【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(廣東用)課時(shí)作業(yè)：第八章-第十節(jié)圓錐曲線的綜合問題

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(五十九)一、選擇題1.過拋物線y=2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=()(A)-2 (B)-QUOTE (C)-4 (D)-QUOTE2.(2021·鄭州模擬)設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是()(A)[-QUOTE,QUOTE] (B)[-2,2](C)[-1,1] (D)[-4,4]3.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸的最小值為()(A)1 (B)QUOTE (C)2 (D)2QUOTE4.(2021·邢臺模擬)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓QUOTE+QUOTE=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則QUOTE·QUOTE的最大值為()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2021·汕頭模擬)過雙曲線=1(a>0)右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為2時(shí),直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為3時(shí),直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為()(A)(QUOTE,5) (B)(QUOTE,QUOTE)(C)(1,QUOTE) (D)(5,5QUOTE)6.(力氣挑戰(zhàn)題)已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為()(A)QUOTE+2 (B)QUOTE+1 (C)QUOTE-2 (D)QUOTE-1二、填空題7.(2021·重慶模擬)過橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F,若QUOTE<k<QUOTE,則橢圓離心率的取值范圍為.8.(2021·長春模擬)設(shè)連接雙曲線QUOTE-QUOTE=1與QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1,連接其4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為S2,則QUOTE的最大值為.9.過拋物線y2=2px(p>0)上確定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0)作兩直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),則QUOTE的值為.三、解答題10.(2021·深圳模擬)已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0,1).直線l:y=kx-QUOTE與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)若|AB|=QUOTE,求k的值.(2)求證:不論k取何值,以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.11.(2021·銀川模擬)直線l與橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=QUOTE,又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(QUOTE,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程.(2)試問:△AOB的面積是否為定值?假如是,請賜予證明;假如不是,請說明理由.12.(力氣挑戰(zhàn)題)已知橢圓x2+QUOTE=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B.曲線C是以A,B兩點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為QUOTE的雙曲線.設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T.(1)求曲線C的方程.(2)設(shè)P,T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,證明:x1·x2=1.(3)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積分別為S1與S2,且QUOTE·QUOTE≤15,求QUOTE-QUOTE的取值范圍.答案解析1.【解析】選D.由y=2x2得x2=QUOTEy,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,QUOTE),取直線y=QUOTE,則其與y=2x2交于A(-QUOTE,QUOTE),B(QUOTE,QUOTE),∴x1x2=(-QUOTE)·(QUOTE)=-QUOTE.【方法技巧】與動直線相關(guān)值的求解技巧解決動直線與圓錐曲線相交的有關(guān)值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】選C.設(shè)直線方程為y=k(x+2),與拋物線聯(lián)立方程組,整理得ky2-8y+16k=0.當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)k≠0時(shí),由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.綜上-1≤k≤1.3.【解析】選D.設(shè)橢圓長半軸長為a,短半軸長為b,a2-b2=c2,由題意,QUOTE·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥QUOTE.∴長軸的最小值為2QUOTE.4.【解析】選C,設(shè)P(x0,y0),則QUOTE+QUOTE=1即QUOTE=3-QUOTE,又∵F(-1,0),∴QUOTE·QUOTE=x0·(x0+1)+QUOTE=QUOTE+x0+3=QUOTE(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(QUOTE·QUOTE)∈[2,6],所以(QUOTE·QUOTE)max=6.5.