2024年長沙市中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（每題3分）

1.給出四個數(shù)：o,V3,y,1,其中最大的是（）

A.0B.V3C.D.-1

3.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.圓

4.據(jù)統(tǒng)計，2016年長沙市的常住人口約為75000（X）人，將數(shù)據(jù)75000（X）用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.7.5X106B.0.75X107C.7.5X107D.75X105

5.己知關(guān)于x的不等式ax-3x+2>5的一個解是-2,則a的取值范圍為（）

3_3__9_9

A.a<_2B.a>~2C.a>--2D.a<--2

6.下列說法中，正確的是（）

A.任何一個數(shù)都有平方根B.任何正數(shù)都有兩個平方根

C.算術(shù)平方根一定大于0D.一個數(shù)不一定有立方根

7.在以下數(shù)據(jù)75,80,80,85,90中，眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.75,80B.80,80C.80,85D.80,90

8.已知一個正n邊形的每個內(nèi)角為120。，則這個多邊形的對角線有（）

A.5條B.6條C.8條D.9條

9.如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB的中點(diǎn)，下列說法錯誤的是（）

I________I?_____?

ACDB

A.CD=AC-BDB.CD=2AB-BDC.AC+BD=BC+CDD.CD巧AB

10.如圖，已知A是反比例函數(shù)y=q"圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A向X軸作垂線交x軸于點(diǎn)B,

在點(diǎn)A從左往右移動的過程中，AABO的面積將（）

A.越來越大B.越來越小

C.先變大，后變小D.不變

11.如圖，扇形AOB是圓錐的側(cè)面展開圖，」知圓錐的底面半徑為2,母線長為6,則陰

影部分的面積為（）

12.如圖，A點(diǎn)在半徑為2的00上，過線段0A上的一點(diǎn)P作直線m,與。0過A點(diǎn)的

切線交于點(diǎn)B,且NAPB=50°,設(shè)OP=x,則APAB的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

二、填空題（每題3d分）

13.分解因式：2x2-8=.

14.如圖所示，在。ABCD中，NBAD的角平分線AE交BC于點(diǎn)E,AB=4,AD=6,則

EC=.

D

E

2

15.化簡：--+2=______.

x-1

16.?個不透明的口袋中共放有3個紅球和11個黃球，這兩種球除顏色外沒有其他任何區(qū)

別，若從口袋中隨機(jī)取出一個球，則取到黃球的概率是.

3

17.如圖所示，在。O中，AB為。0的直徑,AC=8,sinD-,則BC=.

5

工一=（a）b）

規(guī)定一種新的運(yùn)算：

18.a?bJ&°則1?2=

三（b>a）

ba

二、解答題

19.計算：2cos30°?|加-2|■5+1.

20.先化簡，再求值：（2a?b）2?b（b?2a）-a2,其中3a=2b.

21.長沙市中考體育分值已經(jīng)提高到了60分，其中的必考項目就有男子引體向上和女子一

分鐘仰臥起坐，各校為此加強(qiáng)了對體育訓(xùn)練的重視.

引體向上（男）和一分鐘仰臥起坐（女）共16分單位：次數(shù)

分值161514131210863

成男（次）876543210.5

績女（次）4540363228252220<19

注：0.5次是指考生從直博懸垂開始，有正確的引體動作和下杠動作，但未完整完成一次

某中學(xué)對全校學(xué)生這兩項運(yùn)動的成績進(jìn)行了統(tǒng)計，規(guī)定分值15分及以上為優(yōu)秀，12分到14

分為良好，6分到10分為合格，6分以下不合格，在全校800名初三學(xué)生中，隨機(jī)抽取部分

學(xué)生進(jìn)行測試，并將測試成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，求：

（1）某女生說她得了12分，請問她一分鐘做了多少次仰臥起坐；

（2）請問一共抽取了多少名學(xué)生？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）根據(jù)抽樣結(jié)果估計，本校項目由多少學(xué)生能夠得優(yōu)秀？

22.如圖，在RtZ\PAD中，ZPAD=90°,NAPD的角平分線PO交AD于O點(diǎn)，以O(shè)為圓

心，OA為半徑作。O,交AD于點(diǎn)B,過D作DE_LPO交PO的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：PD是。0的切線；

(2)若PA=6,tan/PDA=g求半徑OA及OE的長.

