【復習參考】2021年高考數學(理)提升演練：直線與圓、圓與圓的位置關系

2021屆高三數學（理）提升演練：直線與圓、圓與圓的位置關系一、選擇題1．直線x＋y＝1與圓x2＋y2－2ay＝0(a>0)沒有公共點，則a的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)－1) B．(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(－eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1) D．(0，eq\r(2)＋1)2．設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．8eq\r(2)3．設直線x＋ky－1＝0被圓O：x2＋y2＝2所截弦的中點的軌跡為M，則曲線M與直線x－y－1＝0的位置關系是()A．相離 B．相切C．相交 D．不確定4．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．5eq\r(2) B．10eq\r(2)C．15eq\r(2) D．20eq\r(2)5．直線x＋7y－5＝0截圓x2＋y2＝1所得的兩段弧長之差的確定值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C．π D.eq\f(3π,2)6．若直線y＝x＋b與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)有公共點，則b的取值范圍是()A．[1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2)] B．[1－eq\r(2)，3]C．[－1,1＋2eq\r(2)] D．[1－2eq\r(2)，3]二、填空題7．兩圓(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點，若點P坐標為(1,2)，則點Q的坐標為________．8．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數c的取值范圍是________．9．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被該圓所截得的弦長為2eq\r(2)，則圓C的標準方程為____________．三、解答題10．已知點A(1，a)，圓x2＋y2＝4.(1)若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；(2)若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為2eq\r(3)，求a的值．11．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經過原點．若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．12．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2－12x＋32＝0的圓心為Q，過點P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A，B.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在常數k，使得向量＋與共線？假如存在，求k值；假如不存在，請說明理由．詳解答案一、選擇題1．解析：由圓x2＋y2－2ay＝0(a>0)的圓心(0，a)到直線x＋y＝1的距離大于a，且a>0可得a的取值范圍．答案：A2．解析：依題意，可設圓心坐標為(a，a)、半徑為r，其中r＝a>0，因此圓方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圓過點(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，則該方程的兩根分別是圓心C1，C2的橫坐標，|C1C2|＝eq\r(2)×eq\r(102－4×17)＝8.答案：C3．解析：∵直線x＋ky－1＝0過定點N(1,0)，且點N(1,0)在圓x2＋y2＝2的內部，∴直線被圓所截弦的中點的軌跡M是以ON為直徑的圓，圓心為P(eq\f(1,2)，0)，半徑為eq\f(1,2)，∵點P(eq\f(1,2)，0)到直線x－y－1＝0的距離為eq\f(\r(2),4)<eq\f(1,2)，∴曲線M與直線x－y－1＝0相交．答案：C4．解析：由題意可知，圓的圓心坐標是(1,3)，半徑是eq\r(10)，且點E(0,1)位于該圓內，故過點E(0,1)的最短弦長|BD|＝2eq\r(10－12＋22)＝2eq\r(5)(注：過圓內肯定點的最短弦是以該點為中點的弦)，過點E(0,1)的最長弦長等于該圓的直徑，即|AC|＝2eq\r(10)，且AC⊥BD，因此四邊形ABCD的面積等于eq\f(1,2)|AC|×|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).答案：B5．解析：圓心到直線的距離d＝eq\f(|0＋0－5|,\r(1＋49))＝eq\f(\r(2),2).又∵圓的半徑r＝1，∴直線x＋7y－5＝0截圓x2＋y2＝1的弦長為eq\r(2).∴劣弧所對的圓心角為eq\f(π,2).∴兩段弧長之差的確定值為eq\f(3,2)π－eq\f(π,2)＝π.答案：C6．解析：在平面直角坐標系內畫出曲線y＝3－eq\r(4x－x2)與直線y＝x，在平面直角坐標系內平移該直線，結合圖形分析可知，當直線沿左上方平移到過點(0,3)的過程中的任何位置相應的直線與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)都有公共點；當直線沿右下方平移到與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切的過程中的任何位置相應的直線與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)都有公共點．留意與y＝x平行且過點(0,3)的直線方程是y＝x＋3；當直線y＝x＋b與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時，有eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，b＝1±2eq\r(2).結合圖形可知，滿足題意的b的取值范圍是[1－2eq\r(2)，3]．答案：D二、填空題7．解析：由兩圓的方程可知它們的圓心坐標分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為eq\f(x－－1,2－－1)＝eq\f(y－1,－2－1)，即y＝－x，依據圓的幾何性質可知兩圓的交點應關于過它們圓心的直線對稱，故由P(1,2)可得它關于直線y＝－x的對稱點即Q點的坐標為(－2，－1)．答案：(－2，－1)8．解析：由于圓的半徑為2，且圓上有且僅有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，即要圓心到直線的距離小于1，即eq\f(|c|,\r(122＋－52))<1，解得－13<c<13.答案：(－13,13)9．解析：設圓心坐標為(a,0)(a>0)，則圓心到直線x－y－1＝0的距離為eq\f(|a－1|,\r(2)).由于圓截直線所得的弦長為2eq\r(2)，依據半弦、半徑、弦心距之間的關系有(eq\f(|a－1|,\r(2)))2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)，則半徑r＝3－1＝2，圓心坐標為(3,0)．所以圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4.答案：(x－3)2＋y2＝4三、解答題10．解：(1)由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故12＋a2＝4，∴a＝±eq\r(3).當a＝eq\r(3)時，A(1，eq\r(3))，切線方程為x＋eq\r(3)y－4＝0；當a＝－eq\r(3)時，A(1，－eq\r(3))，切線方程為x－eq\r(3)y－4＝0，∴a＝eq\r(3)時，切線方程為x＋eq\r(3)y－4＝0，a＝－eq\r(3)時，切線方程為x－eq\r(3)y－4＝0.(2)設直線方程為x＋y＝b，由于直線過點A，∴1＋a＝b，a＝b－1.又圓心到直線的距離d＝eq\f(|b|,\r(2))，∴(eq\f(|b|,\r(2)))2＋(eq\f(2\r(3),2))2＝4.∴b＝±eq\r(2).∴a＝±eq\r(2)－1.11．解：依題意，設l的方程為y＝x＋b①x2＋y2－2x＋4y－4＝0②聯(lián)立①②消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－b＋1，,x1x2＝\f(b2＋4b－4,2)，))③∵以AB為直徑的圓過原點，∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4.∴滿足條件的直線l存在，其方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.12．解：(1)圓的方程可化為(x－6)2＋y2＝4，其圓心為Q(6,0)．過點P(0,2)且斜率為k的直線方程為y＝kx＋2.代入圓的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①直線與圓交于兩個不同的點A，B，所以Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－eq\f(3,4)<k<0，即k的取值范圍為(－eq\f(3,4)，0)．