1)求p、q的值;(2)求數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和Sn的公式.解(1)∵x1,x4,x5成等差數(shù)列,∴2x4=x1+x5,即2(24p+4q)=3+25p+5q,25p+8q=25p+5q+3,得q=1.又x1=2p+q=3,得p=1,∴p=1,q=1.(2)由(1)知,xn=2n+n,∴Sn=(21+22+…+2n)+(1+2+3+…+n)=eq\f(21-2n,1-2)+eq\f(1+nn,2)=2n+1-2+eq\f(nn+1,2).21.(13分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3×22n-1,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解(1
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