4

23.某汽車專賣店銷售A、B兩種型號的新能源汽車.上周售出I輛A型車和3輛B型車,

銷售額為96萬元；本周已售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元.

(1)求每輛A型車和B型車的售價各為多少元；

(2)甲公司擬向該店購買A、B兩種型號的新能源汽車共6輛，購車費(fèi)不少于130萬元，

但不超過140萬元.則有哪幾種購車方案？并寫出哪種方案所需的購車費(fèi)用最低.

24.已知，如圖，AABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG〃BC,交AB于點(diǎn)G,

在GD的延長線上取點(diǎn)E,使DE=DC,連接AE、BD.

(1)求證：△AGEg/XDAB：

(2)過點(diǎn)E作EF〃DB,交BC于點(diǎn)F,連接AF,求NAFE的度數(shù).

25.若Xi、X2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aXO)的兩個根，則方程的兩個根勺、

X2和系數(shù)a、b、C有如下關(guān)系：Xi+X2=~，x).X2=-,我們把它們稱為根與系數(shù)的關(guān)系定

aa

理，請你參考上述定理，解答下列問題：

設(shè)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a￥0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(xH0),B(x2,0).拋物

線的頂點(diǎn)為C,且AABC為等腰三角形.

(1)求A、B兩點(diǎn)之間的距離(用字母a、b、c表示)

(2)當(dāng)AABC為等腰直角三角形時，求b2-4ac的值；

(3)設(shè)拋物線y=x2+kx+l與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,頂點(diǎn)為C,且NACB=90。，試問如何

平移此拋物線，才能使NACB=60。？

26.如圖，四邊形OABC為直角梯形，OA〃BC,ZAOC=90°,OA=OC=4,BC=3.點(diǎn)M

從O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向A運(yùn)動；點(diǎn)N從B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度

的速度向C運(yùn)動，當(dāng)其中?個動點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，過點(diǎn)N作NP

垂直O(jiān)A于點(diǎn)P,連接AC交NP于點(diǎn)Q,連接MQ.

(1)當(dāng)I為何值時，M和P兩點(diǎn)重合；

(2)求AAQIU的面積S與運(yùn)動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，及當(dāng)t

為何值時，S的值最大：

（3）是否存在點(diǎn)M,使得aACJM為直角三角形？若存在，求NQ的長；若不存在，請說

明理由.

2017年長沙市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分）

1.給出四個數(shù)：0,加，11,其中最大的是（）

A.0B.V3C.yD.-1

【考點(diǎn)】實數(shù)大小比較.

【分析】根據(jù)正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小即可解答.

【解答】解：???加＞1,

???最大的數(shù)是第，

故選；B.

2.下列各圖中，N1與N2互為余角的是（）

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角.

【分析】如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.依此定義結(jié)合圖形即

可求解.

【解答】解：四個選項中，只有選項C滿足/1+/2=90?，

即選項C中，Z1與/2互為余角.

故選C.

3.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.圓

【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本選項正確；

B、矩形是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、正方形是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

D、圓是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選A.

4.據(jù)統(tǒng)計，2016年長沙市的常住人口約為7500000人，將數(shù)據(jù)7500000用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.7.5X106B.0.75X107C.7.5X107D.75XI05

【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n的

值時.，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值VI時，n是負(fù)數(shù).

【解答】解：將數(shù)據(jù)7500000用科學(xué)記數(shù)法表示為7.5X106.

故選A.

5.已知關(guān)于x的不等式ax-3x+2>5的一個解是?2,則a的取值范圍為（）

3399

A.a<—B.a>—C.a>--D.a<--

2222

【考點(diǎn)】不等式的解集；解一元一次不等式.

【分析】先將x=-2代入不等式，得到關(guān)于a的一元一次不等式，求得a的取值范圍即可.

【解答】解：???不等式ax-3x+2>5的一個解是-2

:.-2a+6+2>5

???-2a>-3

Aa<—

2

故選A.

6.下列說法中，正確的是（）

A.任何一個數(shù)都有平方根B.任何正數(shù)都有兩個平方根

C.算術(shù)平方根一定大于0D.一個數(shù)不一定有立方根

【考點(diǎn)】立方根：平方根；算術(shù)平方根.

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根，即可解答.

【解答】解：A、任何一個數(shù)都有平方根，錯誤，負(fù)數(shù)沒有平方根:

B、任何正數(shù)都有兩個平方根，正確；

C、算術(shù)平方根一定大于0,錯誤，。的算術(shù)平方根是0：

D、任何數(shù)都有立方根，改錯誤；

故選：B.