【思路點(diǎn)撥】結(jié)合圖象探究e滿足的關(guān)系即可.【解析】選B.由題意結(jié)合雙曲線的圖象可知漸近線的斜率k滿足2<k<3,所以4<k2<9?4<e2-1<9?QUOTE<e<QUOTE.6.【思路點(diǎn)撥】畫出圖象,通過圖象可知點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離減1,過焦點(diǎn)F作直線l的垂線,此時(shí)d1+d2最小,依據(jù)拋物線方程求得F的坐標(biāo),進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d1+d2的最小值.【解析】選D.如圖所示,由拋物線的定義知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明顯當(dāng)直線PF垂直于直線x-y+4=0時(shí),d1+d2最小,此時(shí)d2+|PF|為F到直線x-y+4=0的距離.由題意知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),所以(d2+|PF|)min=QUOTE=QUOTE.∴(d1+d2)min=QUOTE-1.7.【解析】由題意知:B(c,QUOTE),∴k=QUOTE=QUOTE=1-e.又QUOTE<k<QUOTE,∴QUOTE<1-e<QUOTE,解得QUOTE<e<QUOTE.答案:(QUOTE,QUOTE)8.【思路點(diǎn)撥】將QUOTE用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=QUOTE·2a·2b=2ab,S2=QUOTE·2QUOTE·2QUOTE=2(a2+b2),QUOTE=QUOTE(a>0,b>0),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號).答案:QUOTE9.【解析】設(shè)直線PA的斜率為kPA,PB的斜率為kPB,由QUOTE=2px1,QUOTE=2px0,得kPA=QUOTE=QUOTE,同理kPB=QUOTE,由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),因此QUOTE=-QUOTE,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么QUOTE=-2.答案:-210.【解析】(1)由題意知QUOTE=QUOTE,b=1,∴a=QUOTE,∴橢圓的方程為QUOTE+y2=1.由QUOTE得(2k2+1)x2-QUOTEkx-QUOTE=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則x1+x2=QUOTE,x1x2=-QUOTE.∴|AB|=QUOTE·|x1-x2|=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE,化簡得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k2=1,∴k=±1.(2)∵QUOTE=(x1,y1-1),QUOTE=(x2,y2-1),∴QUOTE·QUOTE=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-QUOTEk(x1+x2)+QUOTE=-QUOTE-QUOTE+QUOTE=0.∴不論k取何值,以AB為直徑的圓恒過M點(diǎn).11.【解析】(1)∵QUOTE∴a=2,b=1,∴橢圓的方程為QUOTE+x2=1.(2)①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),即x1=x2,y1=-y2,由已知m·n=0,得4QUOTE-QUOTE=0?QUOTE=4QUOTE,又A(x1,y1)在橢圓上,所以QUOTE+QUOTE=1?|x1|=QUOTE,|y1|=QUOTE,S△AOB=QUOTE|x1||y1-y2|=QUOTE|x1|·2|y1|=1,三角形的面積為定值.②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為y=kx+t,由QUOTE?(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必需Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,得到x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE,∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,S=QUOTE×QUOTE|AB|=QUOTE|t|QUOTE=QUOTE=QUOTE=1,所以三角形的面積為定值.12.【解析】(1)依題意可得A(-1,0),B(1,0).設(shè)雙曲線C的方程為x2-QUOTE=1(b>0),由于雙曲線的離心率為QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即b=2.所以雙曲線C的方程為x2-QUOTE=1.(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直線AP的斜率為k(k>0)(易知k存在),則直線AP的方程為y=k(x+1),聯(lián)立方程組QUOTE整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,解得x=-1或x=QUOTE,所以x2=QUOTE.同理可得x1=QUOTE.所以x1·x2=1.(3)由(2)得QUOTE=(-1-x1,-y1),QUOTE=(1-x1,-y1).由于QUOTE·QUOTE≤15,所以(-1-x1)(1-x1)+QUOTE≤15,即QUOTE+QUOTE≤16.由于點(diǎn)P在雙曲線上,則QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE+4QUOTE-4≤16,即QUOTE≤4.由于點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),所以1<x1≤2.由于S1=QUOTE|AB||y2|=|y2|,S2=QUOTE|OB||y1|=QUOTE|y1|,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=(4-4QUOTE)-(QUOTE-1)=5-QUOTE-4QUOTE.由(2)知x1·x2=1,即x2=QUOTE.設(shè)t=QUOTE,則1<t≤4,QUOTE-QUOTE=5-t-QUOTE.設(shè)f(t)=5-t-QUOTE,則f′(t)=-1+QUOTE=QU