7.在以下數(shù)據(jù)75,80,80,85,90中，眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.75,80B.80,80C.80,85D.80,90

【考點(diǎn)】眾數(shù)；中位數(shù).

【分析】首先找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，則它就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；然后把這組數(shù)

據(jù)從小到大排列，則中間的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此解答即可.

【解答】解：???數(shù)據(jù)75,80,80,85,90中，80出現(xiàn)的次數(shù)最多，出現(xiàn)了2次，

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80；

把數(shù)據(jù)75,80,80,85,90從小到大排列，可得

75,80,80,85,90,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是80.

故選：B.

8.已知一個正n邊形的每個內(nèi)角為120。，則這個多邊形的對角線有（）

A.5條B.6條C.8條D.9條

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)先與外角.

【分析】多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°,則每個外角是60。，而任何多邊形的外角是360。,

則求得多邊形的邊數(shù)；再根據(jù)多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線;n-3,即可求得對角線的條數(shù).

【解答】解：???多邊形的每一個內(nèi)角都等于120%

???每個外角是60度，

則多邊形的邊數(shù)為360。+60。=6,

則該多邊形有6個頂點(diǎn)，

則此多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線共有6-3=3條.

工這個多邊形的對角線有2（6X3）=9條，

*Ml

故選D.

9.如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB的中點(diǎn)，下列說法錯誤的是（）

I_________I_____?_____?

ACDB

A.CD=AC-BDB.CD=-AB-BDC.AC+BD=BC+CDD.CD=—AB

23

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離.

【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得CD、BD與AB、BC的關(guān)系，可得答案.

【解答】解：由C足線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB的中點(diǎn)，得

AC=CB,CD=DB.

A、CD二CB-BD=AC-BD,故A正確；

B、CD=CB-BD=--AB-BD,故B正確；

C、AC+BD=BC+CD,故C正確：

D、CD=iBC=4-AB,故D錯誤；

24

故選：D.

10.如圖，已知A是反比例函數(shù)y=k圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A向x軸作垂線交x軸于點(diǎn)B,

x

在點(diǎn)A從左往右移動的過程中，△ABO的面積將（）

A.越來越大B.越來越小

C.先變大，后變小D.不變

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【分析】由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上以及AB_Lx軸于點(diǎn)B,結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何

意義即可得出S^ABO=,lk],由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：???點(diǎn)A是反比例函數(shù)y二上圖象上的一點(diǎn)，且AB_Lx軸于點(diǎn)B,

***SABO='^k,

A乙

???點(diǎn)A從左往右移動的過程中，^ABO的面積不變.

故選D.

11.如圖，扇形AOB是圓錐的側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑為2,母線長為6,則陰

影部分的面積為（）

【考點(diǎn)】圓錐的計算.

【分析】首先求得展開扇形的圓心角的度數(shù)，從而求得圓心到線AB的長，用扇形的面積減

去三角形的面積即可求得羽影部分的面積.

【解答】解：由題意知：孤長=圓錐底面周長=2X2n=4ncm,

扇形的圓心角二弧長X180+母線長+7i=4nX180+6TI=120°.

作OC_LAB于點(diǎn)C,

.,.OC=^OA=3,AB=2AC=2X3心6G

?'-S陰影=s5形-SAAOB=120^X6￡_1X3X6心1271-9例,

360乙

故選C.

12.如圖，A點(diǎn)在半徑為2的。O上，過線段OA上的一點(diǎn)P作直線m,與。O過A點(diǎn)的

切線交于點(diǎn)B,且/APB=60°,設(shè)OP=x,則4PAB的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

【考點(diǎn)】動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.

【分析】根據(jù)已知得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出函數(shù)是二次函數(shù)，當(dāng)x=-?=2

時，S取到最小值為：-bi=0,即可得出圖象.

4a

【解答】解：???A點(diǎn)在半徑為2的。O上，過線段OA上的一點(diǎn)P作直線m,與。O過A

點(diǎn)的切線交于點(diǎn)B,且NAPB=60。，

/.AO=2,OP=x,WJAP=2-x,

(an60°=-^Y=^/3，

iA

解得：AB=V3(2?x)=■表x+2正，

???SAABP=,XPAXAB=《(2-X)?近?(-x+2)H1X2-2心+2加，

故此函數(shù)為二次函數(shù)，

:.當(dāng)X=-4=2時，S取到最小值為：4坐二日二0,

2a4a

根據(jù)圖象得出只有D符合要求.

故選：D.

二、填空題(每題3d分)

13.分解因式：2x2-8=2(x+2)(x-2).

【考點(diǎn)】因式分解-提公因式法.

【分析】觀察原式，找到公因式2,提出即可得出答案.

【解答】解：2x2-8=2(x+2)(x-2).

14.如圖所示，在。ABCD中，NBAD的角平分線AE交BC于點(diǎn)E,AB=4,AD=6,則EC=

2.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC=6,DC=AB=4,AD〃BC,推出NDAE二NBEA,

根據(jù)AE平分/BAD,能證出NBAE=NBEA,根據(jù)等腰三角形的判定得到AB二BE=4,根

據(jù)EOBC-BE,代入即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD=BC=6,DC=AB=4,AD〃BC,

AZDAE=ZBEA,

???AE平分NBAD,

AZDAE=ZBAE,

.\ZBAE=ZBEA,

AAB=BE=4,

.\EC=BC-BE=6-4=2,

故答案為：2.

22x

15.化簡：——+2:

x-17x-1-,

【考點(diǎn)】分式的加減法.

【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=上97+?=(x一-一1)=32x7，

故答案為：

x-1

16.一個不透明的口袋中共放有3個紅球和11個黃球，這兩種球除顏色外沒有其他任何區(qū)

別，若從口袋中隨機(jī)取出一個球，則取到黃球的概率是

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】用黃球的個數(shù)除以球的總個數(shù)可得.

【解答】解：???不透明的袋中有除顏色外沒有其他任何區(qū)別的3個紅球和11個黃球，共14

個球，其中黃球有11個，

???從口袋中隨機(jī)取出一個球，則取到黃球的概率是巨，

14

故答案為：vy.

3

17.如圖所示，在0O中，AB為。。的直徑，AC=8,sinD=-p,則BC=6

5

C

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形.

【分析】根據(jù)圓周角定理得到ND=NA,設(shè)BC=3x,根據(jù)正弦的定義得到AB=5x,根據(jù)勾

股定理計算即可.

【解答】解：???AB為。0的直徑，

/.ZACB=90°,

3

由圓周角定理得，ZD=ZA,又sinD=

5

.??sinA珞即噌二|，

5AB5

設(shè)BC=3x,則AB=5x,

由勾股定理得，（5x）2-（3x）2=82,

解得,x=2,

則BC=6,

故答案為：6.

a0，則1@2-

18.規(guī)定?種新的運(yùn)算：a但b二

=-L(b>a)一

ba

【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【分析】根據(jù)2大于1,利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：

A1?2=--1=--,

22

故答案為:-得

三、解答題

19.計算：2cos30。-yf2-2-J12+

【考點(diǎn)】實數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，絕對?值的代數(shù)意義，以及二次根式性質(zhì)計算即可得

到結(jié)果.

【解答】解：原式=2X??2+加?2&+1=-1.

20.先化簡，再求值：（2a?b）2-b（b-2a）-a2?其中3a=2b.

【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算一化簡求值.

【分析】原式利用完全平方公式，單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，

將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=4a?-4ab+b2-b2+2ab-a2=3a2-2ab,

9

由3a=2b,得到a=-b,

J

則原式=多2.*2=0.

JJ

21.長沙市中考體育分值已經(jīng)提高到了60分，其中的必考項目就有男子引體向上和女子一

分鐘仰臥起坐，各校為此加強(qiáng)了對體育訓(xùn)練的重視.

引體向上（男）和一分鐘仰臥起坐（女）共16分單位：次數(shù)

分值161514131210863

成男（次）876543210.5

績女（次）4540363228252220<19

注：0.5次是指考生從直臂懸垂開始，有正確的引體動作和下杠動作，但未完整完成一次

某中學(xué)對全校學(xué)生這兩項運(yùn)動的成績進(jìn)行了統(tǒng)計，規(guī)定分值15分及以上為優(yōu)秀，12分到14

分為良好，6分到1（）分為合格，6分以下不合格，在全校800名初三學(xué)生中，隨機(jī)抽取部分

學(xué)生進(jìn)行測試，并將測試成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，求：

（1）某女生說她得了12分，請問她一分鐘做了多少次仰臥起坐；

（2）請問一共抽取了多少名學(xué)生？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）根據(jù)抽樣結(jié)果估計，本校項目由多少學(xué)生能夠得優(yōu)秀？

【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體：扇形統(tǒng)計圖.

【分析】（1）由表格即可知答案；

（2）根據(jù)“優(yōu)秀”的人數(shù)及其占被調(diào)查學(xué)生的百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以"不合格"的百

分比可得對應(yīng)人數(shù)，由個等級人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)可得“良好”的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖；

（3）用樣本中“優(yōu)秀”的人數(shù)所占百分比乘以全校總?cè)藬?shù)可得.

【解答】解：（I）由表可知,她一分鐘做了28次仰臥起坐;

（2）一共抽取學(xué)生有：10?20%=50（人），

"不合格"的學(xué)生有50X10%=5（人），"良好"的學(xué)生有50?10?15?5=20（人），

補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖：

（3）800X20%=160（人），

答：根據(jù)抽樣結(jié)果估計，全校有160名學(xué)生能夠取得優(yōu)秀.

22.如圖，在Rt^PAD中，ZPAD=90°,NAPD的角平分線PO交AD于O點(diǎn)，以。為圓

心，OA為半徑作。O,交AD于點(diǎn)B,過D作DE_LPO交PO的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：PD是。O的切線；

（2）若PA=6,tanNPDA==，求半徑OA及OE的長.

4

【考點(diǎn)】切線的判定.

【分析】(1)作OC_LPD于C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OOOA,即可判定PD是。。的

切線；

(2)根據(jù)已知求得AD,PC,根據(jù)勾股定理求得PD,得出CD,設(shè)半徑為x,則OD=8-x,

在RT4ODC中，根據(jù)勾段定理得出(8?x)2=X2+42,解得半徑為3,然后根據(jù)勾股定理求

得0P,進(jìn)而證得△POAs/XDOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得.

【解答】(1)證明：作OCJ_PD于C,

TOP是NAPD的角平分線，OA_LPA,OC1PD,

AOC=OA,

???PD是OO的切線；

(2)解：VPA=6,tanZPDA=-^-=—,

AD4

，AD=8,

?,-PD=VPA2+AD2=10*

VPA±OA,

，PA是。O的切線，

???PD是。O的切線，

.\PC=PA=6,

ACD=PD-PCM,

設(shè)半徑為x,則OD=8-x,

在RTZ\ODC中，OD2=OC2+CD2,

(8-x)2=X2+42,

解得x=3,

???半徑OA=3,

AOD=8-3=5,

在RT^AQP中,CP7PA2|0A2=3道.

VZPAO=ZE=90°,ZPOA=ZDOE,

AAPOA^ADOE,

.OEOD日“OE5

.前二所‘即下二司？

AOE=V5-

23.某汽車專賣店銷售A、B兩種型號的新能源汽車.上周售出1輛A型車和3輛B型車,

銷售額為96萬元；本周已售出2輛A型車和I輛B型車，銷售額為62萬元.

（1）求每輛A型車和B型車的售價各為多少元；

（2）甲公司擬向該店購買A、B兩種型號的新能源汽車共6輛，購車費(fèi)不少于130萬元，

但不超過140萬元.則有哪幾種購車方案？并寫出哪種方案所需的購車費(fèi)用最低.

【考點(diǎn)】一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用.

【分析】（1）每輛A型車和B型車的售價分別是x萬元、y萬元.則等量關(guān)系為：1輛A

型車和3輛B型車，銷售額為96萬元，2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元；

（2）設(shè)購買A型車a輛，則購買13型車（6a）輛，則根據(jù)“購買A,B兩種型號的新能

源汽車共6輛，購車費(fèi)不少于130萬元，且不超過140萬元”得到不等式組.

【解答】解：（1）每輛A型車和B型車的售價分別是x萬元、y萬元.則

（x+3y=96

I2x+y=62

x=18

解得

y=26

答：每輛A型車的售價為18萬元，每輛B型車的售價為26萬元;

（2）設(shè)購買A型車a輛，則購買B型車（6-a）輛，則依題意得

r18a+26(6-a)>13C

18a+26(6-a)414C

解得

4

la是正整數(shù),

/.a=2或a=3.

，共有兩種方案：

方案一：購買2輛A型車和4輛B型車：

方案二：購買3輛A型車和3輛B型車.

方案二：購買3輛A型車和3輛B型車所需的購車費(fèi)用最低.

24.已知，如圖，ZXABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG〃BC,交AB于點(diǎn)G,

在GD的延長線上取點(diǎn)E,使DE二DC,連接AE、BD.

（1）求證：△AGEgaDAB；

（2）過點(diǎn)E作EF〃DB,交BC于點(diǎn)F,連接AF,求/AFE的度數(shù).

A

【考點(diǎn)】全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)SAS判定AAGE和ADAR全等；

(2)證明四邊形DEFB是平行四邊形，4AEF是個等邊三角形.

【解答】(1)證明：:△ABC是等邊三角形，DG〃BC，

.,.ZAGD=ZABC=60°,ZADG=ZACB=60°,且/BAC=60。，

???△AGD是等邊三角形，

AG=GD=AD,ZAGD=60°.

*/DE=DC,GE;GD+DE=AD+DC二AOAB,

???在AAGE與ADAB中，

'GE二AB

'NAGD二NBAD，

AG=DA

/.△AGE^ADAB(SAS)；

(2)解：由(1)知AE=BD,ZABD=ZAEG.

VEF//DB,DG〃BC,

???四邊形BFED是平行四邊形.

.\EF=BD,

EF=AE.

,/ZDBC=ZDEF,

，ZABD+ZDBC=ZAEG+ZDEF,即NAEF=NABC=60。.

???△AFE是等邊三角形，NAFE=60。.

25.若X|、X2是關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+c=0(aWO)的兩個根，則方程的兩個根x1、

X2和系數(shù)a、b、C有如下關(guān)系：Xi+X2=-XX]?X2=￡,我們把它們稱為根與系數(shù)的關(guān)系定

aa

理，請你參考上述定理，解答下列問題：

設(shè)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#=0)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x(,0),B(x2,0).拋物

線的頂點(diǎn)為C,且AABC為等腰三角形.

(1)求A、B兩點(diǎn)之間的距離(用字母a、b、c表示)

(2)當(dāng)AABC為等腰直角三角形時，求b2-4ac的值；

(3)設(shè)拋物線y=x2+kx+l與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,頂點(diǎn)為C,且NACB=90。,試問如何

平移此拋物線，才能使NACB=60。？

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(I)令二次函數(shù)解析式中y=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出％+x2=-也，X|?X2=￡",

aa

利用配方法即可求出七-X]|的值，由此即可得出結(jié)論；

(2)利用配方法將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，由此即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰

直角三角形的性質(zhì)可得出2義|處二工二V旦二利用換元解方程即可求出b2-4ac

4aIa|

的值；

(3)由(2)的結(jié)論即可得出關(guān)于k的方程，解方程即可得出拋物線的解析式，畫出函數(shù)圖

象，由此可得出若要使NACB=60。，則需把拋物線往下平移，設(shè)平移的距離為n(n>0),

則平移后的拋物線的解析式為y=x2-2&x+1-n,結(jié)合(1)(2)的結(jié)論即可得出關(guān)于n的

一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)4,y=ax2+bx+c(aWO)中y=O,PPJWax2+bx+c=O,

???二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(xH0),B(x2,0),

?,bc

..X|+X2=-----，X]?X2=—，

aa

)2.4ac-b2

(2).?,二次函數(shù)y=ax??bxic=a；

4a

???點(diǎn)c的坐標(biāo)為(?普，4ac-b2),

2a4a

,.,△ABC為等腰直角三角形，

.4ac-b?Ub?-4ac

4alai

令4b2-4ac二m,則有m2-2m=0,

解得：m=2,或m=O,

???二次函數(shù)與x軸有兩個不相同的交點(diǎn),

m=Vb2-4ac=2,

b2-4ac=4.

(3)VZACB=90°,

Ab2-4ac=k2-4=4,

解得：k=±2加.

選k=-2點(diǎn),畫出圖形，如圖所示.

若要使/ACB=60。，則需把拋物線往下平移，設(shè)平移的距離為n（n>0）,則平移后的物物

線的解析式為y=x2-2&x+l-n,

由（1）可知AB=^b2~4a<L=2VHr>

lai

2

由(2)可知點(diǎn)C(4aC-b),即(&,-1-n),

2a4a

:△ABC為等腰三角形，且NACB=60。，